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1、第03讲角1.掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换;2 .借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；握钟表上有关夹角问题及运算；5 .会利用角平分线的意义进行有关表示或计算;6 .掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算7 .掌握余角、补角的性质及有关运算。知识点1角的概念1.角的定义：(1)定义一，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.如图1所示，角的顶点是点0,边是射线0A、0B.二一囱4O始边A(2)定义二四二条射线绕着它的端点旋转而图2形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2所示，射线OA绕它的端点0旋转到
2、OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边.注意：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角：如图1所示射线OA绕点0旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角.2.角的表示法：角的几何符号用“N”表示，角的表示法通常有以下四种：注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母.(1)用三角板可以画出30、45。、60。、90等特殊角.(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.(
3、3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.知识点2角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1的角，I0的-为1分，记作“1，1的-为1秒，记作“1这种以度、分、秒为单位的6060角的度量制，叫做角度制.1周角=360,1平角=180,I0=60,1=60.注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位.知识点3钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30的角，分针1分钟转6。，时针每小时转
4、30,时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.知识点4方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60；射线OB的方向是南偏西30.这里的“北偏东60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角.注意：(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示.(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60”一般不说成“东偏北30”.(3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向.(4)图中的点0是观测点，所有方向线(射线)都必须以0为端
5、点.知识点5角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是NAOB的角平分线，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOc=-ZAOB.2注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.知识点6：角的运算如图所示，NAOB是Nl与N2的和，记作：ZAOB=Z1+Z2；NI是NAOB与N2的差，记作：Zl=ZA0BZ2.注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；读数(读出另一边所在线的度数).(2)利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、
