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1、函数对称中心的求解方法探究及应用函数的对称性是函数的一个重要性质.充分体现了数学的形式美，给学生以美的感受的同时，锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象.函数的奇偶性就是函数的对称性的特例.如何探求函数的中心对称性呢？为此，本文将函数的中心对称性的探求策略及简单应用，整理如下，以飨读者.一、反比例函数图解法初中数学的学习中，我们接触了一次函数、反比例函数是中心对称图形,自然可以借助于常见的基本初等函数来探求等次分式函数的图象的对称中心.函数/()=黑=温奇(加工历，)图象的两条渐近线方为：X=-,y=-它的对称中心是，2,二.aaVaa)【例1】函数/(x)=El的对称中心是(-2,5
2、),则实数的值是.【解析】/(x)(x+2)+J2=+其对称中心为(一公。)，所以x+2x+2a=5.【评注】上述分式函数通过分离常数，求出函数渐近线方程，这两条渐近线的交点，便是函数图象的对称中心。【变式1】函数/(x)=:言，该函数图象的对称中心是.【解法】/(x)=-2+-,对称中心是(1,2).二、轴对称翻折法遇到抽象函数的对称中心的探求，从图象平移变换的角度不易理解，这就需要借助于相关点法灵活地“转移”，以求解决问题.【例2】已知定义在R上的偶函数/(尤)的图象，满足小+|)=_/(力,判断函数力的对称中心.【解析】设F(X)图象上任意的点P(,y)关于X=；对称点是/怎一北)再绕X
3、轴翻折，得到点P(,.则尸GT,固，)与PaM关于件0)对称;又/卜+)=-(x),所以/(Ir)=-/(),因为“是R上的偶函数，所以/67卜一/(月.必在/()图象上，因此/(X)的对称中心为【评注】条件f卜+=本身不具有中心对称的特点，但是根据”)偶函数，变为/(|一，=_力，根据点的变换即可得到对称中心.当然像这样的规律，除了借助对称图形观察，也可以把他们作为公式记忆，即24)=二(x)说明对称中心就是(,0)【变式2已知函数/(力=(冗+4对任意X有/(2+x)=-(2-X),求/(-3)+/的值。【解析】用2替换人,得f(4-x)=-f(x),可知,函数f(x)关于点(2,0)对称
4、，函数/(x)=(x+)3的对称中心是(-。,0),则a=-2,所以/(-3)+/(3)=-124.【思考1】上面条件/(Q)()说明了函数对称中心是00),具有一般性吗？定义在R上的函数“力满足2-x)=f(x),则函数图像关于%=生产”对称，即点(xj(x)与(2rJ(x)点关于X=。对称，这是大家熟知对称轴的计算公式.卜呻_那么(-XJ(X)关于X轴对称翻折成(勿-x,-(x),：(Q那么点(XJ(X)与(2-x,-f(x)点关于(4,0)中心对称，；此时满足f(2-x)=(x),因此函数满足:c)X-1006x-1005x+1005x+1006则/(x-1007)为奇函数，所以/(x)
5、的图像关于点(-1007,0)对称.所以选B.【变式5已知函数/() 哧 +筌+詈+ x+2012x+2013 则/(0)+/(-2014)=【解析】f(x) = -1 1 1+l x+2 x+31 1+ + 2013+ 2013,令 g(x) = -+ + - + 7 x+ x+2 x+3g(x-1007) =+7+20131+x-1006 a-1005 x1004+总是奇函数，因此g(x)关于(TOO7,0)中心对称,/(x)关于(-1007,2013)中心对称,/(-2014-x) = 4016-(x),令 X = O 得：/(0) + /(-2014) = 4026.所以答案为4026
6、2 cos2【例4】已知函数X)=Ix-I2 2x-1-X,其图像的对称中心是.【解析】化简可得：=1 +Cos(X-I)-JC CoS(X-I) =1X-Ix-1cos(x-l) II而y =.一 1可看成是由yX 1出向右平移一个单位，再向下平XCoSX移一个单位得到，且y=丁一为奇函数，其对称中心为(o,o).故/(力的对称中心(,).【变式6】(2013全国)已知函数/(x)=x3+公2+法+c,下列结论中错误的是().AWwR,/()=0B.函数/()的图象是中心对称图形C.若/是“)的极小值点，则力在区间(-,/)上单调递减D.若/是/()的极值点，则/(o)=O【解析】若c=0,
7、则有/(0)=0,所以A正确.由/(x)=x30r2+bx+cfW(x)-c=x3+or2+hx,因为函数/(力=/+以2+法的对称中心为(0,0),所以，(X)=X+加+bx+c的对称中心为(0,c),所以B正确.由三次函数的图象可知，若小是/(力的极小值点，则极大值点在小的左侧，所以函数在区间(-co,/)单调递减是错误的，D正确.选C.【变式7/(x)=(x-l)31则H)+(-3)+/(O)+/(5)+/(6)=-【解析】力=(XT3+1是由y=F平移得到的,由于y=/是奇函数，图像关于原点对称，因此力的对称中心为(1/)，有F(X)+f(2)=2,所以/(-4)+/(-3)+(0)+
