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1、直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系【学习目标】1 .掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2 .能根据圆的方程判断圆与圆的位置关系.3 .能综合应用圆与圆的位置关系解决问题.【学习重难点】重点：圆与圆的位置关系及判定方法难点：综合应用圆与圆的位置关系解决问题知识梳理圆与圆的位置关系的判定方法1.几何法：圆。1：(x-x)2(-y)2=rf(ri0),圆。2：(x-x2)2+(y-yf2)2=r(n0),两圆的圆心距d=O2=J(1-2)2+(Yi-Yz)2*则有位置关系外离外切相交内切内含图示d与口，1*2的关系d+2d=+2r1-r2dr+r2d=r1-r2d0),圆O2：x2+
2、y2+D2x+E2y+F2=O(DEl-4F20),两圆的方程联立得方程组，则有方程组解的情况2组1组0组两圆的公共点复个L个0_个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含小试牛刀1.判断下列两圆的位置关系：O(x+2)2+(y-2)2=l-(x-2)2+(y-5)2=16.x2+6x-7=0-2+6y-27=0.【学习过程】一、情境导学日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？OIOOD前面我们运用直线的方程，圆的方程研究了直线与圆的位置关系
3、，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。二、典例解析例1己知圆CjX2+y2-2cx-2y+a2-15=0(0),圆C”x2+y2-40r-2y+42=0(6/0).试求。为何值时，两圆CjC2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含？判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较，得到两圆的位置关系；(2)代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题，转化为方程组的解的组数问题.跟踪训练1若两圆/+y2=与Y+2+6x-8y-11=O内切，则a的值为例2已知圆C：；+；+6灯4=0和圆C：2+y2+6y-
4、28=0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.相交弦及圆系方程问题的解决1.求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.2,求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.22223.已知圆CjX+y+qx+E,+/7=。与圆q：X+y+。/+/+工=0相交，则过两圆交点的圆2222的方程可设为X+y+Dx+Ey
5、+F+z(x+)，+Dx+Ey+F)=O(-l).跟踪训练1两圆相交于两点A(l,3)和伙-1),两圆圆心都在直线xy+c=0上，则m+c的值为.例3求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+5y=0相切于点M(3,-5)的圆的方程.变式探究1将本例变为“求与圆:+:2=0外切，圆心在X轴上,且过点(3,-5)的圆的方程”，如何求?2222变式探究2将本例改为“若圆X+y-2x=0与圆X+y-8x-8y+m=0相外切”，试求实数机的值.【达标检测】22221 .两圆X+y-1=0和X+y-4x+2y-4=0的位置关系是()A.内切B.相交C,外切D.外离22222 .圆CJX+y12x2y13
6、=0和圆C：x+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.223.半径为6的圆与X轴相切，且与圆X+。3)=1内切，则此圆的方程为()22A. (x-4)+(-6)=1622B. (4)+。，-6)=1622C. (X-4)+(-6)=3622D. (x4)+G6)=36222224.若圆CJ%+丁=4与圆。,：4+y20r+-1=0内切，则等于.22225.已知两个圆Cjx+=4,C2:%+/-2x-4y+4=0,直线/：x+2y=0,求经过C和J的交点且和/相切的圆的方程.课堂小结1相交：A2v0iO2V，计，2T内切：IoQ=|r1一司|T 内含：QQ20,r2OT外离：qqj)