6、90。外，根据角的和、差关系，还可以画出15,75,105,120,135,150,165的角.知识点7：余角和补角(1)余角：如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。NA+zC=90o,zA=90O/C/C的余角=90。NC即:NA的余角=90。NA(2)补角：如果两个角的和是一个平角,那么这两个角叫互为补角.其中一个角叫做另一个角的补角NA+zC=180o,zA=18(nCC的未卜角=180NC即:NA的未卜角=180NA(3)补角的性质：同角的补角相等。比如：A+B=180A+C=180,则：zC=zB等角的补角相等。比如：nA+B
7、=180OD+nC=18(A=ND贝hzC=zBo(4)余角的性质：同角的余角相等。比如：nA+nB=90O/A+nC=90。,则：zC=zB等角的余角相等。比如：A+nB=90D+C=90A=nD贝I：zC=zB注意：钝角没有余角；互为余角、补角是两个角之间的关系。如nA+/B+/C=90。，不能说/A、/B、/C互余；同样：如A+nB+nC=180,不能说nA、/B、NC互为补角；互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90。或180,就一定互为余角或补角。【题型1角的概念及表示】【典例1】（2022秋绥宁县期末）下列四个图中，能用/1、ZAOB.No三种方法
8、表示同一个角的是（）【答案】D【解答】解：4、图中的NAO8不能用No表示，故本选项错误;B、图中的Nl和NAoB不是表示同一个角，故本选项错误；C、图中的Nl和NAo8不是表示同一个角，故本选项错误；D、图中/1、NAo8、N。表示同一个角，故本选项正确；故选：D.【变式11】（2023兰溪市模拟）“直角”在几何学习中无处不在，如图图中的NAOB一定是直角的是（）A.B.C.OD.【答案】CZVlOQ为直角三角形，NAOB是直角.故符合题意.Y直径所对应的圆周角是直角，NAOB是直角.故符合题意.设两弧交于点。.连接，CD、BD.YCA=CD, 点。在A。的垂直平分线上；又.3A=3Q, 点
9、B也在AD的垂直平分线上.8C是A。的垂直平分线. NAoB是直角.故符合题意.设两弧交于点D.连接8、ED.AE. 根据作图可知，DC=DE,CA=CEf 点、D在CE的垂直平分线上，但点A不一定在CE的垂直平分线上， NAOB不一定是直角.故不符合题意.故选：C.【变式12（2022秋曲靖期末）下列图形中，能用NAo8,Z0,NI三种表示方法表示同一个角的是（）【答案】A【解答】解：根据角的概念，选项A可以用N408,NO,NI三种表示方法表示同一个角,故选：A.【变式13】（2022秋马尾区期末）下列四个图中，能用Nl、N。、/MON三种方法表示同一个角的是（）【答案】C【解答】解：A、
10、图中的NMoN不能用No表示，故本选项错误;B、图中的NMoN不能用No表示，故本选项错误；。、图中/1、NMoMNO表示同一个角，故本选项正确；D、图中的NMoN不能用N。表不，故本选项错误；故选：C.【题型2钟面角【典例21（2022秋梁山县期末）如图所示，钟表上显示的时刻是10点10分,D. 150再过20分钟，时针与分针所成的角是（）A.75oB.120oC.135【答案】C【解答】解：10点10分，再过20分钟就是10点30分，30oX（41）=135,2故选：C.【变式21】（2022秋金凤区校级期末）钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（）A.IlOoB.75oC.105
11、oD.90【答案】B【解答】解：由题意得：230o+A30o2=60+15=75,钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75.故选：B.【变式22】（2023春招远市期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为度.（）A.40oB.50oC.60oD.70【答案】B【解答】解：14时（20分）时，时针指向2和3之间，分针指向4,时针从12时到14时（20分）旋转的角为：-360=70。，分针从14时到14时（20分）旋转的角为：卷X360=120，因此时针与分针的夹角为120-70=50,故选：B.【变式23】（2023春东平县期末）在9：30这
12、一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为（）A.105oB.1000C.90oD.85【答案】A【解答】解：由题意得：330o+A30o=105o,2在9：30这一时刻，时钟上的时针和分针之间的夹角为：105,故选：A.【变式24】（2023春龙口市期中）从8：13分到8：37分，时钟的分针转过的角度是（）A.148oB.144oC.136oD.108【答案】B【解答】解：钟面上每两个数字之间所对应的圆心角为匹匚=30,每一个12“小格”所对应的圆心角为虹=6。，5从8：13分到8：37分,分钟转过3773=24个“小格”，所以从8：13分到8：37分，分针转过的角度是6X24=144,故选：B
