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1、立体几何中展开与折叠相关的问题。常考题型目录题型1立体图形的展开1类型1展开图问题1类型2最短路径问题3 考点1长方体中的最短路径3 考点2三棱柱中的最短路径4 考点3锥体中的最短路径4 考点4台体中的最短路径4 类型3周长最小问题5 类型4和最小问题6题型2平面图形的折叠7 类型1折叠中的小题8 类型2折叠中的解答题8U知识梳理知识点一.折叠问题1 .概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题.2 .折叠问题分析求解原则：(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持
2、不变知识点二.展开问题将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空间图形展开转化为平面问题进行研究.但题型分类题型1立体图形的展开类型1展开图问题【方法总结】立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱长展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点距离.【例题1】如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后抗字一面相对面上的字是()A.新B.冠C.病D.毒【变式1-11.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是(1)(2)(3)A.(l)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.
3、(l)(4)【变式1-12.如图是一小正方体的侧面展开图，小正方体从如图所示的位置依次第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是【变式1-13.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是与与与口与【变式1-14.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）【变式1-15.如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？【变式1-16.将3个6cm6cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接入一个边长为32cm的正六边形上,如图（2）所示.若该平面
4、图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为cm3.图（1）图（2）类型2最短路径问题考点1长方体中的最短路径【例题1-2】（多选）长方体。7。一口口口口1的棱长口口=4,口口=3,口口=5,则从O点沿长方体表面到达4点的距离可以为（）A.45B.310C.74D.8【变式1-2】1.已知长方体。一口口口1口内，OD=5,口口1=4,00=3,从点A出发沿着表面运动到4的最短路线长是.【变式1-22阵-口口曲,D11=2,00=4,=A,则一只小虫从D点沿长方体的表面爬到。1点的最短距离是.考点2三棱柱中的最短路径【例题1-3已知正三棱柱。口114的底面边长为2,高为5,从点。出
5、发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点的最短路线长度为.【变式1-3】如图,正三棱柱400的底面是边长为3的正三角形,侧棱。4二4,一小虫从点A途经三个侧面爬到点&,则小虫爬行的最短距离为（）A.4B.5C.97D.153考点3锥体中的最短路径【例题1-4在正三棱锥。一,=OO=1,乙=乙=30,一只蚂蚁从点。出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到点,则蚂蚁爬过的最短路程为.【变式1-4】1.空间四边形OgJ各边与两条对角线的长都为1点。在边。上移动，点O在边。口上移动l则点。，Ufi勺最短距离为.【变式1-42.在正四棱锥。,=4,磔。为勺中点,功的中点，则从点O台着四棱锥的表面到点比勺最短路径的
