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1、目录专题一集合与常用逻辑用语21.1 集合的概念和运算21.2 充要条件4专题二数系的扩充与复数的引入72.1 复数的概念及运算72.2 复数的几何意义、模长8专题三不等式83.1 不等式的性质83.2 常见不等式的解法113.3 均值不等式12专题四平面向量124.1 基本概念及线性运算124.2 平面向量数量积及应用14专题五数列155.1 等差数列155.2 等比数列185.3 数列综合应用18专题六函数196.1 函数性质196.2 函数与方程216.3 函数开放性试题226.4 函数应用题236.5 函数综合24专题一集合与,冷用透辑用语1.1集合的杭念和运算一、选择题1. （202
2、2-2023朝阳高三下一模01-4分）已知集合A=x,集合5=小0,则AUB=A.（-,-2B.2,0）C.2,+）D.（0,2【答案】C【分析】化简A=x-2x2,再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意A=xf4=-2x2,B=xx0,所以AuB=x-2x2=xIX-2=-2,+）.故选：C.2. （2022-2023东城高三下一模014分）已知集合4=卜，-2v,且A,则。可以为A.-2B.-1C.-D.22【答案】B【分析】本题考查二次不等式，元素与集合关系。【详解】因为A=xY-2v=x-应v,且aA,所以e（-I）故选B。3. （2022-2023丰台高三下一模OId分）已知集合
3、4=xTxl,B=x0x2,则ADB=A.x-lxlB.x0xlC.x0x2D.x-lx2）【答案】D【分析】根据并集运算求解.【详解】因为集合A=xTxl,=x0x2）,所以ADB=x-lx2,故选:D.4. （2022-2023海淀高三下一模01-4分）己知集合A=xlx3,B=0,l,2,则AB=A.2B.0,l）C.化2D.0J2【答案】A【分析】求交集可得答案.【详解】因为集合A=xlxv3,B=0,l,2,所以ACB=2.故选:A.5. （20222023西城高三下一模OId分）已知集合A=-l,0,l,2,3,=x-3x,则AB=A.-lB.1,2C.1,2,3D.-1,0,1,
4、2【答案】B【分析】本题考查交集的概念及运算与一元二次不等式解法。【详解】因为B=k*_3x0=x0c0”是数列S,为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意wN*,都有40”,所以S*Sfj+q,S.T,2,所以“数列Szj为递增数列”成立.故充分性满足；必要性：因为“数列S.为递增数列”，取数列：1,1,3,5符合数列凡为无穷等差数列I，且为递增数列，但是q=T0”是“数列Sj为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A4. （2022-2023海淀高三下一模09分）己知等比数
5、列”的公比为q且4工1,记Tn=-5=1,2,3,.）、则“q0且41”是“4为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由等比数列及已知，要北为递增数列只需在“22上恒成立，讨论40、0夕1,结合外的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.【详解】由题设，=且N2,要4为递增数列，只需尸1在2上恒成立，当g0,不论取何值，总存在4*0,不满足要求;当Ogvl,40,总存在O%gi,40,则qi0,不满足；0ql,若=；，4=2,显然441,即1在2上恒成立，满足.所以北为递增数列有4之1且qi综上，”4。且“1”是“4为递增
6、数列”的必要不充分条件.故选：B5. （2022-2023西城高三下一模07-4分）已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.贝J“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为y=3x”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】本题考查双曲线性质【详解】充分性：因为e=f=2,所以b=布a，当焦点在丁轴上时，渐近线为ay=+包，3充分性不成立：必要性：因为一条渐近线为y=6,所以双曲线方程为9-丁=义，当焦点在y轴上时，=亚，a3必要性不成立；故D正确。专题二数杂的扩先与复救的引入2.1 复教的机念及运算1. (2023海淀一模2)若+2i=
