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1、第02讲圆垂径定理1.掌握垂径定理及其推论;2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.知识点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧:2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。常见辅助线做法（考点）：D过圆心，作垂线，连半径，造Rt,用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【题型1运用垂径定理直接求线段的长度】【
2、典例1】（2023南海区校级模拟）如图，线段。是OO的直径，CD_L4B于点、E,若48长为16,OE长为6,则Oo半径是（）A.5B.6C.8D.10【答案】D【解答】解：连接04,如图，CDl.AB,1.AE=BE=Lb=Lx16=8,22在RtOAE中，OA=JOE2+AE2=62+8=1，即OO半径为10.故选：D.【变式11】（2023春开福区校级月考）如图，。的半径为5,弦4B=8,OC于点C,则。的长为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解答】解：9:OCLAB,AB=Sf1-*AC4AB=4，在RtZ8C中，04=5,AC=4t由勾股定理可得：OC=Voa2-AC2=52-
3、42=3-故选：C.【变式12】（澄城县期末）如图，OO中，OD上弦AB于点、C,交。于点。,08=13,/8=24,则OC的长为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解答】解：.0DL4B,.JC=BC=Lb=工X24=12,22在Rt03C中，OC=JI32-122=5.故选：B.【变式13】（2023宿州模拟）如图，48是0O的直径，弦CQ_L48于点E.若OE=CE=2,则BE的长为（）A.2B.22-2C.1D.2【答案】B【解答】解：如图所示，连接OCYOE=CE=?,弦于点E, 0C=0E2+CE2=V22+22=8=22j 75是。的直径，*0B=0C=22 *-BE=OB-
4、OE=22-故选：B.【题型2垂径定理在格点中的运用】【典例2】（2023平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点48,试在方格中建立平面直角坐标系，使点力的坐标为（0,4）,则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.(-1,2)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(2,1)【答案】C【解答】解：如图所示，连接4G作出48、的垂直平分线，其交点即为圆心.Y点4的坐标为(0,4),该圆弧所在圆的圆心坐标是(-1,1).故选：C.【变式21(2022秋兴义市期中)如图，M(0,3)、N(0,-9),半径为5的OZ经过M、N,则A点坐标为()A.(-5,-6)B.(-4,-5)C.(-6,-4)D.(-4,
5、-6)【答案】D【解答】解：过力作于8,连接过4,：.MB=NB,Y半径为5的O/与y轴相交于M(0,3)、N(0,-9),；.MN=93=6,AM=5,：.BM=BN=3,08=3+3=6,由勾股定理得：J=52-32=4,点4的坐标为(-4,-6),故选：D.【变式22】(2022秋西城区校级期中)如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过4(2,2),B(4,0),O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的()A.点。B.点、EC.点尸D.点、G【答案】B【解答】解：如图，连接。儿根据网格看作出线段OL/5的中垂线，两条中垂线相交于点点E即为圆心.故选：B.【变式23】(2022秋南开区校级期
6、末)如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点4B,C,已知4点的坐标为（-3,5）,B点、的坐标为（1,5）,。点的坐标为（4,2）,则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1,0）.【答案】（L0）.【解答】解：根据不共线三点确定一个圆，如图，AB,SC的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（-1,0）.故答案为：（-1,0）.【题型3垂径定理与方程的综合应用】【典例3】（2023寻乌县一模）如图，。的半径。_1弦48于点G连接力O并延长交。于点E,连接所.若48=4,CD=I,则欧的长为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解答】解：由题意可知，。垂直平分48,4
7、E是。的直径，,CO是相的中位线，：.EB=IOC.在RtACO中，设CM=X,则OC=X-1,A2=C2+AC2f./=（-l）2+22,解得：Xx2即OA=y,0C,：.EB=2OC=3,故选：B.【变式31】（2021秋瑶海区期末）如图，在OO中，OE上弦于点E,EO的延长线交弦AB所对的优弧于点F,若AB=FE=8,则。的半径为（）A.5B.6C.4D.25【答案】4【解答】解：连接04如图所示：设0。半径为小则由题意可知：OA=OFfOE=EF-OE=S-r,又E上弦4B于点、E,JE=1ab=18=4,在RtOE中，AO2=OE2-AE1f即，产=（8-r）2+42,解得：r=5,
