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1、第11讲巧妙求和教学目标.立掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等；女掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。知识梳理&一、数列的概念按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3,递增数列10095、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5,递减数列二、等差数列与公差一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。三、常用公式等差数列的总和二（首项+末项）X项数2项数二（末项-首项）
2、公差+1末项二首项+公差X（项数-1）首项=末项-公差X（项数-1）公差二（末项-首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和二中间项X项数中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.典例分析.考点一：等差数列的基本认识例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。6,10,14,18,22,，98； 1,2,1,2,3,4,5,6； 1,2,4,8,16,32,64；9,8,7,6,5,4,3,2；3,3,3,3,3,3,3,3； 1,0,1,0,/,0,1,0；【考
3、点】等差数列的基本认识 解析】是，公差公4.不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.不是，因为4221.是，公差d=/.是，公差d=0.不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】该数列为等差数列，首项为101,公差为2,第21个数的项数为21.则101+(21-1)2=141例3、已知一个等差数列第9项等于131,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】把数列列出来：83,89,95,101,107,113,119,
4、125,131,137,143,149,155,161,167,173,179,185,191答案：191例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个.【考点】等差数列公式的简单运用【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为3205=64,因相邻偶数相差2,故这五个偶数依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.例5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【考点】等差数列公式的简单运用【解析】
5、它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第项=首项+公差5-D,所以，第201项=5+3x(201-1)=605,对于数列5,8,11,65,一共有：=(65-5)3+l=21,即65是第21项.答案：无限多项；第201项是605:65是第21项考点二：等差数列求和例1、一个等差数列2,4,6,8,10,12,14,这个数列各项的和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：87=56.答案：56例2、15个连续奇数的和是1995,其中最大的奇数是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：199515=13
6、3,所以这个数列最大的奇数即第15个数是：133+2x(15-8)=147答案：147例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎求和时漏掉的数是。【考点】等差数列的求和【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1,才能使结果正确，共要补上2006,因此这个漏掉的数是2006例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？11 1213192012 1314202113 141521222021222829【考点】数阵中的等差数列【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，
7、可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加.(比较慢，这里不再写具体过程)方法二:每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和=中间项X项数.先看行，因为是偶数行没有中间项，首项=11+12+2O=(11+2O)1O2=155,末项=20+21+29=(20+29)x10+2=245或者=155+(IO-I)XlO=245.这100个数之和=(155+245)xl02=2000.按列算同上.方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20,沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40,所以这100个数的平均数是20,这100个数之和=20x100=2000.答案：2000考点三：等差数列
8、的应用例1、已知数列：2,1,4,3,6,5,8,7,问2009是这个数列的第多少项？【考点】等差数列的公式运用【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7,奇数项的排列规律是：2、4、6、8,.方法一：可以看出两个数列都是等差数列.由于2009是奇数，所以在偶数项数列中，它的项数是：(2009+1)+2=1005,所以在整个数列中，2009的项数是1005x2=2010,所以2009是这个数列的第2010项.方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数+1,偶数的项数是该数2,所以2009是这个数列的第2009+1=2010项.答案：2010例2、在1145这35个数中，所有不被3整
9、除的数的和是多少？【解析】先求被3整除的数的和；1145中能被3整除的数有12,15,，45,和为：12+15+42+45=02+45)122=342;于是，满足要求的数的和为：01+45)-342=980-342=638.例3、如图2,用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当心5时，共需要火柴棍根。【考点】找规律计算【解析】找规律3,3+6,3+6+9.,N=5时,需要火柴棍3+6+9+12+15=45答案：45例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈，第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24
10、个小圈，依此规律，第6个图形有个小圈。OCoOOOOOCCeCOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOnOOO.XXXXOOOOOooOooooOnOOOOO第1个图形笫2个图形第3个图形第4个图形【考点】找规律计算2010年，第8届，希望杯，4年级，1试【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是1x2,2x3,34,第6个图有6x7+4=46个小圆。答案：46实战演练3A课堂狙击1、在数列3、6、9,201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式:项数二(末项-首项)公差+1,便可求出。(2)根据
