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1、极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数y=（）,在区间a）上只有一个极大（小）值点小，方程AX）=O的解分别为A,X?,S,axix2bl（1）若再）2%-9），则（）%,即函数.v=八幻在区间（XM）上极（小）大值点与右（左）偏；（2）若&）2/F）,则%（v）,即函数y=（x）在区间上极（小）大值点.%右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数y=/（幻，在区间（&）上只有一个极大（小）值点,则函数幻的单调递增（减）区间为S,%）,单调递减（增）区间为（与向，由于。W有不小,且,又f（%）VFQa0-A2）,故王（）2%-，所以甘殳（）/，即函数极（
2、小）大值点%右（左）偏；（2）证明略.左快右慢(极值点左偏=，日玉)二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：(1)求出函数/(X)的极值点与；(2)构造一元差函数尸3=/(玉+幻-，(%-幻;(3)确定函数八X)的单调性；(4)结合尸(O)=O,判断尸)的符号,从而确定/十*f()的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2抽化模型答题模板：若已知函数Ax)满足/区)=/U2),将为函数/(幻的极值点，求证：M+WV2x0.(1)讨论函数/的单调性并求出/5)的极值点；假设此处/3在(-8,%)上单调递减，在(，内)上单调递增.(2)构造/(X
3、)=/(%+幻一/(与一幻；注：此处根据题意需要还可以构造成尸&)=/。)-/(2%-*的形式.(3)通过求导F(X)讨论尸的单调性，判断出尸(X)在某段区间上的正负，并得出了(%+x)与/(%一用的大小关系；假设此处尸(X)在(0,)上单调递增，那么我们便可得出。)尸()=/(/)-/(/)=0,从而得到：X/时,/(+)/(X0-X).(4)不妨设N时，/(+)f(x0-x)S,xlxq/xo-(2-vo)l=/(2%o-W),又因为XX。，20-X。且f()在(-,X0)上单调递减，从而得到.V12x0-x2i从而x1+22%得证.(5)若要证明/(七三)。,还需进f寸论手与XD的大小，
4、得出手所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为%+/2%,故土产与，由于在(-8.)上单调递减，故0【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求/O)的单调性、极值点，证明/(%+幻与/(X07)(或/()与/(247)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如天+当2或r(W1)2.2 .函数/(x)=f与直线y=(-g)交于Aa,)、8(%，。)两点.证明：芭+4.X4 .已知函数/(x)=(x-2)e+(x-有两个零点.设为，是外”的两个零点，证明：X1+X
5、22.四、招式演练5 .已知函数/(%)=(+InX-3有两个零点X-x2(xlx2).(1)求证：0a2a.6 .已知函数/(X)=21nx(/?,0).(1)求函数/W的极值；(2)若函数/W有两个零点不，/(%4.7 .已知函数/(x)=x-2Hu-1+l,R.X(1)讨论函数/(”的单调性；(2)当=l时，正数4,满足Fa)+F)=2,证明:x1+x22.8 .已知函数/(x)=lnx+H*-2r,eR.(1)讨论/(的单调性；(2)若f(x)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数Xm,使得/(内)+/(Z)=-3,证明：x1+x22.9 .已知函数f(x)=与3O).e(1)求函数
6、/U)的单调区间；(2)当=l时，如果方程/*)=/有两个不等实根与，求实数/的取值范围，并证明x1+22.IO.已知函数/(X)=InA奴(。为常数).(I)求函数“)的单调区间；(II)若a0,求不等式/(力-的解集；(In)若存在两个不相等的整数X-满足/a声),求证：司+电H.(1)试比较2法与A*0)的大小.X(2)若函数/)=X-仇LM的两个零点分别为七,X2,求?的取值范围；证明：+22m.12.已知函数/(x)=(32-6x+6)e-J(e为自然对数的底数).(1)求/S)的图象在E处的切线方程；(2)求/*)的单调区间和极值；(3)若K产七，满足f(，)=f(X2),求证：i
7、+22.14 .已知函数f(x)=x-l+e(1)讨论的单调性；(2)设中占是/(x)的两个零点,证明：x1+X24.15 .设函数/(x)=x2-(。-2)x-lnx.(1)求函数/O)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数。的值；(3)若方程/*)=C有两个不相等的实数根/,X-求证：-)0.16 .已知函数F(X)=V-(eR)在(0,y)上有2个零点4、%(%4.17 .已知/(x)=In(X+M-nvOeR)求/V)的单调区间；(2)igml,在与为函数/O)的两个零点，求证：.xx+x20时，若方程yw=g(x)有两个不同的实数解Xl,X2X12.19.已知函数f(x)=lnx+；-S(SR).(1)讨论/U)的单调性;(2)当f=2时，若函数/(x)恰有两个零点,(O4.20 .已知函数f(x)=l-以+xlnx.(1)若函数/(x)=l-+Enx的图象与X轴有交点，求实数的取值范围；(2)若方程/(X)=；有两个根*,恐且$l21 .(1)试比较2版与的大小.X(2)若函数f(%)=%-/-m的两个零点分别为X-x2,求?的取值范围；证明：百十七2?.
