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1、wordChapter 2 Solutions2.1最小采样频率为两倍的信号最大频率，即44.1kHz。2.2(a)、由w = 2pf = 20 rad/sec，信号的频率为f = 3.18 Hz。信号的奈奎斯特采样频率为6.37 Hz。(b)、，所以f = 833.3 Hz，奈奎斯特采样频率为1666.7 Hz。(c)、，所以f = 214.3 Hz，奈奎斯特采样频率为428.6 Hz。2.3(a)ms(b)、最大复原频率为采样频率的一半，即4000kHz。w = 4000 rad/sec，所以f = 4000/(2p) = 2000/p Hz，周期T = p/2000 sec。因此，5个周
2、期为5p/2000 = p/400 sec。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(2000/p) = 4000/p Hz。所以采样频率为fS = 4(4000/p) = 16000/p Hz。因此5个周期收集的采样点为(16000/p samples/sec )(p/400 sec) = 40。w = 2500p rad/sec，所以f = 2500p/(2p) = 1250 Hz，T = 1/1250 sec。因此，5个周期为5/1250 sec。对于这个信号，奈奎斯特采样频率为2(1250) = 2500 Hz，所以采样频率为fS = 7/8(2500) = 2187.5 Hz。采样点数为(
3、2187.5 点/sec)(5/1250 sec) = 8.75。这意味着在模拟信号的五个周期内只有8个点被采样。事实上，对于这个信号来说，在整数的模拟周期中，是不可能采到整数个点的。幅度频率S f处，换句话说，频谱搬移发生在每个采样频率的整数倍(a)采样频率满足奈奎斯特采样定理，所以没有混叠发生。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 频率/kHz(b)采样频率对于这个信号来说太低了，所以混叠发生了。混叠图用虚线展示，最后的频谱用实线展示。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
4、 140 150 频率kHz2.8蜂窝信号是带宽受限的。传输X围为30 kHz。最小采样频率至少为60kHz。在这道题中，60kHz采样频率是足够的。传输X围的基带搬移能被一个截止频率为30kHz的滤波器弥补。 0 30 60 90 120 899970 900000 900030 f (kHz)2.9(a)、信号在300Hz处的镜像出现在, , , Hz，.，即1300, 700, 300, 700, 1300, 1700, 2300 Hz，.。这些信号只有一个位于奈奎斯特X围内采样后能被恢复的X围，这道题为0到500Hz。真实的信号频率为300Hz，没有混叠发生。(b)、信号的镜像出现在,
5、 , , Hz，.，即1600, 600, 400, 400, 600, 1400, 1600, 2600Hz，.。这些信号只有400Hz落在奈奎斯特X围内。这是混叠频率。(c)、信号的镜像出现在, , , Hz，.，即2300, 1300, 300, 300, 700, 1300, 2300, 3300Hz，.。这些信号只有300Hz落在奈奎斯特X围内。这是混叠频率。2.10(a)、信号在100到400Hz发生混叠。频率倒置不发生在基带。fS幅度频率(b)、带宽受限信号在50到200Hz发生混叠。频谱倒置发生在基带。fS幅度频率2.118kHz的采样频率允许奈奎斯特X围为0到4kHz。在采样
6、之后，信号的频谱搬移发生在24000 25000, 16000 25000, 8000 25000, 0 25000, 8000 25000, 16000 25000Hz.。奈奎斯特X围内唯一的镜像点为1000Hz。这就是混叠频率。2.12最简单的方法是通过看这两个信号有一样的采样点来比拟两者。采样时刻由nTS确定，其中n是采样数，TS是采样间隔，即1/150 sec。nt = nTSx1(t)x2(t)0011/15022/15033/15044/15055/15066/1502.13由于目标的镜像出现在0 0.2 MHz, 2 0.2 MHz, 4 0.2 MHz, 900 0.2 MHz
7、，目标的实际频率为900.2MHz。2.14车轮每转一圈，轮胎走过pd = .635p = 1.995 m。自行车速为15 km/h，即15000/3600 = 4.17 m/sec。因此，自行车每个轮子以的频率往复出现。根据奈奎斯特采样定理，每个周期至少有两个采样点。所以采样频率应为4.18 samples/sec。这能通过每100s 418次快照完成。2.15当信号以600Hz的频率采样，正弦波频率的镜像出现在采样频率整数倍的两边。由于混叠频率为150Hz。镜像出现在0 150, 600 150, 1200 150Hz.。只有150、450、750Hz在1kHz以下。当采样频率为550Hz