8、/(5)+/(6)=H)(6)(-3)(5)(0)(2)(l)=5x2+1=11.四、导数拐点法【例5】对于三次函数/(x)=r3+Z?x2+cx+d(w),给出定义:设,(x)是函数y=(x)的导数，/(x)是广(力的导数,若方程/(6=O有实数解为,则称点(J(Xo)为函数y=(x)的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断下列命题：任意三次函数的图像都关于点(-22对称；I3JI3a)存在三次函数y=(x),/(力=0有实数解与,点(xJK)为函数y=()的图像的对称中心；存在三次函数的图像有两
9、个及两个以上对称中心；若函数g(x)=g一;2+3-A+cos(-il),贝IJ+N煞)=1006其中正确命题的序号为(把所有正确命题的序号都填上).【解析】对于明显正确；对于，任意的三次函数满足/(X)=6r+3,而/(x)=0只有一个根，所以任意三次函数的图像只有一个对称中心J2j.错；I3I3a)J对于，=-X3-X2+3x-,U(X)=COS,则3212vfI2)(x)=2x-l,所以(x)的图像关于点对称，同理，函数U(X)的图像关于点对称，所以wf n+wf nIk 2013； O的解集关于原点对称,得。=2.4-a-x此时/(x)=log22。+2)_儿(_2,2).2-X任取x
10、(-2,2),由/(-x)+(x)=0,得力=1,OY所以函数MX)=Iog2S图像对称中心的坐标是(2,1).【例9】己知函数X)=X3-3f+3,下列命题正确的是.对任意实数工，都有V(X)+f(2r)=2;函数/(力的极值点一定是函数/(/(力)的极值点；函数y=x)有两个极大值点，无极小值点；若f(7i)=Zf=O,则n+M=2.【解析】/(x)+(2-x)=x3-3x2+3+(2-x)3-3(2-x)2+3=2.ilE确；或者/，(力=3/-6%/(力=6工-6,令尸(力=0,则工=1,又/(1)=1,故/(x)关于点(1,1)中心对称，因此x)+(2r)=2,故正确；设=/(),y
11、=)=/(/()，则yx,=ylt,皿；=(w)W,当，(Ab)=O时,/()()=*故正确；函数y=()的图象,如下左图所示,故错误；X(x)=x3-3x2+3=(X-Iy-3(x-l)+l,g(r)=Z3-3f，贝!g(，)为R上的奇函数，如上右图所示，且极大值g(T)=2,极小值为g(l)=2,因/(w)=4,（三）=-2即8(优_1)=3空(_1)=_3,从而g(zn-l)=-g(-l)=3,由g()的性质可知W-I=I-,故正确;同理如图可知I，g(m一l)=-g(I)=L故错误.答案为.【变式11己知实数劣。分别满足4-3/+50=1,b3-3b2+5b=5f贝L+Z?的值为.【分
12、析】观察题目条件/一短+5=1,t-3b2+5b=5f可以构造函数/(x)=x3-32+5x,则f()=l,f(b)=5.而函数/(x)=d-3f+5x=(x-l)3+2(x-l)+3可以看成是由y=+2x平移得到，即“力关于点(1,3)中心对称，故+b=2过关训练一、单选题1 .已知函数/的图像关于4=2对称，且对任意七，为(2,+),都有f(x)-f(x2)(X-x2)0,设=(T),b=/(),c=/(e),则()A.acbB.abcC.bcaD.ca轴对称3,已知f(可是定义在R上的增函数，且f(x)+/(T)=-2,函数g(M=()+-/+的零点分别为公程多，则/H)=()12X1J
13、t=IA.0B.-2C.-4D.-6二、多选题4.已知函数/(x)=hu+ln(2r)sinx,则下列结论正确的是()A.”力的图象关于直线X=冗对称B.”力的图象关于点(国0)对称C. f(x)有3个零点D. /(兀+)是奇函数5.己知定义在R上的函数2、-2)的图象关于直线=l对称，函数吗x+)的图象关于点(2,0)中心对称，则下列说法正确的是()A. f(x)=f(r)C. 42) = 0B. 8是函数“力的一个周期D./(l+x)+(l-x)=06.已知函数/“)的定义域为R,且f(x+4)+(x)=2(2),函数AX-I)的图像关于点(Lo)对称，(x)=(4-2x),则()A./O
14、)是偶函数B./W的图像关于直线户2对称C. g(-5)+,(T)=Dg(x+2)=g(x-2)7,已知函数一(力是定义在R上的偶函数，r(x)是R上的导函数，若/(2+x)=4-x),2/(1)=2/(0)=/(1),则下列选项正确的有()A./(-1)=2/(1)B.(0=(0J=I=i5050C.(0=101D.Zr=25I=Ir=l8.已知函数f(x)满足/(+x)为偶函数且r(c+x)+r(c-x)=2(c),其中f(x)是Hx)的导函数,则()A./的一个周期为2年-4B.尸(力的图象关于点3。)对称C.”的图象关于直线X=C对称D.(力)的图象关于点&0)对称对称三、填空题9 .