6、长度为（）A.27B,26C.4D.3【变式1-413.如图，在三棱推O.L平面,OO=4米，OO=3米，OD与底面口。所成角的正切值为2.已知蚂蚁从点。出发，沿着侧面。Dzj走到口。上的一点，再沿着侧面。续走到棱ZJZTt,则这只蚂蚁从点。出发到达棱OC的最短路程为米，这只蚂蚁的最短路线与。比勺交点到底面的距离为米.A考点4台体中的最短路径【例题1-5X多选）已知圆台的轴截面如图所示其上、下底面半径分别为卜=J=2,X卜母线ZJ。长为2,点功。U的中点，则（）B.圆台的侧面积为12C.圆台母线。与底面所成角为60D.在圆台的侧面上,从点O到点，的最短路径长为4类型3周长最小问题【例题1-6在
7、直三棱柱。77-口口中,=3,=1,=2,E是棱7。上的一点，则口、。的周长的最小值为（）a.ii+3B.ii23c.rf+i3D.H+i4【变式1-611.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为Cel的中点,点PfQ分别为面A1B1C1D1和线段BlC上动点，则PEQ周长的最小值为（）【变式1-6】2.如图，在正三棱柱0。中，AB=2,Z70=23,D,F分【变式1-63.如图，-。方。方为正方体，任作平面。与对角线。垂直，使得D与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为。，周长为。，则D,fWA.为定值，K为定值B.0不为定值，。为定值c.与侬为定值D.Z
8、T与磔不为定值【变式1-6】4.九章算术卷第五商功中描述几何体阳马”为底面为矩形,一侧棱垂真于底面的四棱推.现有阳马一口口口口,口口1口口口口,口口=1,口口=3,口口=3,Qah有一点E,使截面。7口周长最短，则。口与OZj所成角的余弦值等于（）类型4和最小问题【例题1-7在正方体ODZ7Z7口口、口口中,棱长为2,E为。Zj的中点，点P在平面内运动,则。O+的最小值为（）A.3B,23C.32D.5【变式1-7】1.如图，在棱长为1的正方体中。一口Z71口口1,若点口,口分别为线段。4,。口上的动点,点。为底面的动点,则。的最小值为（）A.BC.等D.1【变式1-7】2.在正方悻口口口口口
9、口口口中,棱长为2,E为。中中点，点P在平面内运动，则。Z7+的最小值为【变式1-7】3.如图主-中工施=9S,=6,=2,砥Z74上一点，则Z7+Aa的最小值是.【变式1-7】4.如图，在棱长为1的正方体。口口内,分别为棱i*a的中点，若点a口,侬别为线段。a,上的动点，则的最小值为一.【变式1-7】5.已知，如图,五方悻-口口楼长为1,Oah的动点，则。7+的最小值为.【变式1-76.在长方体，77。一R口中,棱口口=6,=2,点a是线段Oa上的一动点，则Oa的最小值是题型2平面图形的折叠类型1折叠中的小题【例题2-1已知矩形ABCD中，AB=3,BC=2f将aCBD沿BD折起至&CBD.
10、当直线CB与AD所成的角最大时，三棱锥-7Zj的体积为（）【变式2-11.角梯形0ADZj,DCHDD.口口1OD1DO=200=2,E为ZJU的中点用降口口咖2口口为就沿口口,。，折起，使得点A,D重合于点F,构成四面体OooO.若四面体OOO。的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为【变式2-12.由等边三角形组成的网格如图所示，多起影口口口口口口口口口某汽何体的表面展开图，对于该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），直线。Offl直线。口位置关系是.【变式2-113.侈选）如图，正方形ABCD的边长为1,M,N分别为BCjCD的中点，将正方