8、，0。的半径长为5.故选：A.【变式32】（2022秋宜春期末）已知：如图，。的直径4C与弦8。（不是直径）交于点E,若EC=I,DE=EB=2,求43的长.【答案】45的长【解答】解：连接。8,OD,则：OA=OB=Oe=OD=AC.YDE=EB=L即E为8。中点，ZC垂直平分80,XVEC=I,：.OE=OC-CE=OB-1,由勾股定理得：OE2+EB2=OB2,即：（OB1）2+22=082,解得：OB=,W,JAE=AC-EC=IOA-1=4,，AB=AE2+EB2=25即：ZB的长小.【题型4同心圆与垂井定理综合】【典例4】（2022秋梁山县期末）如图，在以点。为圆心的两个同心圆中，
9、大圆的弦48交小圆于C、。两点.（1）求证：AC=BD（2）连接。4OCt若OZ=6,OC=4f/OCD=60,求4C的长.【答案】（1）证明见解析；（2）26-2.【解答】（1）证明：过。作于，如图1所示：YOHLCD,：CH=DH,AH=BH,：.AH-CH=BH-DH,：.AC=BD(2)解：过。作。LCQ于“，连接OQ,如图2所示；则CH=DH=D,2VOC=OD,NoCD=60,0C。是等边三角形，：.CD=OC=A,：CH=2,*0h=VoC2-CH2=42-22=23AH=Voa2-OH2=62-(23)2=2V；.AC=AHCH=2遥-2.【变式41】(2022秋嘉兴期中)已知
10、在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦力8交小圆于点G。(如图).(1)求证：AC=BD(2)若大圆的半径R=I0,小圆的半径尸=8,且圆心O到直线的距离为6,求4C的长.【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明：过。作OEL45于点E,则CE=OE,AE=BE,BE-DE=AE-CE,即AC=BD;(2)解：由(1)可知，OEJ_48且OEJ_8,连接OGOA,/.OE=6,c=VoC2-OE2=V82-62=2V7，=VA2-OE2=V102-62=8,：AC=AE-CE=8-2我.【变式42】(2022秋浦江县校级月考)如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦48交小圆于C、。两点，若
11、48=10cw,CD=6cm.(1)求IC的长；(2)若大圆半径为13cm,求小圆的半径.【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)作OEJ垂足为E,由垂径定理知，点E是Co的中点，也是力B的中点ae=1ab=s,CE=LCO=322：.AC=AE-CE=5-3=2cw;(2)连接040C,在RtZViOE中，AE=ScnuOA=3cm,*OE=JOA2-AE2=V132-52=12cm-在RtZxoce中，：CE=3cm,OE=I2cm,=7E2+CE2=V122+32=3V17(Cm).【题型5垂径定理的实际应用】【典例5】(2022秋赣县区期末)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆
12、心的圆的一部分.如果AZ是。中弦CO的中点，EW经过圆心。交。于点E,并且CZ)=4,EM=6,求OO的半径.【答案】见试题解答内容【解答】解：连接。C,.M是。弦。的中点，根据垂径定理：EMVCD,又Co=4则有：cm=Icd=2,2设圆的半径是X米，在RtZXCOM中，有OC2=C2+OM2,即：x2=22+(6-)2,解得：=l,3所以圆的半径长是辿.3【变式51】(2022秋信都区校级期末)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2,已知圆心。在水面上方，且。被水面截得的弦48长
13、为4米，。半径长为3米.若点C为运行轨道的最低点，则点。到弦48所在直线的距离是（）A.1米B.（33）米C.3米D.（3/）米【答案】D【解答】解：根据题意和圆的性质知点C为第的中点，连接OC交AB于D,则OCJAD=BD=/aB=2，在RtZXCMO中，04=3,AD=!.0D=A02-AD2=5j.*CD=OC-OD=35,即点C到弦AB所在直线的距离是（3-5）米，故选：D.【变式52】（2023武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，M是。中弦Cf）的中点，EW经过圆心。交。于点E.若。=6,EM=9,则。的半径为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B
14、【解答】解：Y是OO弦Co的中点，：.ENfVCD,VCD=6,cm=Icd=3,2设OC是X米，则OM=9-t在RtZXCOM中，有oc2=2+ow2,即：X2=32+（9-）2,解得：x=5,AOC=5.故选：B【变式53】（2023桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）【答案】4【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点0,过点。作OCBE于点D, 点0为线段48的中点，NZC8=90, 48为圆O的直径， 宽为1.5米，高为2米，AB=$2+22=2.5（米），；圆的半径=LB=L2
