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1、目录导教21导教大题2斛析几何151支线与Si152捕BJ,抛物线，双曲线基础163解析琮合小题204HJ般曲为大题21导教1导救大典1. (202204东城一模19)已知函数/(X)=三.(I)若曲线y=f(x)在点(2J(2)处的切线斜率为-1,求的值；(II)若/(x)在(L+oo)上有最大值，求的取值范围.【答案】解：(I)函数义功的定义域为(-oo,-l)U(Tj)U(I，”)tty.,.X-Cizart,.-x2+Iax1由/(x)=F得f,M=；L.jX2-I(X2-I)2则八2)=-L解得。=一15分(II)fx)=X.令g(x)=-X2+2-l(xl),(XT)当0时，2a0
2、,因此9(=-公+2奴-10恒成立,所以八幻=十20,所以/(x)在(1,+oo)上单调递减，没有最大值.当Ol时，gCr)=*+20r-lg0恒成立，所以.(X)=T212Tl时，方程-X2+A-I=O的两个根为xi=a-tJa2-1,x2=a+Ja2-1.由l得01,且ll,/(O)=-I.所以曲线在i=j=2处的切线方程为yr-=-(+当L4K+1k4k+1三一-4。j*令g(x)=ev+1-xex,m,在区间(O,+oo)上，a、=-一,则g()在区间(O,E)上是减函数.又g(l)=lO,g(2)=-e2+l2.r)与/(X)的情况如下：X(0,M)X。(,+)f,()+0/()极大
3、值所以/(x)在(0,+)上有唯一极大值点%9分(II)fM=axeae+令h(x)=ex+aax,则,(x)=qxa.若v,则(x)0,z(x)在R上是增函数.因为+(1)=e0,所以h(x)恰有一个零点.令e+a=O,得=ln(-.代入力(Xo)=0,-a+a-an(-a)=O,解得=-l.所以当。=一1时，力。)的唯一零点为0,此时/(x)无零点，符合题意.若0,此时/(x)的定义域为R.当XVlna时，(x)v,力(X)在区间(-,Ina)上是减函数：当XIn时，/(x)O,(x)在区间(Ina,+)上是增函数.所以h(x)min=(Ina)=2a-ana.又A(O)=l+izO,由题
4、意，当2z-ln40,即OVaVe?时，/(x)无零点，符合题意.综上，。的取值范围是一lU(O,e?).15分3. (202203海淀一模19)已知函数/(x)=e*(0?-x+l).(I)求曲线y=f(x)在点(OJ(O)处的切线的方程；(II)若函数/Cr)在x=0处取得极大值，求”的取值范围；(III)若函数/Cr)存在最小值，直接写出。的取值范围.【答案】解：(I)因为/。)=(加7+1把,所以7(0)=l,(x)=x(ax+2a-l)ex,所以r(0)=0,所以切线为：y=.(II),(x)=(ox+20-l)ev.(1)当=0时，f,(x)=-xex,令r(x)=0,得X=0,/
5、U)与r(x)的情况如下：X(一8,0)0(0,+)f,+0f()/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；(2)当0时，令r()=0,Wx=O,或X=,-2.当OVaV)时,L-20J(x)与广(力的情况如下:2aX(-,0)0(*-2)1-2af,+00+fWZ/此时，/(x)在X=O处取得极大值，符合题意；当a=时，1-2=0,/(x)0,/(x)单调递增，无极大值，不符合题意;2a当)时,，一2VOj(X)与/(X)的情况如下：2aXSATi-2O)0(0,+8)M+00+f/X/此时，/(x)在X=O处取得极小值，不符合题意;(3)当0时，l-2O,函数/(x)在区间(Yo,”
6、)上单调递增，所以在区间(LE)上无极值.所以小0不合题意.当0时，令f(x)=-e+1=0,解得X=Ina当x0,函数/(x)在区间(-co,InL)上单调递增；aa当xln,时，f(x)l,解得0avJ.ae所以的取值范围是(0-).10分e(III)由题可知，g(x)=f(2-x)=2-x-ae2x,OVaVLe则g(x)=e2-*-l令g(x)=O,即优2-1=0,解得x=2+ln4.因为OJ,则Inaa-x令/(x)=0,解得X=三.3当W时，由XWa,得2-3x2-420,所以g(x)20,则g(x)在定义域(-,上是增函数.故g*)至多有一个零点，不合题意，舍去.当00时，随X变