15、已知函数/(x)=log2x-+l,当wxx-2时，/(6+x)=(2-x),则2卜.10 .设定义在R上的函数f(x)与g。)的导函数分别为/(X)和K),若5(x)-(3-x)=2,(x)=(x-1),且g(x+2)为奇函数，则下列说法中一定正确的是.(1)函数g(x)的图象关于尤=1对称；(2) /(2)+/(4)=4;2023(3) Zg（八）=O;A=I2023(4) /W=-4046*=1四、双空题11.已知函数y=sin2-cos2的图象与函数y=KirucoWk0)的图象关于点(机,)(加0)对称，则A+=;，的最大值是.参考答案：1. B【分析】根据函数的单调性与对称性，确定
16、自变量到对称轴的距离即可得函数值大小关系.【详解】函数f(x)的图像关于x=2对称，且对任意为，为(2,oo),都有f(xl)-f(x2)(a-x2)-2e-2所以T)fv(e),abc.故选：B.2. D【分析】/O)可直接利用函数奇偶性定义，结合三角函数诱导公式化简证明；g(%)可先由对数运算性质变形整理，再利用函数奇偶性定义证明即可.【详解】任意xwR,/(x)=xcosx,(-x)=-xcos(-x)=-xsx=-(x),故”力的图象关于原点对称；= ln-el任意XeR,g(x)=ln(e2,r+l)-x-l=ln(e2A+l)-lnex-l-l=ln(e+e-A)-l,则g(-x)
17、=ln(ev+ev)-l=,故屋可是偶函数，g(的图象关于y轴对称.故选：D.3. C【分析】把函数零点问题转化为f(x)=U+一7根的问题，利用函数的2-1X1对称性质得g()零点关于(0,-1)对称，从而利用函数外”的对称性求值即可.【详解】由网力=。得/)=白+舍一X=沿+含一一】，Z-1X-1Z1X1因为f(x)+(r)=-2,所以“力关于(O,T)对称,、口7/、2、+12x记Mx)=K+l7*lZ1-1因为 MX)+%()=红+j+2-1 x2-13-至 十 一 2r-l x2-l2xl2x-i所以(力关于(0,T)对称,所以g()=()+-若+X的零点关于(0，-1)对称,12X
18、-1-2 X 2In 2 -29一2 FF+W-lO,MX)无限趋向于正无穷大，当X无限趋向于1且vl,MX)无限趋向于负无穷大，当X无限趋向于1且l,(力无限趋向于正无穷大，当X无限趋向正无穷大时，Mx)无限趋向于负无穷大，所以方程“x)=G+告7共有两组对称解，所以2/5)=(-2)+(-2)=-4.21X1X=I故选：C.4. BCD【分析】根据/(兀7)与5+x)的关系，再由奇偶性的定义判来判断D,根据图象平移的关系即可判断BA,对于C,可以直接求出/*)的零点，从而判断其正确与否.【详解】/U)的定义域为(0,2兀)，/5+x)的定义域为(-九九)，且/(+x)=ln(+x)+ln(
19、-x)sin(+)=-ln(+x)+ln(-x)sinx,g(x)=/(+x),则有g(-x)=/(-X)=ln(-x)+ln(+x)sinx=-g(x),故/(兀+x)为奇函数，选项D正确；由于/(冗+幻为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点(私0)对称，B正确，A错误令/(x)=0,则有1河+111(2%_刈与11工=0,即+n(2tX)=O或SinX=0,解得x(2-)=l或X=冗，BP1=+2-1江-冗=O或r=,故/(X)有3个零点，选项C正确.故选：BCD5. ABC【分析】设Fa)=2X-2),由题意可推出f(2x-2)=f(2-2x),即可判断A；结合/(jx+l)的图象关
