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1、第二章：实数 知识梳理无理数1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足无限以及不循环这两个条件。2. 常见无理数的几种类型：1特殊意义的数.如：圆周率以及含有的一些数.如：2-.3等；2特殊结构的数看似循环而实则不循环：如：2.010 010 001 000 01两个1之间依次多1个0等。3无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数4无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如2,5开方开不尽的数.如:等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数.如：等；无理数也不一定带根号.如：3.有理数与无理数的区别：1有理数指的是有限小数和无限循环小数.而无理数则是无限不
2、循环小数；2所有的有理数都能写成分数的形式整数可以看成是分母为1的分数.而无理数则不能写成分数形式。例：1下列各数：3.141、0.33333、0.3030003000003相邻两个3之间0的个数逐次增加2、其中是有理数的有；是无理数的有。填序号2有五个数:0.125125,0.1010010001,-,其中无理数有 个算术平方根：1. 定义：如果一个正数x的平方等于a.即.那么.这个正数x就叫做a的算术平方根.记为：.读作.根号a.其中.a称为被开方数。例如32=9.那么9的算术平方根是3.即。特别规地.0的算术平方根是0.即.负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：1若 有意义.则
3、被开方数a是非负数。2算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值.它与它的相反数共同构成了平方根。因此.算术平方根只有一个值.并且是非负数.它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值.表示为：。例：1下列说法正确的是 A1的立方根是； B；C、的平方根是； D、0没有平方根； 2下列各式正确的是A、 B、 C、 D、3的算术平方根是。4若有意义.则_。5已知ABC的三边分别是且满足.求c的取值范围。6提高题如果x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a.即.那么这个数x就叫做a的平方根；.我们称x是a
4、的平方也叫二次方根.记做：2.性质：1一个正数有两个平方根.且它们互为相反数；20只有一个平方根.它是0本身； 3负数没有平方根例1若的平方根是2.则x=；的平方根是2当x时.有意义。3一个正数的平方根分别是m和m-4.则m的值是多少？这个正数是多少？3.12中.a可以取任意实数。如例：1.求下列各式的值1 2 32.已知.那么a的取值范围是。3.已知2x3,化简。立方根1.定义：一般地.如果以个数x的立方等于a.即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根也叫做三次方根记为.读作.3次根号a。如23=8.则2是8的立方根.0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根
5、是负数。立方根是它本身的数有0,1.-1.例：164的立方根是2若.则b等于3下列说法中：都是27的立方根.的立方根是2.。其中正确的有 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个估算 用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定.可以通过平方运算或立方运算并采用夹逼法.即两边无限逼近.逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围.再确定十分位.百分位等小数部分。精确到与误差小于的区别：精确到1m.是指四舍五入到个位.答案唯一；误差小于1m.答案在其值左右1m内都符合题意.答案不唯一。方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根立方根及开平方开立方的定义.进而采取两边夹逼的办法求解。例：估算
6、下列各数的大小1 2 3用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小.一般至少有一个是无理数.且在比较大小时.一般先采用分析法.估算出无理数的大致范围.再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论： 1若ab0,则2若ab.则3若a、b都为正数.且ab时.则a2b2例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小： 方法一：估算法。如34方法二：作差法。如ab则a-b0.方法三：乘方法.如比较的大小。例：比较下列两数的大小（1） 2实数定义：1有理数与无理数统称为实数。在实数中.没有最大的实数.也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0.最大的负整数是-1。2实数也可以分为正实数、
7、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a0；实数a的绝对值|a|=.它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0.0大于负数；正数大于负数；两个正数.绝对值大的就大.两个负数.绝对值大的反而小。在数轴上.右边的数总是大于左边的数。对于一些带根号的无理数.我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内.可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的1每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。2数轴上的每个点