7、化g(x)和g(x)的变化情况如下表:X(-8号)2aT(pa)a()+0一g(%)单调递增1j3afa-609单调递减2aT故g(x)在区间(9,手)上单调递增，在区间(手,幻上单调递减，当x=g时，g(x)取得最大值g(g)=若03时，g(争0，又g(O)=g()=一彳0,由零点存在性定理可得g(x)在区间(0,手)和区间(IM)上各有一个零点，所以函数g(X)恰有两个不同的零点，符合题意.综上所述，4的取值范围是(3,+oo).15分6. (202203石景山一模19)设函数/(x)=V+勿Hn(X+1)。力R).(1)若Z=-I,(i)求曲线/(x)在点(0,/(0)处的切线方程；(i
8、i)当X(l,+8)时,求证：f(x)X3.(II)若函数/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，求实数机的取值范围.【答案】解：(I)m=-,所以f(x)=f-ln(x+l)(i)f,(x)=2x,k=f(0)=-.x+1又/(0)=0,所以/(x)在(0,/(0)点处的切线方程为y=r4分(ii)令/(X)=f(x)-x3=炉-In(X+1)-3,w=2-L-3=-3-+2%-!=,x+1x+1x+1X(l,+8)时，F,(x)0,/(X)在(1,+8)上单调递减，所以产(X)VF(D=-ln2v,所以当xe(l,+8)时，f(x)O,/(幻在(一1,+)上单调递增，又/(0)=0,所以在
9、(0,1)上无零点，不合题意；当4一8机O即?；时2f+2x+m=O有两根xitx2(xxOBPOX.(1,),X0(,0)222此时/(x)在(苍，+8)上单调递增，又/(0)=0,所以在(0,1)上无零点，不合题意；当m=0时f(x)=x2,此时/(x)在(0,1)上无零点,不合题意；当m,-l),X,(0,+oo),此时/(x)在(0,工2)上单调递减，在($，+Oo)上单调递增，/(0)=0，所以2)o即可.解得?一二-.In2综上，若/(x)在区间(0,1)上存在唯一零点，则加(-一，0)15分In27. (202203门头沟一模19)已知/(x)=ksinx+2x.(I)当A=2时
10、，判断函数/(x)零点的个数;(II)求证：-sin%+2xln(x+1)(x(0,);2(In)若/(x)In(X+1)在Xe(0,今恒成立,求人的最小值.【答案】解：(I)当2=2时，,(x)=2cosx+20,f(x)=2sinx+2x单调递增，/(0)=0,/(x)只有一个零点X=0；(II)设g(x)=2X-SinX-In(X+1)ng，(X)=2-cos%!0ng(x)增，xlg(x)g(O)=O.(III)解法一：当时，由(II)-sinx+2xln(x+l),恒成立.当0xl(x+l)/x(0) = + l0由零点定理,“(%) =。，所以/?*)在(0,小)上减，/Z(M)0
11、z(x)在(0,工)增，(x)A(O)=0,x+12/(x)In(X+1)在X(0,3恒成立.2当k0.x+1(x+l)“(X)增，,(O)=r+l0由零点定理，(Xo)=O,所以2”2MX)在(0,不)上减，人(陶)0)则r(x)=(lnx+与X.X所以八l)=e,/(1)=0所以曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=e(x-)(II)f,(x)=(InX-a)/+(Inx-a)(ex),=-e+(Inx-d)ex=(-+lnx-d)ex令g(x)=1+lnx-,x(0,e.则g0,ee所以存在Xo(l,e),使得g(x0)=0X(1，Xo)XO(Me)g()()-0极小值/所以函数/(