20、于点(2,0)中心对称，可得F(X+l)+3)=0,判断C；继而推出函数的周期，判断B；采用反证的思想说明D,即得答案.【详解】因为定义在R上的函数f(2、-2)的图象关于直线=l对称，设尸。)=/(2%-2),则尸(X)=尸(2-幻，BP(2x-2)=(2-2x),i(x)(-x),A正确；又函数H+】)的图象关于点(2，)中心对称，即/(3%+1)+/卜一；X)=O,gp(x+l)+(3-x)=0,故“可关于点(2,0)中心对称，则2)=0,C正确;由f(x+l)+f(3-x)=0可得/(x+4)+f(-力=0,即f(x+4)=-f(-x)=-f(x)9故+8)-4)=/(x),即8是函数
21、x)的一个周期，B正确；若f(l+x)+f(It)=O,则“力关于点(LO)中心对称，因为为偶函数，关于y轴对称，则/(“也将关于直线户2对称，与X)关于点(2,0)中心对称矛盾，D错误.故答案为：ABC【点睛】方法点睛：该题是关于抽象函数的性质问题，涉及到奇偶性、对称性以及周期性，解答时要能结合函数奇偶性以及周期性、对称性的定义，利用变量代换的方法，推出函数具有的性质，从而解决问题.6. BCD【分析】先根据/(XT)的图像关于点(LO)对称，得出/(X)是奇函数，从而判断A项；由*+4)+(x)=2(2)利用赋值法求出“2),再结合/(X)是奇函数可判断B项；利用gW=f(4-2x)结合/
22、(x4)+/(x)=O可判断C项；求出/(x)的周期可判断D项.【详解】因为函数/。-1)的图像关于点(1。对称，所以小)的图像关于原点对称,即/(x)是奇函数，故A错误；因为*+4)+(x)=2(2),所以令JV=-2得/(2)=(-2),又因为f(x)是奇函数，所以f(2)=-2)=0,所以/(x+4)+(x)=0,gpU+4)=-(x)=(-x),所以/O)的图像关于直线=2对称，故B正确；因为f(x+4)=-f(x),g(x)=/(4-2x),f(是奇函数，所以g,?+/)=“)+/(B=U小；40,故C正确;因为/(x+8)=(x+4)=f(x),所以/(x)的周期为8,Xg(x+2
23、)=/4-2(x+2)=f(-2x),g(x-2)=4-2(x-2)=(8-2x),所以g(x+2)=g(x-2),故D正确；故选：BCD.7. AC【分析】根据题意，由7)=/(1)=2/(1),可判定A正确；根据题意得到f(2+x)=4-(x),和，(4+力=4一/(2+力，两式相减得至1/(4+力=/(力，得至1/(力是周期为4的周期函数,再由期为为偶函数,得到r)=-r(),得出期(同为奇函数，从而得至Ur(4+)=r),所以(力是周期为4的周期函数，进而可判5050定B错误；结合函数的周期性和对称性，分别求得Xi)和(i)的值，可判*IE定C、D正确.【详解】对于A中，由函数“可是定
24、义在R上的偶函数，且27=2(0)=l),可得f(T)=(l)=2f(l),所以A正确；对于B中，(2x)=4-(-x),令f-1,得2/=4,所以1)=2,又由2-(l)=2f(0)=l),所以r(l)=l,/(0)=l,/(2)=4-(-0)=4-l=3,由SUS),可得/(2+力=4-小)，故得4+力=4-2+力，两式相减得f(4+x)=f(x),所以函数“力是周期为4的周期函数，所以3)=f(T)=f=2,/(4)=/(0)=1,所以f(l)+2)+3)+4)=2+3+2+l=8,因为/()为偶函数，得f(闫(),所以r()=-r(-),所以广(力为奇函数，则r=(),因为f(2+x)
25、=4-f(),所以r(2+x)=r(),K(20)=(-0),所以r(2)=o,又由r(4+x)=r),所以函数上(力是周期为4的周期函数,所以r(3)=r()=-r=TJ(4)=r(o)=o,故r(i)+r+3)+r(4)=i+oT+o=o,所以B错误;So对于C中，由Z(i)=128+(49)+(50)=128+l)+(2)=101,所以C正确；(=150对于D中，由Zra)=i2o+r(49)+r(5)=i2o+r+r(2)=,所以D错误.=l故选：AC.8. BD【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性、复合函数的导数法则逐一判断即可.【详解】因为“+x)是偶函数，所以有f(+X)=
