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1、2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .现有一组数据：663,664,665,668,671,664,656,674,651,653,652,656,则这组
2、数据的第85百分位数是（）A.652B.668C.671D.674【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义，求得12x85%=10.2,即可确定第85百分位数为第11个数，可得答案.【详解】由题意这组数共12个，则1285%=10.2,将这组数据从小到大排列651,652,653,656,656,663,664,664,665,668,671,674,故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671,故选：C2 .已知椭圆+（=的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆C的离心率为（）aTbTd12 .【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为,+c,万寿厕+c=必定即有/-
3、2m-2c=0,解得e*”,故选:D.3 .已知5”为数列4的前项和，且满足S=(T)%“-2-，则S5+S6=()A.B.C.D.64321664【答案】A【解析】【分析】由题，当=1时，al=-if当相2时(=(7)%“+(T)Zi+/，进而分奇偶性讨论得a/，为正偶数，M=-击，为正奇数，再求和即可.所以，当为偶数时，-1=-7,h2当n为奇数时, 2atl = -an + = -/,故凡=-F7，为正奇数；即。M=击，故凡=/，为正偶数;【详解】解：因为SJI=(TyX-2所以，当=1时，S1=al=-ai-2l,解得/=-；,当门2时，4=S“-Si=(T)ZfI-2-n-(-lla
4、n.l+2n+l=(-l)nan+(-l)an,1*,所以55+56=255+4=2(_*+*_/+以_*)+*=_泉=一专,故选：A4已知为异面直线，直线/与加，都垂直，则下列说法不正确的是()A.若/_/.平面。，则相,n/aB.存在平面。，使得/_La,a,n/aC.有且只有一对互相平行的平面和夕，其中帆Ua,11u0D.至少存在两对互相垂直的平面。和夕，其中相Ua,nu【答案】A【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C；【详解】对于A,如下图所示，在正方体中取/为A4,AB为阳，AD为，平面48CO为平面。，则,7ua,故A错误;对于B,在正方体中取/为AALAB为加，为，平
5、面A8CZ）为平面。，此时/_La,mu,n/a,故B正确；对于C,由线面垂直的判定可知，ILa,I1,过直线且与/垂直的平面只有一个，过直线用且与/垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面仪和尸，其中mua,nup,故C正确；对于D,在正方体中取/为A4,AB为m,AD为，此时平面ABCD4平面Ar）Zz4,平面AB*4_L平面ADDA,即至少存在两对互相垂直的平面。和,其中mu0,nu,故D正确；故选：A.5.某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一
6、个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A.70B.140C.252D.504【答案】B【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有C5=5种选法,他们再分别从出赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有A4x3=12种选法,所以此时满足题意的选法有C；A；=512=60,由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有C；=4种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有A；=5x4=20种选法，所以此时满足题意的选法有UA；=4x20=80,综上所述，甲、乙的参赛
7、项目有且只有一个相同的方法种数等于60+80=140种.故选：B6.在棱长为1的正方体ABC。-AqGA中，尸在侧面CCN（含边界）内运动，。在底面ABeQ（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（）A.若直线3P与直线AO所成角为30。，则P点的轨迹为圆弧B.若直线5P与平面ABC。所成角为30。，则P点的轨迹为双曲线的一部分C.若IAQI=乎，则。点的轨迹为线段D.若。到直线DQ的距离等于。到平面ABqA的距离，则点。的轨迹为抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】画出正方体48CQ-A8GA,根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨迹问题的结论.【详解】直线BP与直线AD所成角即