7、i(b+i)(,bcR),其中i是虚数单位，贝J4+A=()A.-IB.1C.-3D.3【答案】B【分析】利用复数乘法及相等求。力，即可得结果.【详解】由题设a+2i=例-1,故=-l,）=2,所以+O=l.故选：B2. （2023丰台一模11）若复数IaWR）是纯虚数，则=.1+1【答案】-1【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式）,解得即可.【详解】a+i_(+i)(l-i)_-ai+i_i2_a+l-a.T+7(l+i)(l-i)2l因为誓小R）是纯虚数,所以，=0,解得=T0故答案为：-11. 2复救的几何意义、模长123西城一模若复数z=1贝力Z
8、l-【答案】正【解析】2i(1-i)(l + i)(l-i)Iz=【知识点】本题考查了复数的运算、几何意义和模长。2. （2023朝阳一模11）若复数z=，则|彳|=.1+1【答案】历【解析】根据IR=IZl以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为Z暗,所以团=M=I白=温=言S故答案为：近【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.3. （2023东城模2）在复平面内，复数三对应的点的坐标是（3,-1）,则Z=iA.1+3/B.3+iC.-3+/D.-1-3/【答案】A【解析】由题知三=3T,z=（3-）=3-f2=l+3/,故选B。Z【知识点】本题考
9、查复数运算与复数的几何意义。专题三不等太3.1不等灰的性质一、选择题1. （2022-2023朝阳高三下3月一模02-4分）若0b,则A.d3b3B.abC.D.ln(-6)0【答案】A【分析】根据不等式的性质判断A,取特殊值判断BCD.【详解】aOb,/.a30,/?3Z,故A正确；取=l,b=-2,则同同不成立，故B错误；取。=Ig=-2,则h,则A.B.a2b2C.aobcD.acbc【答案】C【分析】逐一判断，对A取=2,b=-l,可得结果；对B取。=T,人=-2可得结果;对C利用不等式的性质判断即可；对D取c0可判断.【详解】解：A.取。=2,b=-,则不成立；A取=-1,b=-2t
10、则a?/?不成立：C.*.,ah,a-cb-c,正确；。.取c0,：ab,：.acbc,因此不成立.故选：C.3. （2022-2023西城高三下3月一模03-4分）设=lg2,b=ss2,c=2%则A.hcaB.cbaC.hacD.abc【答案】C【分析】本题考查指对塞、三角函数值的比大小。【详解】因为IglVlg2vlgl0,所以0vl.因为2%，2在第二象限，cos20,所以匕2=1，所以cl。综上力VaVc，故选C。3.2 米见不等式的等法一、填空题1. （2022-2023海淀高三下3月一模11-5分）不等式土=0的解集为.【答案】xxl或0等价于（X-D（X+2）0,由一元二次不等
11、式解法可得xl或XV-2；所以不等式E0的解集为xl或XV-2.故答案为：xxl或0,则-4+-的最小值为XA.-2B.0C.1D.20【答案】B【分析】本题考查基本不等式应用与最值。【详解】因为x0,所以4+3=x+-421N-4=0,当且仅当x=即x=2时等XXVxX号成立，故选B。专题S平面向量4.1 基本机念及战性运算1. (2023海淀一模7)在ZSABC中，NC=90。，NB=30p,NEAC的平分线交AC于点D.AD=AB+AC(zR),则&=A.-B.-C.2D.332【答案】B【分析】设AC=1,由角平分线定理求得02,然后由向量的线性运算可用AB,4C表示出CDADt从而求
12、得4，得出结论.【详解】设AC=1,因为NC=90o,NB=即,所以A8=2,又AD是NEAC的平分线，所以0=4S=LCD=-BC,BDAB231119AD=AC+CD=AC+-CB=AC+-(AB-AC)=-AB+AC,1 2又Ao=L48+AC,所以4=,所以4=L2故选：B.2.(2023西城一模5)已知P为ZXABC所在平面内一点，8C=2CP,则1 312A.AP=-AB+-ACB.AP=-AB+-AC2 2333 121C.AP=-AB一一ACD.AP=-AB+-AC2233【答案】A【解析】因为8C=2CP,8C与CP共线且有公共点C,所以8、C、尸三点共线，且尸在BC的延长线