12、x)在区间(1,e)上存在极小值/(xo),符合要目当l+时，因为g(l)=l-0O,g(e)=1+-0.aeae所以存在七(0,1),使得g(%)=0.易知，均为函数f(x)在区间(0,1)上的极大值点.所以函数/(X)在区间(0,e)上有极大值，无极小值，不符合要求综上，实数a的取值范围是(1,1+工).e方法2：“f(X)在区间(0,6上存在极小值”当且仅当“1前D解得1。Oe证明如下：当lOX1,XoXo(Xo,e)gM(fx)-0+/W极小值Z所以函数/()在区间(l,e)上存在极小值.所以实数。的取值范围是(1,1+4).9.(202203平谷一模19)设函数/(x)=ln(x+l
13、)+2(aR).(I)当=-4时,求曲线y=/(X)在点(Oj(O)处的切线方程;求函数/(X)的最小值.（三）设函数g。)=5-1,证明：当02时，函数”(幻=f(x)-g(幻至多有一个零点.【答案】解：(I)函数/Q)定义域为(一1,内)，1分I、2x2+2x+a公FT-3分当=Y时f(力=2.；j：4=2(xX一1)4分/(O)=OJ(O)=T所以曲线y=f(x)在点(0,7(0)处的切线方程是y=Tx5分令f(x)=O,x=l,且一lxlj(x)l,f(x)0,即函数f(x)递增区间(l,+),所以函数f(x)的最小值/(l)=l-41n27分、e“，/、x(2x+2-a),、八(II
14、)因为)(x)=J(+4x-l)9分令(x)=0,A=O,毛=一1=2时，W(x)0,函数Ha)在定义域(T,+8)上单调递增，至多有一个零点；10分0时，令(x)0,得x0,令得-IVXVO所以函数”(可在区间(To)单调递减，在区间(Qr)单调递增12分则函数”(力在X=O时有最小值=10,此时函数“(X)无零点.0vv2时，-iO,得T0,令H(X)0,得-1x0,所以H(I且(x)0在区间1-L+oo)上恒成立.所以函数Ha)在区间(T上至多有一个零点.综上，当a2时，函数(x)=(x)-g(x)至多有一个零点15分解析几何1直战与Bl一、选择题1. (202204丰台一模04)已知圆
15、C一2穴+/=(),则圆心C到直线=3的距离等于A.4B.3C.2D.1【答案】C2. (202204西城一模07)已知点A为圆C:(x-m产+(y-z-1)?=2上一点，点A(3,0),当机变化时，线段A3长度的最小值为A.1B.2C.2D.22【答案】C3. (202204朝阳一模02)直线y=x+1被圆f+丁二1截得的弦长为A.1B.2C.2D.22【答案】B4. (202204东城模09)在平面直角坐标系中，直线y=履+m(0)与X轴和y轴分别交于A,8两点，A用=2,若CA_LCB,则当&,加变化时，点C到点（b1）的距离的最大值为A.4&B.32C.22D.2【答案】B5. （20
16、2204石景山一模05）已知圆C:。一3）2+丁=9,过点（1,2）的直线/与圆C交于AB两点,则弦AB长度的最小值为A.lB.2C.3D.4【答案】B6. （202204门头沟一模04）若点（l,l）为圆C:/+尸一=。的弦Ae的中点，则直线AB的方程是A.x-y2=0B.x+y-2=0C.x-yOD.x+y=0【答案】C2椭圆，抛物式，及曲式基础一、选择题1. （202204海淀一模03）双曲线=的离心率为D. 3A/R瓜cA.D.C.333【答案】C22=1的焦点尸（3,0）到其渐近线的距离为石，则2. （202204西城一模05）若双曲线-马a2b2双曲线的方程为A. 45by2D.3
17、6D.7 ._y6【答案】A3. （202204丰台一模08）已知F是双曲线CW-=1的一个焦点，点M在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若IoMl=IM/1,则AOM尸的面积为3aZoA.一B.C.32D.622【答案】C4. （202204门头沟一模05）已知抛物线丁=疝，O为坐标原点，过其焦点的直线/与抛物线相交于A,B两点，且A5=10,则46中点M到y轴的距离为A.2B.3C.5D.6【答案】B5. （202204门头沟一模09）已知双曲线C:一=1（o0,b0）的左、右焦点分别为FvF2,过点R作圆f+y2=/的切线，交双曲线右支于M,若N隼鸣=；,则双曲线C的渐近线方程为A.