8、为NPBC,在RtZ3C中，tan30=2，,CP=乎，故尸在以C为圆心，且为半径的圆落在侧面CGAD内的圆弧上，A正确；3过尸作C于点4（如图），设6C=*PP=b,直线族与平面ABCO所成角即为/尸8%故点尸的轨迹为双曲线的一部在RtZP8中，tanPBR=巡=T=,从而36_/=1bp6t2+l3分，故B正确;在RtAROQ中，IRQlq=JDD；+DQ2,从而DQ=g,故。在以。为圆心，方为半径的圆落在底面ABCD内的圆弧上，C错误;Q到直线DDl的距离等于Q到平面ABBiAi的距离，即Q到点D的距离等于Q到直线AB的距离，故点Q的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：C.7 .己知角
9、的终边上一点尸的坐标为（2,6）,则tan的值为（A.0bVr 33D.6【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出tan,再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.【详解】角的终边上一点尸的坐标为（2,6）C33tan一tan-,所以 tan =-,则 tan(7-看一一=-=#,故选：Bl+tan/9tan*B.B96238 .已知尸I，F?分别为双曲线：*左=1（。0力0）的左，右焦点，点尸为双曲线渐近线上一点,若tanZP=,则双曲线的离心率为（）55LA.-B.C.2D.2【答案】B【解析】【分析】由题可得NPO鸟=2NP耳耳，然后利用二倍角公式结合条件可得2=,然后根据离心率a4公式即
10、得.【详解】因为。为KB的中点，所以内O=QH,ZPFlF2=ZFlPOt所以NPOF2=2NPEF2,XtanZPE,=-,tanZPOF2=-故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得O分.9.将函数/(x)=SinX的图象向左平移J个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的T倍(纵坐标不变)，得到以幻的图象，则()A.函数g(x-?是偶函数B.x=-g是函数g(x)的一个零点6SjrTTC.函数g(x)在区间-五,五上单调递增D.函数四)的图象关于直线X4对称【答案】BCD【解析
11、】【分析】首先求出g。)的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数f(x)=sinx的图象向左平移三个单位长度，可得y=sin(x+1),对于A选项,.兀、= Sin 2 X HI 3j 3再将图象上所有点的横坐标变为原来的T倍(纵坐标不变)，可得g(x)=sin(2x+令,.c=sin2xI3J则/?B=0,/24=Sin-W声0,故函数gX-1不是偶函数,A不正确;OVOk3k3对于B选项，因为g-三=sin()=0,故是函数g(x)的一个零点，B正确；ko6对于C选项，当X,考时，2x+Tg,所以函数g(x)在区间卜号因上单调递增,141乙z乙乙1.414C正确；对于D
12、选项，因为对称轴满足2x+V=W+EXZ,解得X=+竺次Z,32122则Z=O时，x=,所以函数g(x)的图象关于直线工弋对称，D正确.故选：BCD.10.已知ZJ与Z2是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是()A.z12=z12B.z1z,=z22C.4+Z2RD.iLCRZ2【答案】BC【分析】设马=。+配Z2=-4.beR,分别求出z；,?，得到A不正确；根据复数的运算，可得B正确；根据z+4=2wR,可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解.【详解】z1=a+bi,z2=a-bifa,beR,b0t则z：=/一乂+2抗，z12=(2+2j=a2+b2f所以A不正确；又
13、由y2=)+凡同2=2+凡所以ZZ2=Z22,所以B正确;由4+Z2=2R,所以C正确；由丹=笔=r簪=f+-不一定是实数，所以D不一定正确.z2a-bi(a-b)(a+bi)a+ba+b故选：BC77IL已知定义在R上的函数/()满足/(+?+/(X)=0,且y=()为奇函数，则下列说法一定正确的是()A.函数/C)的周期为g7B.函数/U)的图象关于(-0)对称C.函数/V)为偶函数7D.函数/(x)的图象关于X=T对称4【答案】BC【解析】77【分析】由+S+(X)=O得函数/(X)的一个周期，由y=(-f是奇函数得函数的对称中心，24两条件结合得函数/(X)的奇偶性.77【详解】由/*