11、公式：末项=首项+公差X(项数1)解：项数=(201-3)3+1=67末项=3+3X(201-1)=603答：共有67个数，第201个数是6032、全部三位数的和是多少？【解析】所有的三位数就是从100-999共900个数，观察100、IOK102998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。解：(100+999)9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。3、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、449、50；2、3、4、550、51；3、4、5、651、52；49、50、51、5297、98；50、51、52、5
12、398、99。【解析】这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行(或竖行)数列之和，再求出这个方阵的和。解：每一横行数列之和：第一行：(1+50)502=1275第二行：(2+51)502=1325第三行：(3+51)502=1375第四十九行：(49+98)X502=3675第五十行：(50+99)502=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+3675+3725=(1275+3725)502=1250004、若干人围成16圈，一一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？5、【解析】从已知条件912人围成
13、16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是912,项数是16,公差是6。题目要求是的等差数列末项二dx(n-l)=6x(16-1)=90(人)外圈人数=(90+114)2=102(人)内圈人数=（114-90）2=12（人）答：最外圈有102人，最内圈有12人。5、有一串数，已知第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003个数是。【解析】64（2003-1）=6+42002=80146、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有多少个座位。【解析】首项=70（25-1）2=22
14、总和=（22+70）252=11507、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，最下面一层放本书。【解析】100140中间一层本数：6005=120（本）最上面一层：12102=100（本）最下面一层：120+1x2=140（本8、有10只盒子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？【解析】题中要求办不到。9、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根,最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？【解析】7+95=102（根）95-7+1=89（层）102892=4539（根）
15、10、有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？【解析】第100层有点：6+(99-1)6=6+986=699=594(个)点阵只有点：1+(6+594)992=1+6(X)992=29701(个)答：这个点阵共有点29701个。课堂反击1、观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知。【解析】19+18=37,37+18=55,所以=55+18=73答案：732、2,5,8,11,14是按照规律排列的一串数，第21项是多少？【考点】等差数列的基本认识【解析】此数列为一个等差
16、数列，将第21项看做末项。末项=2+(21-1)3=62答案：623、在等差数列6,13,20,27,中，从左向右数，第个数是1994.【考点】等差数列公式的简单运用【解析】每个数比前一个数大7,根据求通项4=+(-l)d的公式得=(q-4)d+l,列式得:(1994-6)7=284284+1=285即第285个数是1994.4、有20个数，第1个数是9,以后每个数都比前一个数大3.这20个数相加，和是多少？【考点】等差数列的求和【解析】末项是：9+(20-l)3=66,和是：(9+66)202=750答案：7505、把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是
17、5,那么，第1个数与第6个数分别是多少？【考点】等差数列的求和【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为2107=30,所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、4045.即第1个数是15,第6个数是40.答案：406、已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】奇数项的排列规律是：2、4、6、8,偶数项的排列规律是：3、6、9、12,可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第20002=1000
18、个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第(2003+D2=1002个数，所以第2000个数是3+(1000-1)x3=3000,第2003个数是2+(1002-1)x2=2004.答案：20047、把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？【考点】等差数列的公式运用【解析】平均数：2488=31,第4个数：31l=30。第1个数：30-6=24,末项：24+(8-1)2=38o即：最大的数为38。答案：3858、观察下列四个算式：=20,y=10,T4*4=从中找出规律，写出第五个算式：。【考点】找规律计算，2(X)9年，希望杯，第七届，六年级，二试【解析】发现规律，第5个算式为
19、卷16=o9、若干个硬币排成左下图，每个硬币所在行的硬币数与所在列的硬币数相减得出一个差（大数减小数），如对于差为7-5=2,所有差的总和为。【考点】数阵中的等差数列【解析】根据题目要求操作找规律发现第一行第一个圈为0,和为0第二行第一个圈为1,第二个圈为0,和为1第三行第一个圈为2,第二个圈为1,第三个圈为0和为1 + 2 = 3第四行第一个圈为3,第二个圈为2,第三个圈为1,第四个圈为0,和为1+2+3=6所以这些差有7个1,6个2,5个3,4个4,3个5,2个6,1个77l+62+53+44+35+26+l7=7+12+15+16+15+12+7=84答案：84直击赛场.1、（第3届，希
20、望杯，4年级，1试）从1开始的奇数：1,3,5,7,其中第100个奇数是O【考点】等差数列的基本认识【解析】1992、（第4届，希望杯，4年级，1试）观察下列算式：2+4=6=23,2+4+6=12=342+4+6+8=20=45然后计算：2+4+6+100=o【解析】等式右边第一个乘数等于等式左边加数的个数，100以内的偶数有50个，所以2+4+6+100=5051=2550答案：25503、（第3届，走美杯，5年级，决赛）从正整数1N中去掉一个数，剩下的（N1）个数的平均值是15.9,去掉的数是o【考点】等差数列的公式运用【解析】因为“剩下的（N-I）个数的平均值是15.9，所以（N-I）
21、是10的倍数，且N在15.92=31.8左右，推知N=31.去掉的数是（1+2+3+.+31）-15.930=496-477=19。答案：19重点回顾一、等差数列的定义定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.首项：一个数列的第一项，通常用4表示末项：一个数列的最后一项，通常用表示，它也可表示数列的第项。项数：一个数列全部项的个数，通常用来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d来表示；和：一个数列的前项的和，常用S.来表示.二、等差数列的相关公式（1）三个重要的公式通项公式：递增数列：末项=首项+（项数-I）X公差，,=q+（DXd递减数列：末项=首项-（项数-I）X公差，all=al-（n-y）d项数公式：项数=（末项-首项）公差+1求和公式：和=（首项+末项）项数（2）中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.名师点拨学霸经验本节课我学到我需要努力的地方是