13、【题型3方位角】【典例3】（2022秋汉台区期末）如图，A地和3地都是海上观测站，A地在灯塔。的北偏东30方向，ZAOB=WOo,则B地在灯塔。的（）A.南偏东40方向B.南偏东50方向C.南偏西50方向D.东偏南30方向【答案】B【解答】解：由题意得：180o-30-100=50,8地在灯塔O的南偏东50方向，故选：B.【变式31】（2023芝景区一模）如图，点5在点4的北偏西50方向，点C在点B的正东方向，且点C到点8与点A到点B的距离相等，则点A相对于点C的位置是（）A.北偏东25B.北偏东20C.南偏西25D.南偏西20【答案】D【解答】解：Y点8在点A的北偏西500方向，ZBAE=5
14、0o,点C在点B的正东方向，：.BC/AD,ZB=90o-ZBAE=AOq,:BA=BCfZBAC=ZC=1（180o-40）=70，2：.ZEAC=IOo-50=20,点A相对于点。的位置是南偏西20,故选：D.【变式32】（2022秋下陆区期末）如图，甲从A点出发向北偏东700方向走到点乙从点A出发向南偏西150方向走到点。,则NBAC的度数是（）A.85oB.160oC.125oD.105【答案】C【解答】解：AB于正东方向的夹角的度数是：90-70=20,则NBAC=2090o+15=125.故选：C.【变式33】（2022秋泗水县期末）如图，OA是北偏东30方向的一条射线,若射线。8
15、与射线OA成90角，则。3的方位角是（A.北偏西30方向B.北偏西60C.南偏东30方向D.南偏东60【答案】D【解答】解：如图所示：射线08与射线OA成90角， ZAOD+ZBOD=90o ,西0A是北偏东30方向的一条射线， ZAOD=60o ,AZBOD=30 ,ZBOE=60o ,即OB的方位角是南偏东600方向， 故选：D.）方向方向不 南【题型4度分秒换算】【典例4】（2022秋六盘水期末）34.37=342212.【答案】见试题解答内容【解答】解：34.37=342212,故答案为：22,12.【变式41】（2023春无锡月考）单位换算：2030=20.5.【答案】20.5.【解
16、答】解：2030=20.5.故答案为：20.5.【变式42N2022秋梁子湖区期末）120.76=120度45分36秒.【答案】120,45,36.【解答】解：（120.76-120）60,=45.6,（45.6-45）60=36即：120.76o=120o45,36,故答案为：120,45,36.【变式43（2022秋新抚区期末）计算：1842+42o58,=6140.【答案】61o40,.【解答】解：1842,+42o58,=60o100=61o40,.故答案为：6140,【题型5角平分线的定义】【典例5】（2022秋榕城区期末）如图，点O在直线AB上，射线。是NAOC的平分线，若NCoB
17、=40,则N。的度数是（）A.20oB.45oC.60oD.70【答案】D【解答】解：由题意可知，NCoB与NAoC互补，ZAOC=180-40=140,射线0。是NAoC的平分线，Zdoc=Izaoc=100.2故选：D.【变式51】（2022秋内江期末）如图，点A、。、8在同一条直线上，。平分/DOB,已知NOOC=65,则NOOA的度数是（）A.45oB.50oC.55oD.65【答案】B【解答】解：YOC平分NOO&NDoC=65,NOO8=2NooC=652=130o,VA0、3在同一条直线上,.,.ZDOA+ZDOB=180,ZDOA=180o-ZDOB=50o，故选：B.【变式5
18、2（2022秋新华区校级期末）如图，ZAOB是直角，。是NAOB内的一条射线，OE平分/BOD,若NBOE=24,则NAO。的度数（）A.46oB.54oC.42oD.67【答案】C【解答】解：TOE平分NBOD,.,.ZBOD=2ZBOE=48oNAoB=90ZAOD=90oN300=90-48=42故选：C.【变式53（2022秋鸡泽县期末）已知NAoB=50,ZBOC=30o,。平分NAOC,则NAoO的度数为（）A.20oB.80oC.20或80D.10或40【答案】D【解答】解：射线OC在NAoB的外部，如图1,NAoC=NAoB+NBOC=500+30=80,.。平分NAoeZAO
19、D=I2AOC=40o；射线OC在NAOB的内部，如图2,NAoC=NAOB/BOC=50-30=20,0。平分NAOC,NAO。=/NAoe=I0.故选：【题型6角的基本运算】【典例6】（2023春河口区期末）如图，直线A3,。相交于点。，OA平分ZEOC.（1）若NEoC=70,求NB。的度数；（2）若NEOC：AEOD=Iz3,求NB。的度数.【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）,OA平分NEoC,Zaoc=Izeoc=Ix70=35，22ZBOD=ZAOC=35；（2）设NEoC=2x,ZEOD=3t根据题意得2x+3x=180,解得x=36,：.AEOC=Ix=Ilo,ZOC=1