18、y=75B.y=5xC.y=2xD.V=j5x【答案】B6. （202204平谷一模05）设抛物线的焦点为产，准线为/,抛物线上任意一点M.则以点M为圆心，以M/为半径的圆与准线/的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.都有可能【答案】A7. （202204房山一模05）已知M为抛物线W=2py（p0）上一点，M到抛物线的焦点的距离为4,到X轴的距离为3,则二8. 19. 2D.4【答案】C8. （202204房山模09）已知直线/被圆C:Y+丁=2所截的弦长不小于2,则下列曲线中与直线/一定有公共点的是A.y=x2-lB.（x-）2+y2=12C.+y2=1D.X2-y2=【答案】C9. （
19、202204朝阳一模09）如图1,北京202204年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2,冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为16m,上口半径为17m,下口半径为28.5m,高为70m在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，iOA=16,DC=17,EB=28.5,DE=70,则双曲线的方程近似为（参考数据：绰3.17,驾1=2.81,1.I3）162172162B -= 1162 482【答案】A二、填空题1. （202204海淀一模11）若抛物线丁=2px的准线方程为=T,则P=.【答
20、案】22. （202204西城一模11）若抛物线产=2px上任意一点到点（LO）的距离与到直线X=T的距离相等，则=.【答案】23. （202204丰台一模14）已知抛物线C:丁=4x的焦点为F,则F的坐标为；设点M在抛物线C上，若以线段产例为直径的圆过点（0,2）,则IFMI=.【答案】（1,0）;54. （202204东城一模13）已知抛物线C:丁=2PX过点P（2,4）,则P=；若点Q（4,m）,Ray2）在C上，尸为C的焦点，且IP产I,1。尸I,IRPI成等比数列，则，=【答案】4；75. （202204平谷一模13）双曲线=的离心率为多则=.焦点到渐近线的距离为.【答案】2；16.
21、 （202204房山一模11）若双曲线?一y?=（）的一条渐近线方程为y=Jx,则4=【答案】27. （202204石景山一模14）设点耳，鸟分别为椭圆C:工+产=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得/；明=加成立的点恰好是4个，则实数用的一个取值可以为【答案】0（答案不唯一）.3等析综合小题一、选择题1.（202204石景山一模10）设AB为抛物线C：=f上两个不同的点,且直线AB过抛物线C的焦点尸,分别以A3为切点作抛物线C的切线,两条切线交于点P.则下列结论：点P一定在抛物线C的准线上；4b的面积有最大值无最小值.其中,正确结论的个数是A.0B.lC.2D.3【答案】C二、填空
22、题1. （202204朝阳一模15）在平面直角坐标系XQy中,设抛物线G丁=的焦点为产，直线/:丁=有（1-1）与抛物线C交于点4,且点A在X轴上方，过点4作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点尸，与K轴交于点”.给出下列四个结论：的面积是6；点的坐标是(-G,0)；在X轴上存在点。使AQPQ=O;以“?为直径的圆与y轴的负半轴交于点N,则AF=2户N.其中所有正确结论的序号是.【答案】4囿碓曲线大题1.(202204海淀一模20)已知椭圆C:=+1=1CTb2(ah0)的下顶点A和右顶点8都在直线4:y=g(x-2)上.(I)求椭圆方程及其离心率;(Il)不经过点8的直线=H+m交椭圆C于两
23、点P,Q,过点P作X轴的垂线交4于点D,点P关于点D的对称点为E.若E,B,Q三点共线,求证：直线4经过定点.【答案】解：(I)由4：y=g(x2)可知A(0,T),8(2,0),椭圆方程C：E+y2=i,4所以，离心率e=3.2(II)方法一：y=kx-mx2+4y2=4得(4k2+l)x2+kmx+W-4=0,由A=Mk2rn1-4(4/+1)(4/-4)0,得4/+1w2.设Pa,y),(x2,y2),Sk/n4z244F7T,X,X2=4F7,由题意得O(X,5Xl),E(,2乂)，因为B,E,Q三点共线，且直线BQ斜率存在,%,x1-2-ylX2 -2Xj 2所以 O = (X 2)
24、% (“2 2)(X 2y)=(x1 - 2)(kx2 + m) -(x2 - 2)(xl - 2-kxx-m)=Qk -I)X/2 + (，+ 2 - 2)(x1 +x2)-(4m + 4),j 4let 71=(22 -1) - + (w + 2- 22)(-)一(4m + 4)4Z + 1422 + l化简得，/+(4& + 1)+2仪2k+ 1) = 0.所以(加 + 2k)(m + 2Zr+l)=0.又因为8(2,0)信心所以机+ 2kw0, m + 2k+=0,所以/2恒过定点(2,T)方法二：下面证明恒过定点G(2,-l).设 P(Xl, yl), Q(x2 , y2),则 D(