13、上。1 113AP=AC+CP=AC+-BC=AC+-(AC-AB)=AB+-AC，故选A。2 222【知识点】本题考查了平面向量的线性运算。4.2平面向量效量取及应用1. （2023朝阳一模9）如图，圆M为AABC的外接圆，AB=4,AC=6,N为边BC的中点，则AMAM=A.5B.10C.13D.26【答案】C【分析】由三角形中线性质可知AN=；(AB+AC),再由外接圆圆心为三角形三边中垂线11交点可知IAMICOSNA4M=-A8,同理可得|4MlCOSNCAM=-IAC|,再由数量积运算22即可得解.【详解】N是8C中点，.AN=-(A+AC),2M为ZVWC的外接圆的圆心，即三角形
14、三边中垂线交点，.MAB=IAMHABcosZBAM=-AB2=-42=8,22同理可得AMAC=匕ACT=8，2.AMAD=AM-(AB+AC)-AMAB+-AMAC=-+-lS=3.22222故选：C2. (2023东城一模8)已知正方形ABCD的边长为2,。为正方形ABCD内部(不含边界)的动点，且满足PAPB=O,则CPOP的取值范围是A.(0,8B.0,8)C.(0,4D.0,4)【答案】D【解析】设A(0,0),8(2,0),C(2,2),0(0,2),P(x,y),x,ye(0,2),则RA=(-x,-y),PB=(2-x,-y),PA-PB=x(x-2)+y2=0,所以V=-4
15、工2)e(0,l,ye(0,1CP=(x-2,y-2)tDP=(x,y-2)tCPDP=x(x-2)+(y-2)2=-y2+(y-2)2=-4y+4,CPgPe0,4)故D正确。【知识点】本题考查向量数量积。3. (2023丰台一模12)己知正方形ABCD的边长为2,则A8AC=.【答案】4【分析】根据正方形的性质及数量积的定义计算可得.【详解】因为正方形的边长为2,所以NCAB=45。，A8=2,AC=AB2+BC2=20，所以A64C=AB44cosNC48=2x2x=4.故答案为：4专题五效列5.1 等差救列1. (2023海淀一模03)在等差数列%中，a2=fa4=5f则6=()A.9
16、B.11C.13D.15【答窠】C【分析】设等差数列3的公差为d,求出加的值，即可得出6=%+,即可得解.【详解】设等差数列4的公差为d，则2=4-电=4,则4=%+64=1+3x4=13.故选：C.2. (2023丰台一模07)设无穷等差数列q的前项和为S”，则对任意N,都有an0,f是“数列S”为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用定义法直接判断.【详解】充分性：因为“对任意wN,都有勺0，所以S“=S“t+4S2,所以“数列，为递增数歹/成立.故充分性满足；必要性：因为“数列S”为递增数列”，取数列：1,1,3,
17、5符合数列qr为无穷等差数列I，且为递增数列，但是4=T0”是数列，为递增数列”的充分而不必要条件.故选：A3. （2023海淀一模09）己知等比数列4的公比为仅且qwl,记7；=/%5=123,），则“40且ql”是“1为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由等比数列及已知，要7；为递增数列只需ql在zt2上恒成立，讨论夕,结合的符号，再根据充分必要性的定义即可得答案.【详解】由题设，=q,=qT且2,要优为递增数列，只需闯1在2上恒ArT成立，当40,不论取何值，总存在40“0,不满足要求；当Oqv1，40,则447
18、0，总存在04闯l，4VO,则aqnx0,不满足；OVaV1,若4=g，q=2,显然夕1，即（1在z2上恒成立，满足所以亿为递增数列有ql且ql综上，“40且gl是7；为递增数列”的必要不充分条件.故选：B4. （2023东城一模14）已知数列叫各项均为正数，a2=3a1,S”为其前项和.若点是公差为g的等差数列，则4=【答案】1,生二144解析S1=lS2=aj+2=4国-&=m=d=g,4=(E=M+(Dd=;,Sn=y当2时，=S-Sm.1=-(,i-1)2=1144经验证，=1时，=-=1442-1zan=-wN5. （2023朝阳一模10）已知项数为攵伏CN）的等差数列%满足：q=l