15、5（米），2*：ODVBE,，点D为BE的中点、,又Y点O为线段的中点，od=1bc=（米），2则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25（米）；故选：A.【典例6】（2023迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度48=60米，拱高Pz）=I8米.（1）求圆弧所在的圆的半径厂的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即尸=4米时，是否要采取紧急措施？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接04由题意得：AD=AB=30（米），OD=（r-18）米，2在RtZUQO中，由勾股定理得：2=302（LI8）2,解得，厂=34（米）：（2）连接
16、OH,OE=OP-PE=30米，在Rt4。中，由勾股定理得：A,E2=A,O2-OE2f即：力E2=342-302,解得：A,E=6（米）.,.A,B=32（米）,VAfB=3230,，不需要采取紧急措施.【变式61】（2021秋恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度4B为12m,拱高CD为4m.（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5mm,则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由.w；（2）能顺利通过这座拱桥，理由见解析.【解答】解：（1）如图，连接。N,OB.OCA.AB,：D为AB中点，AB=2m,BD=LlB=6m.2又.CQ=4m,设OB=OC=ON=n,则OD=（
17、r-4）m.在RtZXBOQ中，根据勾股定理得：/=（r-4）262,解得r=6.5m；（2） 9：CD=4mm,.CE=43.4=0.6（w）,：.OE=LCE=65-0.6=5.9Gn）,在RtZXOEN中，EN2=ON2-。庐7.44,.EV=7.44（加）MN=ZEN=2/正加5m.,此货船能顺利通过这座拱桥.【变式62】（2022秋鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面48宽度为6米，拱高CO（弧的中点到水面的距离）为1米.（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度.【答案】（1）5米；（2）8米.【解答】解：（1）点0是益的中点，DCA.
18、AB,AC=BC=-L4B=3fQC经过圆心，2设拱桥的桥拱弧43所在圆的圆心为。，连接04OC,联结04设半径ON=OO=R,OC=OD-DC=R-1,在RtCo中，OA2=AC2WC2f.R2=（R-I）2+32,解得R=5.答：主桥拱所在圆的半径长为5米；（2）设。与所相交于点G,连接OR：EFAB,ODLAB91.ODIEF,：.40GF=90,在RtZXOG/中，OG=511=3,OE=5,FG=52-32=4.EF=2FG=S9答：此时水面的宽度为8米.【变式63】（2022秋南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度48（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（
19、弧的中点到弦的距离）为0.8米.（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端（点求支撑杆M的高度.【答案】（1）该圆弧所在圆的半径为2米；（2）支撑杆EF的高度为0.4米.【解答】解：（1）设弧48所在的圆心为。为弧48的中点，CDiB于点、C,延长。C经过。点，BC=-LlB=1.6（米），2设OO的半径为K米，在RtZ08C中，由勾股定理得：OB2=OC2+CB?,即K=（R-0.8）22,解得：R=2,即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过0作O_LFE于点”，AI/zI/zI/则。=CE=L6-0.4=1.2=2（米），。尸=2米，：/5。“在RtZXO/中，HF=0F2-0H2=
20、22-（y）2=1-6（米），*：HE=OC=OD-CD=I-0.8=1.2（米）,：.EF=HF-HE=.6-1.2=0.4（米），即支撑杆所的高度为04米.1.（2021鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，如图2.已知圆心。在水面上方，且。0被水面截得的弦48长为6米，。半径长为4米.若点。为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直线的距离是（）A.1米B.（4-）米C.2米D.（4+7）米【答案】B【解答】解：连接OC交于。，连接O/,点C为运行轨道的最低点，：.OC.LABf
21、.,.AD=1B=3（米），2在Rt04Z）中，OD=NgN-AD2=y42-32=7（米），点。到弦46所在直线的距离Cr=OC-Oz）=（4-7）米，故选：B.2. （2021凉山州）点尸是0O内一点，过点P的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm【答案】B【解答】解：如图所示，CDL4B于点P.根据题意，得：AB=IOcmtCD=Gcm.是直径，且CQL4以：CP=IjCD=3cm.2根据勾股定理，得OP=c02vp2=52.32=4Ccm）.故选：B.3. （2021青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图