26、f(),因此函数为的图象关于直线X=。对称，因此选项C不正确，不能判断函数/(力的周期性，因此选项A不正确；由+x)=()=rg+x)=-/(ar)，所以尸(力的图象关于点(见。)对称，因此选项B正确；因为/(x)的图象关于点,O)对称，所以r)=-f(%),于是有/(r(c+x)+(r(c-X)=f(勿一f(c-x)-f(c-x)=-(c-x)+(c-X)=o,即/(r(c+)+(r(C-X)=。=/(r(c+)=-/(r(c-),所以/(r)的图象关于点a。)对称，因此选项D正确，故选：BD【点睛】关键点睛：本题的关键是对FS+x)=f(-x)进行求导，进而判断尸(力的对称性.9. 2【分
27、析】由题意条件得到f(x)的图象关于直线x=4对称，从而得到=4,再代入求值即可.【详解】由6+x)=2-x)可知，函数解的图象关于直线x=4对称,而函数力=1%k-小1的图象关于直线户对称，所以。=4,所以“X)=IogzkT+1,所以42)=IOg22-4+1=2.故答案为：210. (1)(3)【分析】根据g+2)为奇函数推出对称中心(Z0),根据,=(-i)逆向思维得到f(x)+a=g(x-)+h9代入F(X)=g(3r)+2推出g(x)的对称轴x=l,进一步得出周期4,f(x)周期也为4,算出X=L2,3,4时的函数值以及一个周期内的值即可求解.【详解】因为/(x)=g(xT),则F
28、(X)+a=g(x-D+b,因为g(x)-(3-X)=2,所以g(x)=(3-x)+2,用3-x去替JG所以有f(x)=g(3r)-2,所以有g(3r)-2+a=g(x-1)+。，取x=2代入得到g(l)-2+=g(l)+。则a-2=b,故g(3-x)=g(x-l),用x+1换,可得g(2-x)=g(x),函数g(x)的图象关于X=I对称,故(1)正确；g(x+2)在R上为奇函数，则g*+2)过(0,0),图像向右移动两个单位得到g(x)过(2,0),故g(x)图像关于(2,0)对称，g(2)=0;g(x+2)=-g(r+2),而g(2)=g(x),所以有g(x+2)=-g(x),则g(x)的
29、周期T=4；又因为g(x)图像关于(2,0)对称，g(2)=0;函数g。)的图象关于元=1对称,，故g(l)=-g(3),g(2)=g(4)=0,2023Zg（八）=g+g(2)+.+g(2023)=冢D+g(2)+g(3)=0(3)正确；=l/(x)=(3-x)-2,是由g(x)的图像移动变化而来，故/(X)周期也为4,因为g(D=-g(3),g(2)=g(4)=0,所以/=g-2,/(4)=g(-l)-2=g(-l+4)-2=g-2,所以/(2)+(4)=g2+g(3)2=T,故(2)错误；=g(3-x)-2,/(X)周期为4,/(l)=g(2)-2=-2,/(2)=g(l)-2,/=g(
30、0)-2=-2,/(4)=g(1)-2=5(-1+4)-2=g(3)-22023故W=/(1)+/(2)+.+/(2023)=505(-8)+/(1)+/(2)+/(3)=-4046+g(1),*=!2023由于g的值未知，g不一定为0,所以无法判断X/(&)的值为-4046,k故(4)错误；故答案为：(1)(3)-C3万，311. 2-r88【分析】根据二倍角公式得到V=Sin2X-COS2X=-cos2x,y=Arsinxcosx=sin2x(%0),设函数g(x)与函数y=-cos2x关于点(见)(20)对称，从而得到g(x)=2+sin(+2x-4?),进而得至lJ2+sin(+2x-4m)=gsin2x,结合条件即可求解.【详解】由题意得：y=sin2x-cos2%=-cos2x,设函数g(x)与函数y=-cos2x关于点(小)(m0),则2/1+sin+2x-4m=sin2x2所以k=2,Zi=O,-4=2r(rZ),即 k+n = 2,又小0,所以当Fl时，小的最大值是-”,O