20、ZC=172=36，22：.ZBOD=ZAOC=36o.【变式61（2022秋大足区期末）如图，已知NAOB=120,OC是NAoB内的一条射线，且NAOCABOC=Xz2.（1）求NAoC的度数；（2）过点。作射线OD,Zaod=Izaob,求NCo。的度数.2【答案】（1）40。；（2） 20或100.【解答】解：（1）VZAOC：ZBOC=：2,NAo3=120,NAOC=工/AOB=工X120=40；33（2）VZaod=Izaob,2.NAOO=60,当0。在NAOB内时，ZCOD=ZAOD-ZAOC=20o,当0。在NAo8外时，ZCOD=ZA0C+ZA0D=1000.故NCo。的
21、度数为20或100.【变式622（2022秋市北区校级期末）已知如图，ZAOB：NBoC=3：2,。是NBOC的平分线，OE是NAoC的平分线，且NBoE=I2,求NDoE的度数.【答案】见试题解答内容【解答】解：设NAoB=3x,ZBOC=2x.则ZAOC=ZAOB+ABOC=5x. OE是NAOC的平分线，ZAO=-lzAOC=-, NBoE=NAOB-ZAOE=3x-x=lr ZBOE=12,yx=12，解得，X=24,VOD是NBoC的平分线，NBOD弓NBOC=X=24，ZDOE=ZDOB+ZBOE=24+12=36.【变式63】（2023春烟台期末）如图，将直角三角板OMN的直角顶
22、点。放在直线AB上，射线。平分NAON.（1）当NBON=60。时，求NCOM的度数；（2）若NAOM=2NC0M,求NAON的度数.【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）.N8ON=60,ZAOTV=120,YOC平分N4ON,AZCON=yZAON=yX1200=60，VZMON=90q，ZCOM=90o-60o=30o；（2）设NCoM=x,.NAoM=2NCOM,ZAOM=29工Z0C=3t,0C平分NAoN,ZAOC=NCoMSN=ZA0C=3f：COM+NCON=90,x3x=90o,解得x=22.5,ZAON=6x=35o.【题型7余角概念及及性质】【典例7】（2023秋乐亭县
23、期中）若Na与N互余，Na=7230,则N的大小是（）A.1730B.18o30,C.107o30,D.108o30,【答案】A【解答】解：YNa与N互余，Z+Z=90o,VZ=72o30,Z=90o-Z=90o-7230=1730故选：A.【变式71】（2023春禅城区校级期中）已知NI与N2互余，若Nl=25,则N2=（）A.35oB.45oC.55oD.65【答案】。【解答】解：N1与N2互余，Zl=25o,/.Z2=90o-Z1=90-25=65.故选：D.【变式72（2022秋宁波期末）已知一个角的余角等于40,则这个角的补角等于（）A.130oB.140oC.150oD.160o【
24、答案】A【解答】解：根据余角的定义，这个角的度数=90-40=50,根据补角的定义，这个角的补角度数=180-50=130.故选：A.【变式73（2022秋南沼区期末）已知NI与N2互余，若N2=2920,则NI的度数等于（）A.6140B.60o80,C.60o40,D.29o20,【答案】C【解答】解：YNl与N2互余，Z2=29o20,.N1=9O-Z2=60o40,故选：C.【题型8补角及性质】【典例8（2023春雨城区校级期中）如果一个角的补角是这个角余角的2.5倍，那么这个角的度数是（）A.30oB.60oC.90oD.120【答案】A【解答】解：设这个角的度数为X,则它的余角为：
25、90o-X,补角为180-根据题意有：180o-x=2.5（90o-x）,解得：x=30o,故选：A.【变式81X2022秋金平区期末）已知Nl=50,则NI的补角的度数是（）A.130oB.140oC.40oD.60【答案】A【解答】解：Nl的补角=180-Nl=I30.故选：A.【变式82】（2023秋乐亭县期中）若Nl与N2互补，N2与N3互补，则Nl与N3的关系满足（）A.Zl-Z3=90oB.Nl+N3=90C.Zl+Z3=180oD.N1=N3【答案】D【解答】解：N1与N2互补，N2与N3互补，Z1=Z3.故选：D.【变式83】（2022秋绵阳期末）若一个角的余角是它的补角的2,