11、形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确A.异面直线AC与BD所成的角为定值B.三棱锥So的外接球的表面积为2C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.三棱锥体积的最大值为宏类型2折叠中的解答题【例题2-2】某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现九章算术中提到了刍薨这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1,E、F、G分别是边长为4的正方形的三边。7、口口、牛中点，先沿着虚线段3将等腰直角三角形OOO裁掉，再将剩下的五边形着线段。折起，连接口口、。怎得到了一刍鬻(如图2).图1图2若0是四边形B寸角线的交点，求证
12、：口口1呼面口口口：(2)若NAS=y,求三棱推。一S0的体积.【变式2-2】/.如图甲，在四边形PBCD中,PDBC,1111=口口=口口=口口=现将AABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点.证明：(1)Z7Z71口口;(2)PC_L平面ABM.【变式2-2】2.如图1,在直角梯形/口口口=90olOOOO1OD=OD=%口=2E为。型中点，将4。口斤起，使折起后的平面。方平面OOO垂直，如图2.在图2所示的几何体。-口口3:求证：。1平面。；(2)点F在技口上,且满足。Il口,求几何体体积.【变式2-2】3.如图，正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将口口口,口口口分别沿DE
13、,DF折起，使A,C两点重合于点P,过P焊口口】口口,垂足为H.证明：平面BFDE;(2)若四棱锥。-70。的体积为12,求正方形的边长.【变式2-2】4.如图,直角三角形ABC中，A=60,沿斜边AC上的高BD将SBD折起到WBD的位置,点E在线段CD上.(2)过点D作DM_LBC交BC于点M,点N为PB的中点，若口口平面DMN,求携的值.【变式2-2】5.如图：在SBC中,AB=BC=5,zABC=90o,DEllBC,DE=2,将9ADESDE折起至SPDE的履(如图),且NPEB=60.(1)请作出平面PBC与平面PDE的交线1(不需要说明理由)证明；平面PBeJ_平面PBE;(3)求
14、直线PE与平面PBC所成角的正弦值.【变式2-216.如图，已知直角三角形。Ou绕其直角边。旋转一周得一几何体，该几何体底面半径。=20cm,点。为半圆弧g勺中点，点。为OO的中点，口口与口蹄或的角为arctan2,求:(1)该几何体的全面积和体积；口,两点在该几何体侧面上的最短距离.参考答案【例题1】【答案】C【分析】将展开图折叠成正方体，观察可得结果.【详解】将展开图折叠成正方体可得击字与冠字相对，抗字与病字相对，新字与毒字相对，故选：C.【变式1.【答案】B【分析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，即可得出答案.【详解】(1)图还原正方体后，对面，对面，对面；(2)图还原后，对面，
15、对面，对面；(3)图还原后，对面，对面，对面；(4)图还原后，对面，对面，对面；综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是(2)(3).故选：B.【变式2.【答案】路【分析】根据正方体的表面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.【详解】由图可知，国和兴相对，梦和中相对，复和路”相对；由图可得，第1、2、3、4、5格对应面的字分别是兴、梦、路、国3复,所以到第5格时，小正方体朝上面的字是路.故答案为：路.【变式1-1】3.【答案】【分析】还原正方体即可解决.由图知，口与,与口,Q。重合，故答案为：【变式1-1】4.【答案】C【分析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开
16、图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形.【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该在几何体的上下，符合要求的只有C和D,再根据三角形的位置，即可得出答案，故选：C【变式1-15.【答案】（1）正方体（2）四棱锥【解析】（1）将展开图还原为原图可知，该几何体为正方体.（2）将展开图还原为原图可知，该几何体为四棱锥.【变式1-1】6.【答案】108【分析】根据平面图形折起后得到七面体，由七面体为正方体被平面所截，由对称性可得其体积.【详解】将平面图形折叠并补形得到如图所示的正方体，该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分,
