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1、第Ol讲一元一次方程的概念和解法（重难点）【知识点一、方程的有关概念】1 .定义：含有的等式叫做.说明：数.2 .方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做I说明：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（或它们）是方程中未知数的值；将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是.3 .解方程：求方程的解的过程叫做.4 .方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【知识点二、一元一次方程的有关概念】定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程.说明：“元”是指未知数，
2、“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：首先是一个方程;其次是必须只含有一个未知数;未知数的指数是1;分母中不含有未知数.【知识点三、等式的性质】1 .等式的概念：用符号“=”来表示的式子叫做等式.2 .等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果=3,那么ac二bc（C为一个数或一个式子）.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：a_b如果那么M=/；如果=b（cN）,那么C-.说明：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加
3、的不是整式，那么变形后的等式不一定成立,11_1如X=O中，两边加上X得x+XX,这个等式不成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零.【知识点四、解一元一次方程的一般步SH变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项(2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项把方程化成ax=b(aW0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方
4、程两边都除以未知数的系数a,得bX=到方程的解a.不要把分子、分母写颠倒注意：(1)解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化.(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆.【知识点五、解特殊的一元一次方程】解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为-般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义.说明：此类问题一般先把方程化为+M=C的形式，再分类讨论
5、：当c0时，原方程可化为：ax+b=此类方程一般先化为最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论：hX=(1)当a0时，。；(2)当a=0,b=0时，X为任意有理数；(3)当a=0,bWO时，方程无解.题型一方程的概念例1.下列四个式子中，是方程的是()42A. X6B.3x+歹=5C.-3x-2D.-=63【答案】B【详解】A.x-6,不是等式，不是方程，不符合题意；B. 3x+y=5是方程，符合题意；C. -3+x-2不是等式，不符合题意；42D. ；=9不含有未知数，不符合题意；63故选B.【变式训练11】、下列各式中是方程的是()A.2x2-x+3B.5+4(-6)C.2x-=3x+2D.
6、32-7=-l【答案】C【详解】解：As2/+3含仃未知数，但不是等式，所以不是方程，故不符合题意.B、5+4x(-6)不含有未知数，且不是等式，所以不是方程，故不符合题意；C、2x-l=3x+2符合方程的定义，故符合题意；D、3x2-7=-l中不含有未知数，不是方程，故不符合题意.故选：C.【变式训练12】、下列各式中，是方程的个数为()X=0；3x-5=2x+；2x+6；x-y=0;=5y+3;a2-6=0.A.2个B.3个C.5个D.4个【答案】C【详解】解：、是方程，符合题意；不是等式，故不是方程，不符合题意；故选：C.题型二一元一次方程的相关概念例2.下列方程中是一元一次方程的是（）
7、A.X2+1=5B.5x+4=0C.=10D.x+2=y-32x【答案】B【详解】解：A、+l=5,含未知数的项的次数为2,不符合题意；B、5x+4=0,是一元一次方程，符合题意；C、；=不是整式方程，不符合题意：D、x+2=y-3,由两个未知数，不符合题意：故选B.【变式训练21】、下列是一元一次方程的是（）1 YA.x+2y=3B.3x2C.x2+x=6D.=33【答案】D【详解】解：A.方程x+2y=3含有两个未知数，不是元次方程，故本选项不符合题意；8. 3x-2是代数式不是方程，故本选项不符合题意；C.方程d+=6最高次项的次数是2次，不是一元一次方程，故木选项不符合题意；I-YD.
8、方程胃=3,故本选项符合题意.故选：D.【变式训练22、在方程3x+y=4,2x=5,x2+2x-3=x+，X=O中，一元一次方程的个数X为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【详解】解：方程3+y=4含有两个未知数，故不是一元一次方程；方程2x-J=5是分式方程，不是一元一次方程；X方程/+2x-3=x+l未知数的次数是2次，不是元一次方程；方程X=O是一元一次方程；一元一次方程的个数是1个，故选：A.题型三等式的性质例3.下列运用等式的性质变形错误的是（）A.由。=方，得+6=6+6B.由=5,得6=6-6C.由=b;得2=2bD.由-2。=-2b,得=-Z【答案】D【详解】解：