22、上”太阳与海平线交于4B两点,他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）【答案】4【解答】解：设“图上”圆的圆心为O,连接ON,过点。作OD于Q,如图所示：.78=16厘米，.NZ）=L3=8（厘米），2 .。4=10厘米，:-OD=7qa2-aD2=V102-82=6（厘米）， 海平线以下部分的高度=04+0。=10+6=16（厘米）， 太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟， ,“图上”太阳升起的速度=1616=1.0（厘米/分），故选：A.4. （2022长沙）如图，4、B、C是0O上
23、的点，OC_L/B,垂足为点。，且。为。的中点，若04=7,则BC的长为7.【答案】7.【解答】解：.O4=OC=7,且Q为。C的中点，：.OD=CD,9：OCLAB.；/ODA=CDB=90,AD=BD,在a4oo和asco中，：.AAODBCD(SAS),：.BC=OA=I.故答案为：7.5. (2022黑龙江)如图，在OO中，弦45垂直平分半径OC,垂足为。，若。的半径为2,则弦的长为，愿【答案】23【解答】解：连接04,由46垂直平分。C,得到QD=L9C=1,2,OCAB.工。为46的中点，则AB=2?Iz)=2VA*0D2=2J22-12=2.故答案为：236. (2021黔东南州
24、)小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示)让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端48,量得弧/8的中心C到48的距离CDcm,ABcm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为4cm.【答案】见试题解答内容【解答】解：TC点是篇的中点，CDU8,.CQ过圆心，AD=BD=lB=k6A=22(CTW),22设圆心为0,连接O/,如图，设O。的半径为Kcm,则OD=(R-1.6)cm,在RtZCMO中，(R-L6)22=R2f解得R=4Ccm),所以圆形瓦片所在圆的半径为4cm.故答案为4.1. （2023秋洞头区期中）如图，Oo的半径为10,弦长48=16,弦心距OC的
25、长为（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解答】解：YOC是弦心距，.,.OCABt.8C=JlX16=8,2.O4=10,OC=0a2,ac2=6,故选：B.2. （2023秋东城区校级期中）如图，/8是。的直径，直径LCo垂足为,如果48=10,Cz）=8,那么线段/E的长为（）A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接。C,如图，Y直径力B=I0,.OA=OC=SfCDlAB,.CE=DE=1jCD=4,2在RtZXOCE中，VOC=5,CE=4,=OC2-CE2=3，：.AE=OA-OE=S-3=2.故选：D.3. （2022秋中山市期末）点P是0。内一点，过点P的最长弦的长
26、为10,最短弦的长为6,则OP的长为（）A.8B.2C.5D.4【答案】D如图，4B为直径,CQJ于点P,则45=10,CD=6,*OC=OA=OB=5,9：ABLCD.：CP=DP=3,/OPD=90,由勾股定理得：OP=Joc2vp2=（52.32=4,故选：D.4. （2023秋绥阳县期中）如图，Oo的半径为10,弦/8=16,点M是弦力B上的动点且点不与点4、8重合，若OM的长为整数，则这样的点有几个？（） .4B.5C.7D.9【答案】C【解答】解：如图，过点。作OpJ_力5于点P,连接04, ,弦43=16,.NP=L3=8,2OA=Ot6P=oa2,ap2=6, OM的最短距离为
27、OP,最长距离为04 点A/是弦/8上的动点且点M不与点4、8重合，6O10,.0M的长为整数，.0M可取6,7,8,9,即这样的点M有7个，故选：C.5. （2023秋研区期中）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示,测得弦48长20厘米，弓形高8为2厘米，则镜面半径是（）A.24厘米B.26厘米C.28厘米D.30厘米【答案】B【解答】解：如图，点。是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC,则点G点。，点。三点共线，由题意可得：OC_LZ3,AC=Iab=W（厘米），2设镜面半径为X厘米，由题意可得：X2=IO2+（X-2）2,.=26,镜面半径为26厘米，故选：B.6. （2023秋鼓楼区校
28、级月考）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）【答案】4【解答】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点0,过点。作ODJ_BE于点D,，点。为线段/8的中点，ZACB=90o, 48为圆O的直径， ,宽为1.5米，高为2米， AB=$2+22=2.5（米），；圆的半径=LB=I.25（米），2 ：ODIBE, 点、D为BE的中点、,又Y点。为线段48的中点，OD=Ibc=（米），2则改造后门洞的最大高度=1.25+1=2.25（米）；故选：A.7. （2022秋曲靖期末）下列说法中，正确的是（）A.弦是直径B.