17、由对称性知其体积为正方体体积的一半，即;63=108cm3.故答案为：108类型2最短路径问题考点1长方体中的最短路径【例题1-2】【答案】ABC【分析】从0点沿长方体表面到达有三种展开方式，以&4、轴展开，分别求Oa可得答案.【详解】则从o点沿长方体表面到达&有三种展开方式，若以44为轴展开，则=(Z71+1111)2(111Z71)2=8TT9=310,若以7。为轴展开，则口Ol=(717+117)2+(Z77)2=49+25=74,BlB若以打。为轴展开，则。Ol=(11Z7+711)2+(771)2=64+16=45.故选：ABC【变式1-2】1.【答案】74【分析】将长方体的面折叠到
18、同一平面，求出线段的长，分三种情况，求出结果，比较大小，确定最短路线长.【详解】如图，将长方形。与平面口口口,折叠到同一平面，如图1所示，将长方形与长方形口、口、&折叠到同一平面，如图2,连接口,此时。a=J(4+3)2+52=74f将长方形。0。D与长方形。040折叠到同一平面，如图3,连接g,此时Da=J(4+5)2+32=310,因为g45s120=16+434;(3)当点m着平面口口口、口口口四氤口,连接口口,如下图所示：则。7=2,117=4+23,11D11=30,由余弦定理可得70=11Z+1111l-2DD-00cos30=20+834;(4)当点着平面OOQ口口口、OZJO到
19、点口，将这三个侧面延展为同一平面，如下图所示：Nnc易知Z7、az三点共线，且口口=6,OO=2,乙口口口=60,由余弦定理可得D=R口仃+口仃一27Ox)s60=274.综上所述，从点着四棱锥的表面到点。的最短路径的长度为4.故选：C.【点睛】方法点睛：(1)计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即化折为直或化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；(2)对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.【变式1-43.【答案】25件1.5【分析】由题意，将侧面ABD翻折至与平面AB
20、C共面，由两点之间直线最短确定出蚂蚁的最短路线为CFE,利用勾股定理求出最短路程为CE=25米，利用三角形相似求出FBV【详解】因为AB_L平面BCD,所以ABBC,ABBD,又AB=4米，BC=3米，所以AC=5米.因为AD与底面BCD所成的角为NADB所以tanADB=浣=2所以BD=2米.将侧面ABD翻折至与平面ABC共面，如图所示.AC=CD=5米，AD=2S米，取AD的中点E,连接CE,交AB于F厕CEJ_AD,蚂蚁的最短路线为(:一F-E,最短路程为CE=25米，最短路线与AB的交点为F.取BD的中点G,连接EG,则EG=AB=2米，BGWBD=I米，根据KCBFiCGE,得端二需
21、三，则FBWEGW,故这只蚂蚁的最短路线与AB的交点到底面BCD的距离为善笈故答案为：25;宏考点4台体中的最短路径【例题1-5】【答案】AC【分析】根据已知求体积;过Ol乍。切/44交底面于F,判断出NODOB)为母线o0底面所成角；作出圆台的侧面展开图，直接求出面积；圆台的侧面上，判断出从UIB)最短路径的长度为CE,等逐个判断即可求解.【详解】对于A圆台的高为3则圆台的体积。=g(l2+12+22)x3=(cm3),A正确；对于B:由题意，圆台的侧面展开图为半圆环，口其面积为O=j224-212=6.故B错误;对于C:过A作。7&4交底面于F,则441底面，所以NSB为母线。与底面所成角