19、,-an,145=2,3j,A).若4+%+4=8,则Z的最大值是A.14B.15C.16D.17【答案】B13【分析】通过条件q=l,-an.ian(n=2,4),得至jd-y,再利用条件。+%+%=8得到16=22+2伙T)d,进而得到不等关系：162A+A-1)不当，从而得到上的最大值.【详解】由q=l,m%5=23,k),得至Jl+(-2)d4l+5-lM,即3+(3-2)d0,3当=2,3,M时，恒有3+(3-2)0,即d-,3一23所以d-q7三，3k-2由q+/+%=8,得至-a+4)J2+dL22所以16=2%+2-l)d2Ar+Ar(2-l)-,.N,%2,3k-2整理得到：
20、3公一49Z+32l)(-3)+(l-2n)l=2,(1丁)+*1-22=2-W2-I邑=T当4+0时S“递减，当q+O时S”递增，S,最小值时的为为+4O的解集中的最大值，得=3S“最小值为$=-2专题片函数6.1 函效性质1. (2023西城一模02)下列函数中，在区间(0,口)上为增函数的是A.y=-XB.y=x2-2xC.y=sinxD.y=-X【答案】D【解析】A选项了=-卜|=一“；,在(0,+oo)上y=为减函数，不符合题意。X,O,在(0,位)上为增函数，符合题意，故选D。XAT【知识点】本题考查根据解析式判断函数单调性。2. (2023海淀一模08)已知二次函数”),对任意的
21、xR,有f(2x)2f(x),则f()的图象可能是【答案】A排除C D；又由/(2x)v2/3)可得【分析】令/(2x)0,c2d任意的XeR恒成立，则co,2。0,排除B,即可得出答案.【详解】因为对任意的xR,有/(2x)2(x),令x=0,贝J/(0)0,排除C,D；BP/(0)=c0,设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),所以f(2x)=Aax22bx+c,2f(x)=2ax2+2bx+2c,由/(2x)2f(x)可得4ax2+2bx+c2ax2+2bx+2c,则2ax1-c20任意的XeR恒成立，则co,2a0时，/(x)=log2x,则/(-2)=()A.-1B.0C.ID
22、.2【答案】A【分析】根据奇函数的性质及所给函数解析式计算可得.【详解】因为/(幻是定义在R上的奇函数，当x0时，/(x)=log2x,所以=_J=_抽2=_1.故选：A5. (2023东城一模11)函数/(x)=i7+lnx的定义域是.【答案】(0,1【解析】由题可知13,解得OVEx0【知识点】本题考查了函数定义域。6.2 函数与方程彳一cX0若/(幻恰有一个零点，则C的2x-2c,x0.取值范围是A.(0,1)B.0L+oo)C.(0,)D.0g,+o)【答案】D【解析】当C=O时，/(x)有唯一零点0；当c0时，/(x)必有零点c,解2-2c0,得C,;故D正确；【知识点】本题考查分段
23、函数的零点。6.3 舀散开效性成题1. (2023丰台一模09)设函数/(力=若力存在最小值，则的一个取值XCl.为;。的最大值为.【答案】1(1的任一实数，答案不唯一)；1【分析】利用导数讨论函数“X)的单调性，分析取最值的情况，进行求解.【详解】记函数g(x)=J,eR,则g，(X)=3f-1.令g1%)=0,解得：=冬列表得：X(-y)T3祥)g()+0-0+)单增单减单增对于函数/(x),当工。时，f(x)=r+不能取得最小值,所以/存在最小值，/(x)的最小值只能在xa时，/(=f-x时取得.当a_曰时,f(力在(-,)单减，在k,-提)单增，在一-单减，在IT单增.所以/(力的最小
24、值为min、j-,即存在最小值;当=一4时，f(力在卜叫一坐单减，在一坐,坐单减，在乎,+8单增.所以/(力的最小值为/,即存在最小值;当一ga/时，/（力在（-,白）单减，在卜书单减，在忤+s）单增所以/（力的最小值为/,即存在最小值;当邛时，力在卜巴用单减，在（率+8单增.所以“力的最小值为/用，即存在最小值;/T一=O当当l时，力在SM单减，在（*）单增，且。二八O,不能取得最小值综上所述：当l时函数f（x）存在最小值.故答案为：1（1的任一实数，答案不唯一）；L6.4 书数应用题1. （2023西城一模08）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度V（如S）和燃料的质量M（Ag）以及火