9、A、由=b,得+6=8+6,正确：B、由得。-6=6-6,正确；C、由。=；得2=2b,正确；Dx由一2白二一2力，得a=b,选项错误；故选D.1 2【变式训练31、已知o50%=b;=CXq（。、b、C均不为0）,则。、b、C三个数中最大的是（）A.aB.bC.cD.无法确定【答案】A【详解】解：由x50%=b;=CXl得：=2Z）=c,4a=4b=-c,3bC三个数中最大的是。，故选：A.【变式训练32】、运用等式性质进行的变形，不一定成立的是（）A.如果=Z,那么c=bcB.如果=6,那么32。=32力C.如果=2,那么=2D.如果二=?，那么4a=3634【答案】C【详解】A.根据等式
10、性质2,。=力两边同乘以c,可得到c=bc,故本选项不合题意；B.根据等式性质2,=方两边同乘以-2,得到-2a=Q,根据等式性质L-2。=-26两边力口上3,可得到3-2=3-2匕，故本选项不合题意；C.根据等式性质2,=2,需条件。工0才可得出=2,故本选项符合题意；D.根据等式性质2,；=两边同乘以12,可得到4=3b,故本选项不合题意；故选：C.题型四设未知数列方程例4.根据与5的和的3倍比X的少2”列出的方程是()YYA.3x+5=一一2B.3+5=-+233C.3(x+5)=-2D.3(x5)=2【答案】C【详解】解：由题意可得：3(x+5)=y-2,故选：C【变式训练41、“X的
11、4倍与3的差比X的2倍多5”可列等式表示为()A.4x-3=2(x+5)b.4x-3=2x+5C.4(x-3)=2(x+5)D.4(x-3)=2x+5【答案】B【详解】解：由题意，得4x-3=2x+5故选：B.【变式训练42】、儿童算术中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？若设人数为”,则下列方程正确的是()A.8x+3=7x-4B.8x-3=7x+4C.8(x-3)=7(x+4)D.8x+4=7x3【答案】B【详解】解：设人数为X,根据题意可得:8x-3=7x+4.故选B.题型五解较简单的一元一次方程例5.若X=-3是关于X
12、的方程3x+=2的解，则。的值为()A.-1B.11C.-7D.8【答案】B【详解】解：将x=-3代入3x+=2中，得一9+。=2,解得：a=Il,故选：B.【变式训练51、方程2x-6=O的解是()A.3B.-3C.3D.-【答案】A【详解】解：2x-6=0,移项得2x=6,系数化1得，x=3,故选：A【变式训练52】、一元一次方程3x+2=8的解是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【详解】解：3x+2=8,移项、合并同类项，可得3x=6,系数化为1,得=2.故选：B.题型六去括号解一元一次方程例6.下列各题中正确的是()A.由7x=4x-3移项得7x-4x=3B.由F=I+三口去分母得
13、2(2x-l)=l+3(x-3)C.由2(24-1)-3。-3)=1去括号得4工一2-3一9=1D.由2(x+l)=x+7移项、合并同类项得x=5【答案】D【详解】A、由7x=4x-3移项得7x-4x=-3,故错误；B、由=1+三去分母得2(2x-l)=6+3(x-3),故错误；C、由2(2x-l)-3(x-3)=l去括号得4x23x+9=l,故错误；D、由2(x+l)=x+7去括号得：2x+2=x+7,移项、合并同类项得x=5,故正确.故选：D.【变式训练61、若x=2是关于X的方程2。5(x-l)=3x-(3q+l)的解，则等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】解：“2
14、是关于X的方程*-5(x-l)=3x-(3+l)的解,2tz-5(2-l)=32-(3l),解得。=2.故选：B.【变式训练62】、解方程2(、-5)-l=66-,有以下四个步骤：去括号，W2x-IO-X=3x2移项，得2x-x-3x=10+2合并同类项，得-2x=12系数化为1,得x=-6经检验知：x=-6不是原方程的解，这说明解题的四个步骤有错，其中做错的一步是()A.BC.D.【答案】B【详解】解：2(x-5)-x=6-i去括号得：2x10X=3x2,移项得：2x-x-3x=0-2,合并同类项，得-2x=8系数化为L得x=-4可知所给的4个步骤中从第步开始出现错误，故选B.题型七解含分母
15、的一元一次方程例7解方程空，去分母正确的是()362A.2x+3-x+l=15-xB.2x+6-x+l=15-3xC.2x+6-x-l=15-XD.2x+3-x+1=15-3X【答案】B【详解】解：孚-二=?，去分母，方程两边同时乘以6,2(x+3)-(x-l)=3(5-x),2x+6-x+l=15-3x,故选：B.【变式训练71、如果方程2-?=与工的解也是方程2-三三二0的解，那么的值是()363A.7B.5C.3D.以上都不对【答案】A【详解】2-=36去分母得：12-2(x+l)=x+7,去括号的：12-2x-2=x+7,移项得：-2x-x=7-12+2,合并同类项得：-3工=-3,系
16、数化为1得：x=l.将X=I代入2-速=O得：2-g=0,去分母得：6-(。-1)=0去括号得：6-4+l=0解得：=7故选：A【变式训练72】、将方程竽一罟=I去分母得至J2(2x-l)-3x+l=6,错在()A.分母的最小公倍数找错了B.去分母时漏乘项C.去分母时各项所乘的数不同D.去分母时分子是多项式漏加括号【答案】D【详解】解：将方程竽-?=1去分母得到2(2x-1)-3(x+1)=6,错在去分母时分子是多项式漏加括号.故选D.题型八解含绝对值的方程例8已知关于X的一元一次方程(4-2)MlTO=0,则尸()A.3B.3或0C.5D.-5【答案】D【详解】解：（A-2）MITO=O是一元一次方程，-l=l,k-20fAr=O,-2x-10=0,解得：x=-5,故选：D；【变式训练81、已知方程3X+8=：-。的解满足卜-2|=0,则。的值为（）27Cl1一A.B.C.D.422814【答案】A【详解】V-2=o,tx=2,2把x=2代入3x+8=J-0得：328=一一a,4427解得=-色，故选：A.【变式训练82、当4时，关于X的方程x+l+x-3=的解的情况是（）A.方程只有1个解B.方程有2个解C.方程有无数个解D.方程无解【答案】B【详解】当x3时，原方程为：x+x-3=a,解得X=等.综上：当4时，关于X的方程k+l+x-3=有两个解.故选：B.