22、.mc4g在等腰梯形ABCD中，OO=2,OO=2-1=1,所以cos/ODO=携=因为为锐角,所以，口口口=60。.故C正确；对于D:如图示，在圆台的侧面上，从。到GJ最短路径的长度为CE.由题意可得：口口=口口=4,口口=2.由口为中彘,所以70=3,所以=，。炉+口仃=%2+32=5.故D错误.故选：AC类型3周长最小问题【例题1-6】【答案】C【分析】由侧面展开图求解，【详解】由题意得Olo=2=,将三棱柱的侧面展开如图所示,当口*口,。三点共线时，口,。周长的最小，此时7+7。=9+4=13,即4口、OGJ周长的最小值为+13,故选：C【变式1-6】1.【答案】B【分析】通过对称装换
23、口口,口口,口口,由三点共线求得三角形SO周长的最小值.【详解】在平面4oh设E关于BlC的对称点为M根据正方形的性质可知。O=1,次于BICl的对称点为N,口、口=口、口=口口=,连接MN,当MN与BlCl的交点为P,MN与BlC的交点为。时，则MN是WEQ周长的最小值，口口=1,口口=3,口口=Vl2+32=T,“PEQ周长的最小值为同【分析】由正三棱柱aZ71口1_SB)性质可得：口口、IAB,口口、IAC.在RtADF中，利用勾股定理可得DF=2.因此只要求出DEEF的最小值即可.把底面ABC展开与侧面Sa4在同一个平面，当三点D,EzF在同一条直线时，DE+EF取得最小值.再利用余弦
24、定理求解.【详解】解：由正三棱柱444-口口口,可得口口_L底面ABC,:.口口11AB,口口11AC.三RtADF,DF=J(3)2+12=2.把底面ABC展开与侧面7004在同一个平面，如图所示，只有当三点D,E,F在同一条直线时，DE+EF取得最小值.在ADF中，zDAF=60o+90=150,由余弦定理可得：DF=J（V3）2+i2-23cos150=7.ZiDEF周长的最小值=7+2.故答案为：7+2.【变式1-6】3.【答案】B【分析】将正方体切去两个正三棱锥。-dDDd-ddoj,得到一个以平行平面已口口与已廿口为上、下底面的几何体，G）每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形。的
25、每一条边分别与g）底面上的一条边平行，将U的侧面沿棱方。剪开,展开在一个平面上，得到一个平行四边形o,考查。的位置，确定o【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥己口口与廿一dd,得到一个以平行平面仃口口与已仃牛上、下底面的几何体。，。的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形Sj每一条边分别与o的底面上的一条边平行，将o的侧面沿棱方剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形。o,如图所示而多边形。的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中方4）,显然，d.=da.,所以为定值，当方位于中点时，多边形口为正六边形，而当。称到方时，。为正三角形，则当周长这定值U的正六边形与正三角形面积分别为塔仃塔仃，
26、所以U不是定值，N4OO故选：B【变式1-6】4.【答案】D【分析】通过底面展开转化为平面图形，容易找到最小值点然后利用平移法作出异面直线所成的角，即可得解；【详解】解：将平面口口口口沿口口斤至仃口口仃，使口口口与d口口仃共面,连接。7交OU于Z7,连接口口,此时OOU周长最短,作H口K口,则n7S（或其补角）即为所求角，在RgSAB中,口口=J口+口仃=2,.由空=半，即：=攀，可得。7=2,OODOJJ在Rt&SBE中,口口=J口d+cf=2/2,.在RgSFE中,coszZ70Z7=端=&，故。与。历f成角的余弦值等于1.4故选：D.类型4和最小问题【例题1-7】【答案】A【分析】利用点
27、面对称关系，找到点。关于平面Saa的对称点为。,则口口、=口口+口口一再根据两点之间线段最短，可得答案.【详解】解：取。GJ中点F,连接口口,如下图：因为E为。中点，所以点E、F关于平面OOa4对称，所以。+口口、=口口+口口、,最小值为。=12+22+22=3.故选：A.【变式1-7】1.【答案】A【解析】先固定M,使PM,NM最小，则易知P应是M在BD上的射影，N应是M在BlC上的射影；利用线面垂直判定定理易知BCl_L平面BClDlr-N应为BCl,BlC的交点O;将,BDDl和ABClDl展开放到一个平面上可得当P、MsO共线目垂直于BD,时PMMN最小时，利用正弦的二倍角公式求得Si