25、箭（除燃料外）的质量M依）间的关系为v=21n（l+竺）.若火箭的最大速度为N12（kms）,则下列各数中与丝最接近的是N（参考数据：6=2.71828.）A.200B.400C.600D.800【答案】B【解析】12=21n（l+-）,整理得=*一1。402；NN具体计算方法可参照e6-l=(e2-l)(e2-e+l)(e2+e+l)；故B正确。【知识点】本题考查指对运算。2. (2023东城一模10)恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成东城就.其中对数的发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命已知正整数N的70次方
26、是一个83位数，则由下面表格中部分对数的近似值(精确到0.001),可得N的值为M2371113IgM0.3010.4770.8451.0411.114A.13B.14C.15D.16【答案】C【解析】因为正整数N的70次方是一个83位数，所以10k2N7v10%取常用对数得8270lgNV83,即1.171IgNv1.186,由表可知lgl5=lg(3l02)=lg3+lgl0-lg20.477+l-0.301=L1761.171,L186),所以N的值为15.【知识点】本题考查对数运算及性质的应用。6.5 函教综合1. (2023东城一模07)过坐标原点作曲线y=e-+的切线，则切线方程为
27、A.y=xB.y=2xC.y=D.y=exe【答案】A【解析】设切点(J(%),/()=-2+l,/仇)=12,由2=尸0)可解得Xo=2,(x0)=1,%故A正确。【知识点】本题考查导数的几何意义，过点处切线方程。2. (2023丰台一模09)已知函数/(x)的定义域为R,存在常数(0),使得对任意xR,都有/(x+1)=/(%),当Xe0)时，/W=.若外力在区间(3,4)上单调递减，则f的最小值为()oQA.3B.-C.2D.-35【答案】B【分析】根据函数的周期性和绝对值型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为存在常数f(fO),使得对任意XtR,都有f+F)=(x),所以函数的周期为
28、，当XG0,。时，函数/(X)=犬一；在0,乡单调递减，所以当x0时，函数/(x)=X在卬,汽叫GN)上单调递减,因为f(x)在区间(3,4)上单调递减,nt 3所以有表4 =，二 8=3f3,上32 + 1故选：B【点睛】关键点睛：根据函数的周期的性质，结合绝对值型函数的单调性是解题的关键.3. (2023 朝阳一模 12)函数f(x) = Iog1x,xlW的值域为3xl【答案】(o,3)【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求XNl和x3当XVl时，3x3,log】xyx所以函数/(X)=3的值域为(-00,3),3xl故答案为：(-oo,3)43海淀TM)设函数&)常二雷当=O
29、时，/(/(I)=；若/(X)恰有2个零点，则的取值范围是.【答案】1(-oo,032,+)【分析】由分段函数解析式先求/(1),再求/(7(1)的值，结合零点的定义分段求零点,由条件求。的取值范围.【详解】当=o时，*)=+)Jlgx,xl所以l)=lgl=0,所以/(/)=)=1，令/*)=0,可得当XVI时，(x-6t+l)(x+l)=0,所以X=T或x=-l,当=0或2时，方程(工一+l)(x+l)=0在(一oo,l)上有一唯一解户一1,当0或02时，方程一+1)(工+1)=0在(3,1)上的解为户一1或工=4一1,当x21时，1gx-=0,所以当0时，x=l(T,当v时，方程IgX-=0在1,+8)上无解，综上，当v时，函数/(x)有两个零点-IM-1,当。=0时，函数/*)有两个零点-1,1,当OVaV2时，函数/(x)有三个零点-l,-l,l(,当白2时，函数/(x)有两个零点-1,10“，因为/(x)恰有2个零点，所以2或o0,所以的取值范围是(o,032,+)故答案为：1；(-,u2,+).