8、时，混叠频率为200Hz，所以镜像出现在0 50, 550 200, 1100 200Hz.。只有200、350、750和900Hz处在1kHz以下。与两者都一致的正弦波频率为750Hz。2.16模拟电压X围为6V。(a) 量化步长为6/24 = 375 mV(b) 量化步长为6/28 = 23.44 mV(c)量化步长为6/216 = 91.55 mV2.17(a)28 = 256(b)210 = 1024(c)212 = 40962.18量化映射一个无限模拟信号等级到一个有限数字信号等级，量化程度由使用的数位来决定。对于任意有限数位，误差一定会出现，因为量化步长的大小是非零的。2.19量化
9、误差由真实信号与量化值相减得到。n0123456789量化误差N = 4/24 = 0.25 V。下表标书了量化方法。底端X围是步长的一半，顶端X围是步长的1.5倍。所有其他的X围是一倍步长。量化图标也给出了。数字编码量化标准(V)映射到数字编码的模拟输入X围(V)00002.0 x 00011.875 x 00101.625 x 00111.375 x 01001.125 x 01010.875 x 01100.625 x 01110.375 x 100000.125 10010.125 10100.375 10110.625 11000.875 11011.125 11101.375 11
10、111.625 模拟采样值量化值0111011001010100001100100001000011111110110111001011101010011000数字编码n模拟采样 (V)数字编码量化标准 (V)量化误差 (V)00011111200131104110501061007011810091012.22动态X围为20 log (2N)(a)24.1 dB(b)48.2 dB(c)96.3 dB2.23动态X围为20 log (2N) = 60.2 dB，由此可以得出2N = 1023.29。N的值最靠近10，所以N取10。2.24X围 = R, 量化步长 = QR = 1 V0.5Q
11、 = 0.1 V因此, Q = 0.2 VR/Q = 2N = 5两个量化位(N = 2)不满足需求。至少需要三个量化位(N=3)。2.25比特率=bits/sample *samples/sec=16*8000=128kbps2.26中间X围最大量化误差是量化步长Q的一半。对于X围R，位数N来说，步长为R/2N因此。将会保持量化误差在满意X围内。消去R然后解出N为，即。N满足关系的最小值为N=6。因此，最小比特率为NfS = 6(16) = 96 kbps。2.27这个表展示了与3位编码相称的电压。数位编码相应的模拟电压000001010011100101110111对于编码111 101
12、011 101 000 001 011 010 100 110对应的零阶保持信号如下：.电压时间2.28抗镜像滤波器从零阶保持信号中移除了尖峰。这样做之后，所有的奈奎斯特X围外的频率都被移除了。但是滤波器引起了一个附加时延。Chapter 3 Solutions3.1(a)(i)x0 = 3(ii)x3 = 5(iii)x1 = 2(b)(i)xn-2n(ii)xn+1序列的略图没显示x5的值，那是因为这道题没提供这个信息。xn+1n3.2冲激函数除了n=0处之外都是0(a)d4 = 0(b)d0 = 1(c)d2 = 03.3(a)、这个函数是冲激函数关于纵轴的镜像，没有其他改变。xnn(b
13、)这个函数是由冲激函数向右移两个单位得到，然后将它的振幅扩大一倍。xnn(c)这个函数是两个冲激函数之和xnn3.4阶跃函数对于n 2f，采样率足够防止混叠。3.19(a)下面的采样点在下面画出n012345xnn6789101112xn(b)2p/W的比值为2p/(4p/5)=10/4 = 5/2。分子5表示正弦序列每5个采样点重复一次。因为比率的分母为2。这5个采样点是在两个模拟周期中取得的。(c)在下表中，模拟信号用虚线附加在数字信号上。xnn3.20x(t)的模拟频率为f = w/(2p) = 2500p/(2p) = 1250 Hz。xn的数字频率为p/3 rads。这些频率必须满足
14、如下等式：通过这个等式解得fS = 7500 Hz. 其他解也是可能的，由. 通过这个式子可以得出即 fS = 1500 Hz.。在这个频率下，混叠发生了。这个信号出现在250Hz。这解释了为什么第二个采样率起了作用3.21(a)由, n = 。位移将信号左移了9/5个采样点。(b)两个信号的采样点不匹配，因为位移不是一个整数。(c)(d)对于两个信号向右的相移，所以。因此，。这个信号的一个周期包含了和x2n一个周期一样的采样值。(a)xnn(b)xnn(c)xnn(d)xnn3.23(a)、由于数字正弦曲线是周期的，。根据, 。因此，。模拟信号的可能频率f由M = 1, 3, 7, 9, 1
15、1, 决定，也就是不包括10的因数的所有整数。其他整数M得出的结果中数字周期小于10。对于4kHz的采样来说，f的可能频率为400, 1200, 2800, 3600, 4400, Hz。(b)、(a)中只有两个频率处在奈奎斯特X围内，它们是400Hz和1200Hz。所有其他的f频率在采样频率为4kHz的情况下，都在400或者1200Hz产生了混叠。3.24一个16比特图用16位灰度来表现图中的每个像素。16位总计能代表65536个灰度值。3.25棋盘上每个方块被16*16的像素块记录。所有白块里的像素点的灰度值为255，所有黑块里的像素的灰度值为0。Chapter 4 Solutions4.