28、nzDBCl的值，进而计算可得.【详解】解：首先当固定M时，P点应为M在平面ABCD中的射影，在BD上，且MPLBD于R为使MN最小，MN应当垂直与BlC,垂足为N1连接BeL设BCInBIC=Q则BClBlCz由DlClJ_平面BCClCl得DlClj_BIG又.DlCinBCl=CL.BIC，平面BClDl,由MNJ_BIGM平面BClDL.MNu平面BCIDLN应为BCl,BlC的交点。将小BDDl和ABClDI展开放到Y平面上，如图所示:转化为求折线PMO的最小值，显然最小时P、M、0共线，且垂直于BD,如图所示MO,P0,NO,为使PM+MN最小时，M,RN的位置.显然BDD及BC1
29、DL.nDBD:I=NCIBDl.sinzDBCl=si2zDBDl=2sinzzDBDlcoszDBDl=2=oO=9n乙=与*故选A.【点睛】本题考查空间距离和的最值问题，属中高档题，关键在于先固定寻找MP,MN最小的条件和位置，然后利用展开方法，进一步研究求解.【变式1-7】2.【答案】3【分析】由条件证明点E、F关于平面4对称，由此可得OO=,再根据结论两点之间线段最短求OO+Aa的最小值即可.【详解】取OQ的中点F,连接口,如下图：C1AFB因为E为。中点，所以点e、F关于平面。Oa4对称，所以。+口口、=OO+口口因为匚70+口口、口口,当且仅当点。为线段。4与平面DOaa的交点时
30、等号成立；所以Qa的最小值为7a,由已知Oa为直角三角形，且口口=1,口口、=22,，口口口、为直角,所以Z70=3,所以S+70的最小值为3.故答案为：3.【变式1-7】3.【答案】52【分析】把平面g着O0展开与700在同一平面上，利用余弦定理进行求解即可.【详解】把平面anOS着Oa展开与OOa在同一平面上，连接0。，则Oa的最小值是0O,因为4口口口=90,三棱柱OS-&是直三棱柱，口口=6,LJLJ=口LJ=y/2,口、LJJa4+口、厅=J口+LJLJ+口、Lf=36+2+2=2W,r7111=J111r+71Z=2+2=2z因为口、民+口子=口Lf,所以口、口口口1,所以/口、口
31、1口=90,口、口、=6,所以/OaZ71=45+90=135,由余弦定理得&U=口心+口民-211D*cos135=50,所以47=52,故OZ7+0的最小值是5故答案为：52【变式1-7】4.【答案】1【分析】由口口=7。可确定为7。中点时，口酒小,取口口=口口,通过三角形全等可将问题转化为+。最小值的求解问题，根据三点共线时线段和最小可求得结果.S=77,.当。为7。中点时，7，取得最小值；在口口上取一氤口,使得S=DD.tanz7ZZ7Z7=tanz111111=y,.乙口口口=乙口口口、,Z7Z7ZZ7三口口口,：,口口=口口;则当口口,三点共线时，口口+最小，即最小，皿H且口口=口
32、口、=1,11O+/7。的最小值为1.故答案为：1.【变式1-7】5.【答案】2+2【分析】首先将翻转平面4&Q,使点口转到的对应点4在平面040内,再将折线和的最小值，转化为两点间距离，即可计算结果.【详解】如图，将4口口。沿口遍转,使点转到的对应点4在平面o04内.上口2口口=乙口1口1口=90.故N771口?二口口、口+2口口、口?=4590=135.从而，口口+口1口=口口+口2口2口口2=Jl2+12-2cos135o=2+2.当且仅当孕皿与4U的交点时，上式等号成立.故答案为：2+2【变式1-7】6.【答案】52【分析】将沿4为轴旋转至于平面。共面，可得口口2口、，利用口口、=OD
33、+OD2求解即可.【详解】解：将Ao沿为轴旋转至于平面S4共面，可得入口口2口1则4口口口2=135,故70+70=口口+口口2口口2=J62+(2)2-262cos135o=52,当且仅当O为。4与。0的交点时取等号，所以。O+的最小值是55.故答案为：52.题型2平面图形的折叠类型1折叠中的小题【例题2-1】【答案】C【分析】先判断当。D与。所成角最大时，dl。7,进而证得。71面OOO,再证得是直角三角形，故可由。.=O,求得结果.O-OCJOO-OUD【详解】因为异面直线最大角为直角，故当。时，7D与所成角最大，因为四边形OOOK矩形，所以OOl口口,又已口1口口，口cB口=口I口口、