29、半圆是弧C.过圆心的线段是直径D.平分弦的直径垂直于弦【答案】B【解答】解：A.最长的弦是直径，故该选项不正确，不符合题意；B.半圆是弧，故该选项正确，符合题意；C.过圆心且端点在圆上的线段是直径，故该选项不正确，不符合题意；D.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意.故选：B.8. （2023秋滨江区校级期中）如图，在。中，弦ABCD,OP工CD,OM=MN,AB=20t8=16,则OO的半径为（）A.46B.47C.45D.82【答案】B【解答】解：如图，连接04OC.VOPCD,CD/AB,：OP_LAB,：.CN=DN=8,AM=MB=0f设。=OC=r,OM=MN
30、=a,2-12.2则有rTO+a,r2=82+（2a）2解得厂=4,故选：B.9. （2023秋无锡月考）如图，/8是。的直径，弦CZ）L48于点E,BE=2,CD=S,则。半径为（）A.2B.3C.5D.8【答案】C【解答】解：设OO半径为K,则OE=(R-2),OC=Rt9：ABA.CD,Cz)=8,NB过圆心O,：CE=DE=4,NOEC=90,由勾股定理得：OC=CU+OE1,2=42(R-2)2,解得:R=5,即OO的半径为5,故选：C.10. (2023衢州二模)一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图
31、，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于4B.C,Dcm,AB=3cm,CD=Acm.请你帮忙计算纸杯的直径为()A.4cmB.5cmC.6cmD.Icm【答案】B【解答】解：如图，MNLAB,MN过圆心O,连接。ZOB,:.MNcm，：CDAB,：.MNlCD,.QM=JLCD=JLX4=2(Cm),5N=LbTx3=1.5(cw)，2222设OM=XCni,：.ON=MN-OM=(3.5-x)cw,9OM2+MD2=OD2tON2+BN1=OB2f：.OWMbI=ON2+BN2,x2+22=(3.5-x)229*x=1.50=1.5(Cm)，*=VoM2+MD2=2-5(C7
32、)，纸杯的直径为2.5X2=5(cm).故选：B.11. （2022秋桃城区校级期末）如图，已知。的直径为26,弦48=24,动点、P、。在OO上，弦P0=1O,若点、M、N分别是弦/8、尸。的中点，则线段MN的取值范围是（）A.7W17B.14W34C.7MN3， 该货船可以顺利通过.17. (2023秋西湖区校级期中)如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为0,隧道的水平宽48为24?，48离地面的高度IE=IO加，拱顶最高处C离地面的高度。为18机.若在拱顶的N处安装照明灯，且N离地面的高度相等，都为17九(1)求圆弧形拱顶的半径的长度；(2)求MN的长度.【答案】13m；(2) IOw.【解答】解:(1)设Co于48交于G,与MN交于VCD=18mfJf=IOw,AB=24m,HD=I7m,CG=CD-DG=S-10=8(w),XG=Lb=工X2412(w),CH=CD22-QH=I8-17=1(w),设圆拱的半径为八在RtZXZOG中，=OG2+G2,，户=(r-8)2+122,解得r=13,，圆弧形拱顶的半径的长度为13?；(3) .OC=13m,.,.0H=3-1=12(m),在RtZMOH中，OM2=OH2+MH2,132=122+72,解得M2=25,：MH=5(m),工MN=TO(阳).