25、x1, ； 1), E(Xl ,x1 -2-yl)fY 1玉 乂 2_玉 2x - 2 xj 2,Xj 2,=1,设直线5Py = %(x-2),代入/+4),2=4,得：(4i2 l)x2 -16n2x 162 - 4 = 0,16j2-4Sn2-242 + 1 Xp 472 + 1所以心厂2)=瑞AnI所以ZPG%+=4/+=一(2-ifXp-282C42用代替，得G=3手JWe所以即G=Zc,所以P,Q,G三点共线,所以/?恒过定点G(2,T).2. (202204丰台一模19)已知椭圆C:=+与=1CabO)的左、右顶点分别为ab2A,8,且IABI=4,离心率为正2(I)求椭圆C的方
26、程：（三）设Q是椭圆。上不同于A,8的一点，直线抬，依与直线x=4分别交于点W,N.若IMNIW4,求点P横坐标的取值范围.2。=4,【答案】解：(I)由题意得，c3=a2a2=b2+c2t解得=4,/?2=1.*所以椭圆。的方程是工+V=4(II)设P(AW,)(-2m-4=b?,即IMNl=尸心.n因为MNlW4,所以把W4,即(力4)216.n所以(用一4)2W-4(-4).Q整理得5裙8zW0,解得080)的一个焦点为/(1,0),且过点(I)求椭圆C的方程和离心率；（三）过点P(4,0)且与X轴不重合的直线/与椭圆C交于A,B两点，与直线X=I交于点。，点M满足MPJ轴，轴，试求直线
27、MA的斜率与直线MQ的斜率的比值.【答案】解：(I)由已知得半焦距c=l,因为椭圆C过点(1g),由椭圆定义得2a=3+3=4,所以a=2.22又因为/=从+d,所以b=J.所以椭圆方程为工+)-=1.离心率e=.43a2(II)依题可设直线/:X=殁+4.X=my+4,r2v2得(3m2+4)y2+24/wy+36=O.+2-=l,43=576m2-144(3m2+4)=144(w2-4)O,得切2或m2,y2)，M/,则为+%=-2463w2+43ji2 =363m2+4所以2孙为=-3(M+y2).33V_V丫2+-由题得知(4,%)，。(1,一-)，则AMA=+J,%Q=m4-1u3则
28、%=3(%-M)=3(%-y)=3(乃一%)、(4-X1)(y2-1(y2一冲仍一3%mm3(为-)_3(当一)_C3-(+y2)-3y(y2-y)5.(202204东城一模20)已知椭圆C:：+E=l(ab0)的离心率为正，焦距为2J.ab2(I)求椭圆C的方程；(II)过点P(4,0)作斜率为攵的直线/与椭圆C交于A,8两点.是否存在常数/,使得直线x=r与直线/的交点。在A,B之间，且总有咧=垣？若存在，求出/的值；若P8QB不存在，说明理由.c_GT,【答案】解：(I)由题设，得2c=2,解得=2,h=.cr=b2+c2.所以椭圆C的方程为7+y2=.(II)存在直线x=l符合题意.直
29、线/的方程为y=A(x-4).y=(x-4),2,(42+l)x2-32k2X+(642-4)=O.+y2=14-Pl/T由A二(-322)2-4(4A2+1)(64F-4)O得上攵66设A(Xl,%),B(x2,y2)(o,4x7IX2所以上工=忙L4-x2t-x2整理，得理一(，+4)&+xz)+2xx,=0由山。z八32公2(Ak2-4)所以8”(f+4)77-+/=04k+14k+1解得f=l亭以椭圆的四个所以存在直线x=l符合题意.6. (202204西城一模19)已知椭圆C:*+斗=1(。80)的离心率为顶点为顶点的四边形周长为45.(I)求椭圆C的方程;（三）直线y=履+m(k0
30、)与椭圆。交于AB两点，与)，轴交于点P,线段AB的垂直平分线与AB交于点M,与y轴交于点N,。为坐标原点.如果NMoP=2NVP成立，求Z的值.【答案】解：(I)由题设，6=正，a2-vb2=45,a2解得a=2,b=1,所以椭圆C的方程为三+V=I.4X22_1(II)由彳y=得(442+1)%2+8k7a+4，-4=0,y=kx+m由=(8km)2-4(4/+1)(4w2-4)0,W4A:2-am2+10.设A(Xl,y)，B(x29y2),则x+x2=,tK+1,/、/Sk2mC2my1y2=Ar(x1x2)+2=-7-7+2=7-i所以点M的横坐标乙“=HLlX=一学纵坐标加=tn-4F+T所以直线MN的方程为E令X = 0,则点TV的纵坐标Mv=；A 4k2 +1因为尸（0,。，所以点N、点P在原点两侧.因为 NMoP = 24MNP ,所以 NMNO=NoMN , 所以IOMl=QM .又因为0w24hn Y ( rn Y42 + 1J +(4&2 +JI6k2m2 + m(42 + I)2QM2=卜3m442 +19w2(4Ar2 +I)2