7、1+，2T外切：|0。2卜,+，2|参考答案：知识梳理1 .解：根据题意得，两圆的半径分别为0=1和弓=4,两圆的圆心距J=j22)2(52)2=5.因为d=r+q,所以两圆外切.2 222将两圆的方程化为标准方程，得(x+3)+y=16,X+(y+3)=36,故两圆的半径分别为。=4和r2=6.两圆的圆心距d=J0-(-3)2+(-3-0)2=32,因为g-7d3+r2,所以两圆相交【学习过程】例1思路分析：求出圆心距，与两半径的和或差比较求出。的值.解：圆q,c2的方程，经配方后可得22Cj(X-Q)+(J-I)=16,22q：(x-2”)+(-l)=1,：圆心C(,1),Cfia,1),
8、半径,二4,=l.ZC1C2=y(a-2a)2+(I-I)2=.(1)当|。/=(+弓=5，即=5时，两圆外切；当CCJ=(-仁=3,即4=3时,两圆内切.(2)当3CG5,即35,即心5时，两圆外离.(4)当ICGl3,即0“0两圆的圆心、半径长分别为(0,0),与G3,4),6.由于两圆内切，则J(O+3)2(0-4)2=-6,解得。=或=l.答案：121或1例2思路分析：(1)两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再根据半径、弦心距、弦长的关系求出弦长.(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x-y-4=0上求出圆心坐标与半径,也可利用圆系方程求解.解：设两圆交点为Aal,y), Ba2
9、, ”),则48两点坐标是方程组X2+ y2 + 6x-4 = 0, ,x2y2 + 6y-28 = 0,的解.-，得x-y4=O.3两点坐标都满足此方程，.4y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.又圆Ci的圆心(-3,O),r=13,Ci到直线AB的距离为d=普=V22ZAB=2ry-4=0,解得Z=7.故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.跟踪训练1解析：由题意知直线AB与直线x-y+c=O垂直,fCABX11即九,得i=5，l-m：AB的中点坐标为(3,1).AB的中点在直线x-,+c=0,3-l+c=O,：C=2，Zn+c=5-2=3.答案：3例3思路分析：设圆的方程，利用
10、两圆外切和直线与圆相切建立方程组求得。解：设所求圆的方程为(x0)+句。)=r(rO),由题知所求圆与圆X+,-2x=0外切，则J(-1)2+b2=r+1.又所求圆过点M的切线为直线x+3y=O,故处理=30-32解由组成的方程组得。=4,b=0,r=2或a=0,Z7=-43,z-6故所求圆的方程为(x-4)2+V=4或2+(+43)2=360变式探究1解：因为圆心在X轴上，所以可设圆心坐标为3，0),设半径为八222则所求圆的方程为(X-。)+y-r,又因为与圆x2+y2-2x=0外切，且过点(3,-5),所以N(Q-I)2+U=丁+1,解得,=4,l(3-a)2+(.3)2=r2,tr=2
11、，所以圆的方程为a4)2+y2=4.又因为与圆f+y2.2=o外切，且过点(3,-5),所以IJal)2+。2=1+1,解得F=%(3-)2+(-3)2=r2,b=2,所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.变式探究2解：圆/+产2X=O的圆心为A(l,0),半径为为二1,圆X2+V-8-8y+?=0的圆心为8(4,4),半径为n=5诉。因为两圆相外切，所以J(4-l)2+(4-0)2=1+5=,解得16。【达标检测】221.解析：圆f+J=o表示以Ojo,0)点为圆心，以4二1为半径的圆。22圆x+y4+24=0表示以。2(2,1)点为圆心，以%二3为半径的圆。roo2=5,zoo22,222
12、2:圆X+y1=0和圆X+y-4x+2y-4=0相交。答案：B2 .解析：两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y2=0答案：4x+3-2=02223 .解析：设所求圆心坐标为(小b),则依二6。由题意，得/+S-3)=(6-l)-二25.22若h=6,则=4；若b=-6,则。无解。故所求圆方程为(x4)+(y-6)=36。答案：D4 .解析：圆q的圆心C(0,0),半径(=2.22圆J可化为(X-。)+y=1,即圆心C,(m0),半径若两圆内切，需CC=ya2+02=2-l=l.解得二土1.答案:15.解：设所求圆的方程为x2+y2+4-2x-4y+l(x2+y2-4)=0,即(1+2)x2+(l+2)y2-2x-4y+4(lU)=0所以圆心为岛,后),半径为力舟2+斓(W),b7+7I_14i6-i6(i-2)即席2y(l+)2一解得4土1,舍去/=-1,圆X2+V=4显然不符合题意，故所求圆的方程为r+y2于2产0。