26、则这个角的5度数是（）A.30oB.60oC.120oD.150【答案】A【解答】解：设这个角为,则它的余角为90-,它的补角为180。-.由题意得，90o-=2（180-）,5解得：a=30.故这个角的度数为30.故选：.1. （2023北京）如图，ZAOC=ZBOD=90o,NAOQ=126,则NBoC的大小为（）A.36oB.44oC.54oD.63【答案】C【解答】解：VZAOC=90o,ZAOD=126,/.ZCOD=ZAOD-ZAOC=36o,VZBOD=90q,ZBOC=ZBOD-ZCOD=90-36=54.故选：C.2. （2023河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西
27、柏坡位于淇淇家南偏西70的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A.南偏西70方向B.南偏东20方向C.北偏西200方向D.北偏东70方向【答案】。【解答】解：如图：由题意得：ZABC=70o,AB/CD1；NABC=/DCB=70,.淇洪家位于西柏坡的北偏东70方向，故选：D.3. （2022甘肃）若NA=40,则NA的余角的大小是（）A.50oB.60oC.140oD.160【答案】A【解答】解：NA=40,NA的余角为：90-40=50,故选：.4. （2023秋长安区期中）下列图形中，能用NO和Nl表示同一个角的是（）【解答】解：要是能用NI,NO表示同一个角，必须共用角的顶点，且角的两边重合
28、.选项8、C,。中，No表示不明确，不符合题意；选项A符合题意，故选：A.5. （2023秋研口区期中）如图，A处在8处的西北方向，A处在。处的南偏西80方向，从A处观测8,。两处的视角NBAC的大小是（）A.50oB.55oC.60oD.65【答案】B【解答】解：如图，根据题意可知，NABO=45,ZACE=80,9：AD/CEtZADB=ZACE=80,ZBAC=180o-ZABD-ZADB=180-45-80=55.故选：B.6. （2022秋防城港期末）如图，将长方形纸片ABa）的角。沿着G尸折叠（点尸在BC上，不与B,C重合），使点。落在长方形内部点E处，若FH平分ZBFEt则NGF
29、H的度数CX是（）A. 90o180oB. O0ZBZCB.ZBZAZCC.ZAZCZBD.ZOZAZB【答案】A【解答】解：,门=60；0.25=600.25=15z；AZC=32015；.321832015303215；ZAZBZC.故选：A.10. （2023秋裕华区期中）如图，已知NAoC=。平分NAOB,且NAOC=AOo,求NCODvZAOC=ZBOCNAoC=40。，ZB0C=2ZA0C=80,ZAOB=ZAOCZBOC=120,YOO平分NA08,ZAOD=I/AOB=60,2 ZCOD=ZAOD-ZAOC=20.【答案】80,AOC,BOC,AOB,AOCt20.【解答】解：
30、A0cNB0（?NAoC=40。， NBOC=2NAOC=80, ZAOB=ZAOC+ZBOC=120,平分NAOB,ZAOD=-lZAOB=60o,2ZCOD=ZAOD-ZAOC=20.故答案为：80,AOCfBOC,AOB,AOC.20.11. （2023秋青龙县期中）如图，。是直线CE上一点，以。为顶点作NAOB=90,且OA,。8位于直线CE两侧，OB平分/COD.(1)当NAOC=50时，求NooE的度数；(2)请你猜想NAOC和NOOE的数量关系，并说明理由.【答案】(1)100；(2) ZDOE=2ZAOCf理由见详解.【解答】解：(1)VZAOB=90o,NAoC=50,ZBO
31、C=90-50=40,：OB平分/COD,：.ZBOC=ZBOD=AOo,/.ZDOE=180o-40-40=100；(2)ZD0E=2ZA0C,理由如下：VZAOB=90o,ZBOC=90o-NAoe,：OB平分/COD,：.ZBOC=ZBOD=Wo-ZAOCfZDOF=18002/3。C=I80-2(90NA。C),即NooE=2NA0C.12.(2022秋韩城市期末)如图，OB是NAOC内部的一条射线，OM是NAOB内部的一条射线，ON是NBoC内部的一条射线.(1)如图1,OM、。N分别是NA03、NBoC的角平分线，已知/408=30,NMoN=70,求NBOC的度数；(2)如图2,
32、若NAoC=I40,ZAOM=ZNOC=1ZAOB,且NBoM：Z4BoN=3：2,求NMON的度数.【答案】(1)HOo；(2) 100.【解答】解：(1)如图1, ；0M、ON分别是N408、NBoC的角平分线，Zaom=Zbom=Izaob=15,2ZBON=4C0N=LBoC,2VZMON=IO0=BON+BOM,；./BoN=700-15o=55o,：/BoC=2BON=1TO；(2)如图2,由于NAoM=NNOC=工NAO8,设NAOM=NN0C=,则NAoB=4,4 ZBOM=ZAOB-ZAOM=4-=3a,又：/BOM：ZB0N=3:2,NBON=2a,VZAOC=140o=AOB+/BON+/NOC,140o=4a+2a+a,a=20o, ZMON=ZBOM+ZBON=3a+2a=5a=100o.