34、仃口国口口仃，故口口遹口口廿,又因为。方U面Ul所以口口1Dd,在Rta7O0,OD=2,d11=3,所以=J。4一7/=5,22又口仃=2,ad=5,口口=3,所以m2=ad+ad,故。1od,所以7.=口,=!口i.Z7Z7=11252=.D-OlJlJO-DOD3力口口323故选：C【变式2-1】1.【答案】苧【分析】根据线面垂直的判定定理和性质定理确定垂直关系再确定外接球的球心所在位置，利用勾股定理求出外接球的半径即可.【详解】如图.由题意可知，折叠后所构成的四面体OOO为，乙口口口=90,/700=90,N。7冰可能为直角.在Rg7753,由口口7可知，nZ7Z7%直角,即7Z7_L
35、口口.因为771ODtOOl,c口口=,口,u钙口口口,所以口口上平面口口口,因为0口u平面口口口所以口口1DD.又因为工口口.c口=口,u平面口口口,所以77，平面777,因为u平面口所以上.所以四面体。Sa外接球的球心为OO的中点,半径为;口口在直角梯形。口中，设=口,则有。D2=ZJ2+1,11ZJ2=ZJ2+4,7U=44+1.由W+口Ef=口UI解得O=M负值已舍去）,则竽.【变式21】2.【答案】异面【分析】画出几何体，即可得到直线。Of口直线的位置关系.几何体如图所示，所以易知直线。序口直线磔异面直线.故答案为：异面.【变式2-1】3.【答案】ABD【分析】利用线面垂直的性质判断
36、A;易知外接球球心理。中点求解判断B；利用垂直的转化通过反证法可判断C选项；利用等积法判断D选项.【详解】对于A,取。中点7,连接则口。1,且1Oo,所以701平面l所以1,异面直线S与7U所成的角为90。，为定值，故选项A正确；对于B,因为OA=OB=OC=OD,所以外接球球心是。,所以外接球半径O=,2四面体UODU的外接球体积为。=4X（苧）=2,故B正确.对于C,若直线。与直线。垂直，直线。口与直线。t垂直，则直线77_L平面。7,直线77_L直线77,又口口1口口，；.口口I平面口口口.：.口口1口口,而470。是以ODF为腰长的等腰三角形，与题意不符，故C错误；对于D,Ou-dud
37、=口口一口口口,当平面S7_L平面SZj时三棱锥。一S。体积取最大值，血i=当口=2Ot,DOCr，（口-d）max=5,=,故选项D正确.故选:ABD.类型2折叠中的解答题【例题2-21【答案】（1）证明见解析；竽.【分析】（1）线段70中点为。，证明。/。口即可；（2）利用等体积法求三棱锥的体积.【详解】（1）在图2中取线段。点H,连接。口口口,如图所示:图2由图1可知，四边形腹矩形,且口口=2口口,.Q是舜殳OO与。怵中点工H口电口=；,图14口口11口0口口=；口口,而HCSJJ口=口口.所以在图2中f11OIIO11S,O11=:口口.jH口11=DD,四边形。是平行四边形，奥口口口
38、口,由于口口C平面口口口,Z77u平面777,.7。/平面777（2）/ZZ7Z71DDtDDLZZ7Z7,u面口口口,DDcx口口=口。：.口口1面DDD,口，口口=；,&吟=122=W,所以口口一口口口=口口一口口口=；口口口口OO=V34=竺,即三棱锥。一OogJ体积为苧.【变式2-211.【答案】Q）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）如图，取AB的中点E,连接PE,CE,AC,由题意可证WBA、MBC是正三角形，则PEAB.ECAB.根据线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）如图，取PC的中点N,连接MN,BN,贝UMN/AB,即A,B,N,M四点共面，得BNLPC.由（1）,结合线面垂直的判定定理即可证明.【详解】（1）如图，取AB的中点E,连接PE,CE,AC,.AD=BC且AD/BC,故四边形ABCD是平行四边形，.AB=CD且AB/CD.XPB=PA=CD,.PA=PB=AB,gpPBA是正三角形，.PEAB,在图甲中，4口口口=60,则nZ7OZZ7=60,由口口=DD,知SBC是正三角形，故ECJ_AB.又cDCJ=O1口口、/7。U平面PEC,.AB_L平面PEC,又77u平面PEC,.ABPC.（2）如图，取PC的中点N,连接MN,BN1-.M是PD的中点,.MNCD.由（1）知