16、1(a)、这个滤波器的通带增益是1单位的。增益衰减到0.707是在频率为2400Hz和5200Hz时。能通过这个滤波器的频率X围为2400到5200Hz。(b)、这个滤波器是带通滤波器。(c)、频率的通带X围是增益超过最大值的0.707的X围，即5200 2400 = 2800 Hz。4.2一个低通滤波器能通过在直流和它的截止频率之间的频率。通带也就等同于截止频率。因此，截止频率是2kHz。4.3滤波器的最大通带增益是20dB。带宽定义为：增益比通带增益低不超过3dB的频率X围。对于这道题为17dB。这个增益出现在截止频率700Hz上。对于高通滤波器来说，带宽是在截止频率，700Hz，和奈奎斯
17、特频率等于采样频率的一半，2kHz，之间的X围。带宽为1300Hz。4.4低通滤波器截止频率为150Hz，带宽为150Hz。带通滤波器截止频率为250Hz和350Hz，带宽为100Hz。高通滤波器截止频率为400Hz，带宽为100Hz，也就是从它的截止频率增加到奈奎斯特限制采样频率的一半。4.5(a)、低通滤波器输出在上边，高通滤波器的在下边。(b)、原始元音信号的近似值能通过高通和低通波形的叠加得到。xnn4.6(a)、线性(b)、非线性(c)、非线性(d)、线性4.7由于新输入是原输入向右移两个单位得到的，新输出也是原输出向右移动两个单位得到的。ynn(a)yn = 0.25yn1 + 0
18、.75xn 0.25xn1(b)yn = yn1 xn 0.5xn14.9(a)、系统是非递归的。b0 = b1 = b2 = 1/3(b)、系统是递归的。a0 = 1, a1 = 0.2, b0 = 1(c)、系统是递归的。a0 = 1, a1 = 0.5, b0 = 1, b1 = 4.10(a)n0123456789ynynn(b)n0123456789ynynn(c) n0123456789ynynn(d) n0123456789ynynnn0123456789xnn0123456789ynn0123456789xnn0123456789ynynn4.13xn采样时刻的全部输入是输入x
19、1n和x2n之和。全部输入被应用于差分方程在正常求输出时。n0123456789xnn0123456789ynn0123456789xnn0123456789ynxnyn+延迟延迟延迟xn1xn34.16yn = 0.5yn2 + 1.2xn 0.6xn1 + 0.3xn24.17yn = 2.1xn1 1.5xn24.18wn = xn + 0.3wn1 0.1wn2yn = 0.8wn 0.4wn2y1n = 0.1xn + 0.2xn1 + 0.1xn2第二个二阶局部差分方程为yn = y11n2将第一个等式代入第二个中得到yn = (0.1xn + 0.2xn1 + 0.1xn2) +
20、 0.3(0.1xn2 + 0.2xn3 + 0.1xn4) = 0.1xn + 0.2xn1 + 0.07xn2 + 0.06xn3 + 0.03xn4+延迟延迟xnyn型方程为wn = xn + 1.2wn1 0.5wn2yn = wn 0.2 wn14.22(a)yn = 0.14 yn1 0.38 yn2 + xnynxnwn延迟延迟+(b)wn = xn 0.14wn1 0.38wn2yn = wn请注意这局部的差分方程和(a)局部是一样的ynxnwn延迟延迟+n0123456789hn4.24从表中可以看出，滤波器是有限脉冲响应。它能用一系列脉冲函数之和来表示：ddndndn2差分
21、方程有种平行形式yn = 0.5xn + 0.4xn1 + 0.3xn2 + 0.2xn34.25脉冲函数是有限的，采样点如下：n0123456hnFIR滤波器的冲激响应采样点直接用系数bk表示，如下yn = xn + 0.3xn1 + 0.09xn2 + 0.027xn3这个结果也可以以冲函数的形式写成冲激响应hn = ddndndn3n01234hnn56789hnhn = 0.5hn1 + dn dn1 阶跃响应能从下式中得到sn = 0.5sn1 + un 0.8un1 或者通过冲激响应采样点的累加和得到n0123456789hnsn冲激响应为画图如下：hnn4.29这个冲激响应属于非