8、都表示已个实数。例：1下列说法正确的是 ；A、任何有理数均可用分数形式表示 ； B、数轴上的点与有理数一一对应 ；C、1和2之间的无理数只有 ； D、不带根号的数都是有理数。2a.b在数轴上的位置如图所示.则下列各式有意义的是b0aA、 B、 C、 D、3比较大小或.3.4数 的大小关系是 A. B. C. D. 5将下列各数：.用连接起来；_。6若.且.则：=。二次根式定义：形如的式子叫做二次根式.a叫做被开方数注意：1从形式上看二次根式必须有二次根号.如是二次根式.而=3,3显然就不是二次根式。2被开方数a可以是数.也可以是代数式。若a是数.则这个数必须是非负数；若a是代数式.则这个代数式
9、的取值必须是非负数.否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式 1 2 3 4二次根式的性质： 性质1： 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.运用这个性质也可以对二次根式进行化简。性质2： 商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母.也不含能开得尽方的因数或因式.这样的二次根式.叫做最简二次根式。例：1.化简：12 32.计算：3.已知：.求代数式的值。6.提高题观察下列等式：回答问题：.1根据上面三个等式的信息.请猜想的结果；2请按照上式反应的规律.试写出用n表示的等式.并加以验证。课后练习一、重点考查题型：1.1的相反数的倒数是2.已
10、知a+3|+0.则实数a+b的相反数3.数314与的大小关系是4.和数轴上的点成一一对应关系的是5.和数轴上表示数3的点A距离等于25的B所表示的数是6.在实数中,0, ,314, 无理数有个7一个数的绝对值等于这个数的相反数.这样的数是A非负数B非正数C负数D正数8若x3.则x3=。9下列说法正确是（A） 有理数都是实数B实数都是有理数（B） 带根号的数都是无理数D无理数都是开方开不尽的数10实数在数轴上的对应点的位置如图.比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a （2） bc和ad二、考点训练：*1判断题：1如果a为实数.那么a一定是负数；2对于任何实数a与b,|ab|=|ba|恒成立
11、；3两个无理数之和一定是无理数；4两个无理数之积不一定是无理数；5任何有理数都有倒数；6最小的负数是1；7a的相反数的绝对值是它本身；8若|a|=2,|b|=3且ab0.则ab=1；2把下列各数分别填入相应的集合里|3|.213.1234.,0., , 0.32.ctg45,1.2121121112中无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知1x2.则|x3|+=。4下列各数中.哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？3, 1. 3. 03. 31. 1 +. 3互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5已知、是实数.且X2和2互为相反数.求.y的值6.,b互为相反数.c,d互为
12、倒数.m的绝对值是2.求+4m-3cd=。*7已知0.求=。三、解题指导：1下列语句正确的是A、无尽小数都是无理数 B、无理数都是无尽小数C、带拫号的数都是无理数 D、不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是A、整数 B、有理数 C、无理数D、实数2 零是A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数C、最小的自然数 D、最小的整数4.如果a是实数.下列四种说法：12和都是正数.2.那么一定是负数.3的倒数是.4和的两个分别在原点的两侧.几个是正确的有 个*5比较下列各组数的大小： ab0时, 6若a,b满足=0,则的值是*7实数a,b,c在数轴上的对应点如图.其中O是原点.且|a|=
13、|c|（1） 判定a+b,a+c,c-b的符号（2） 化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8数轴上点A表示数1.若AB3.则点B所表示的数为9已知x0.且y|x|.用连结x.x.|y|.y。10最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12把下列语句译成式子：1a是负数；2a、b两数异号；3a、b互为相反数；4a、b互为倒数；x与y的平方和是非负数；6c、d两数中至少有一个为零；7a、b两数均不为0。*13.数轴上作出表示.的点。四独立训练：10的相反数是.3的相反数是.的相反数是；的
14、绝对值是.0的绝对值是.的倒数是2数轴上表示32的点它离开原点的距离是。A表示的数是.且AB.则点B表示的数是。3,01313,2cos60, 31 ,1101001000,其中无理数有.整数有.负数有。4. 若a的相反数是27.则a|；5若|a|.则a=5若实数x.y满足等式x324y0.则xy的值是6实数可分为 A、正数和零 B、有理数和无理数 C、负数和零 D、正数和负数*7若2a与1a互为相反数.则a等于a=8当a为实数时.=a在数轴上对应的点在A、原点右侧 B、原点左侧 C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧*9代数式的所有可能的值有个。10已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图1比较ab与a+b的大小2化简|ba|+|a+b|11实数、在数轴上的对应点如图所示.其中试化简：2*12已知等腰三角形一边长为.一边长.且22920。求它的周长。13若3.5为三角形三边.化简：8 / 8