22、递归滤波器，因为在有限采样点之后，输出永远归于0。4.30(a)、由定义可知，脉冲函数的响应被称为脉冲响应。因此，(a)问的答案已经在问题中提供了。(b)、信号xn由两个不同振幅和位置的脉冲信号组成。这个输入的响应将和脉冲响应的结合一样。也就是，yn = 0.8hn + 0.5hn10.8hnn0.5hn1nn0.8hn+0.5hn1输出样值点在下表中列出n0123456789ynsn = un 0.5un1 0.7un2前10个样值点为n0123456789sn4.32(a)、冲激响应能通过下式得到hn = 0.75hn1 + dn dn1(b)阶跃响应能通过下式得到sn = 0.75sn1
23、 + un 0.5un1或者通过冲激响应样值点的累加和得到。n01234hnsnn56789hnsnChapter 5 Solutions5.1(a)xn = ddndn2(b)和中的非零局部为k = 0、1、2。dn的响应为hn，对dn1的响应为hn1。因此，当输入xn = dn + dn1作用于这个系统，输出为yn = hn + hn1。hn和hn1这两个信号能通过信号的形式相加。hnnhn1nhn + hn1n5.3(a)hn2hn2n(b)hn+1hn+1n(c)hnhnn(d)h3nh3nn5.4从n=0开始，输入xn有样值0，-1，-2。从n=0开始，冲激响应hn有样值1,2,3,
24、4。这些样值点被插入卷积表。在n=5以上，所有的输出都为0.这是有限长度输入和冲激响应信号的直接结果。xk012hk4321y0 = 0h1k4321y1 = 1h2k4321y2 = 4h3k4321y3 = 7h4k4321y4 = 10h5k4321y5 = 8h6k4321y6 = 05.5(a)xk1234567hk1000y0 = 0h1k1000y1 = 0h2k1000y2 = 0h3k1000y3 = 1h4k1000y4 = 2h5k1000y5 = 3h6k1000y6 = 4(b)冲激响应hn = dnk是将信号延后了k个单位。5.6(a)所有在n=0之前和n=8之后的
25、采样点都为0。xk1111111hk1h1k1h2k1h3k1h4k1h5k1h6k1h7k1?y7 = h8k1?y8 = (b)、输出受边界效应影响的点用问号标出。5.7冲激响应和阶跃函数卷积产生了阶跃响应。阶跃响应的样值点当然是冲激响应样值点的累加和。n0123456789hnsnn10111213141516171819hnsn在17个样值点之后，阶跃响应的样值点改变小于1%。这个点可以看成大致进入稳定状态的开始。5.8 (a)xk010101010hk1h1k1h2k1y2 = h3k1y3 = h4k1h5k1h6k1y6 = h7k1y7 = h8k1从n=10到n=19的输出值
26、写在下面，所有20个输出样值作图如下。n91011121314ynn1516171819ynynn(b)、输出在一个循环内的样值点变化保持在1%是从n=9开始的。因此，大约稳定状态是在9个样值点后达到的。5.9(a)、冲激响应和输入的卷积产生了如下表的输出样值。n01234ynn56789yn(b)从n=6的样值点可似乎，输出和前面的样值改变X围在1%。稳定状态从这点开始。根本稳定状态输出倍数大约为1。5.10(a)、输入的时间大约为2p/W = 2p/2p/5 = 5.(b)、输出通过卷积获得。xkhk2h1k32h2k432h3k432h4k432y4 = xkh5k432y5 = h6k
27、432y6 = h7k432h8k432h9k432y9 = (c)稳态特性暂态特性ynn(d)、在稳定状态下，输出就像输入一样，每5个样值重复一次。5.11(a)xk111111hk000y0 = 0h1k1000y1 = 0h2k11000y2 = 0h3k111000y3 = 1h4k1111000y4 = 2h5k11111000y5 = 3h6k01111100y6 = 4h7k00111110y7 = 5h8k00011111y8 = 5h9k00001111y9 = 5ynn(b)、输出的稳定状态局部从n=7开始。暂态局部包括从n=0到n=6。5.12(a)、为了得到级联系统的冲激响应，一个冲激函数作用在第一个系统的输入。通过定义，得到输出为h1n。这个输入作为第二个系统的输入，和h2n卷积得到整体冲激响应hn。这是一般结论：两个级联滤波器的冲激响应时滤波器的冲激响应的卷积。h1k100h2k1h21k1h22k