14、+彳)+/。)=0,WU+-)=-()将X+g代入，f(x+g+g)=_/卜+g)=(x)所以函数F(X)的一个周期为7,A项错误；777由y=/-丁)是奇函数得/(一二)二一/(X-二)，444777因为/(X+)=-/(%)和/(一X-W)=/(X-W)77777所以/U-+-)=-/U-)=/(-%-)=-/(-X-4244477f7即f(x+f=-(+f，所以/3的图象关于-了44k4777因为/(_%_W)=-，/(+)=-/(%)，77777所以/(*：)=-/U-)=/U-+-)=/U+-)，44424，即/-O),+lb0中心对称，B项正确，D项错误;7将工一7代入，4得f(r
15、)=(x),即函数/为偶函数，C项正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合A=R0kB=xxa,若ACBW0,x-2且ADNW6,则实数。的取值范围是【答案】（T,2）【解析】【分析】先解分式不等式，即可得出集合A,再由ACBW0,且Ad8h8,即可求出实数的取值范围.详解】由言40可得：,?（x-2）M0,解得：0,g(x)在R上单调递增；当b0时,令g(x)=0有X=In力，当Xe(YOJnb)时,g(x)0,g(x)单调递增.综上所述：b0,g(x)的单调递增区间为R,b0,g(x)的单调减区间为XYUnA),g(x)的单调增区间为(InA,H2)
16、.13分【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.16 .(15分)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，己知高三1,2,3班分别有3，；,；的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8(1)现从三个班中随机抽取一位同学：求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自
17、2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2,则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3,则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学己抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).227【答案】(l)(i)77；()=。75.【分析】(1)设事件A=”该同学有购买意向”,事件瓦=该同学来自i班”(i=l,2,3).根据全概率公式即可求解
18、P（八）.根据条件概率公式即可求解尸(坊IA);71(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为每次叫价增加2元的概率为，设叫价为(3皴N10)元的概率为匕,叫价出现元的情况只有下列两种：叫价为-1元，且骰子点数大于2,其概率为2I21叫价为一2元，且骰子点数小于3,其概率为tK.2于是得到匕=：乙7+(月一2(九3),构造等比数列匕-Kt,结合累加法可求解。【详解】(l)(i)设事件A=该同学有购买意向“，事件及=该同学来自i班”=l,2,3)由题意可知P(4)=卷，尸(纥)=，尸(息)=,P(A二发尸(4层)=*(4纥)=；,所以，由全概率公式可得:P（八）=P(B1)-P(AB1)+P(B2
19、).P(AB2)P(B3)P(AB3)=(g+5xg+(=g.8分21由题意可得每次叫价增加1元的概率为每次叫价增加2元的概率为;.设叫价为(3蒯210)元的概率为匕、叫价出现元的情况只有下列两种：叫价为-1元，且骰子点数大于2,其概率为叫价为-2元，且骰子点数小于3,其概率为:K.22122217于是得到=521+3匕2(*3),易得由于勺一=一g月-+；*=P-)(3)，于是当几.2时,数列优是以首项为,公比为T的等比数列，1(IY-2故月El=WX卜鼻52)于是=耳+(2-用+&-/)+()+(4-8) 0.75 $于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.【点睛】关键点睛：
20、第二问中关键是设叫价为m3效女10)元的概率为利用叫价为元是在叫价为5-1)元的基础上再叫价I元或在叫价为(-2)元的基础上再叫价2元，从而确定?与KT的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.17. (15分)如图，在多面体AeCDE尸中，底面AeC。为菱形，/048=60,OE_L平面ABCO,CFHDE,且AB=OE=2,b=l,G为棱8C的中点，”为棱D七上的动点.(1)求二面角A-M-尸的正弦值；FH(2)是否存在点“使得G”/平面B所？若存在，求黑的值；否则，请说明理由.ED【答案】(1)也；7上十EH1(2)存在方【解析】【分析】(1)连接4C8。交于点。，作OzL平面A58
21、,以。为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.(2)利用(1)中信息，假定存在符合条件的点”，利用空间位置关系的向量证明求解即得.【小问1详解】连接AC,8。交于点。，由四边形ABCD为菱形，得ACZBZ),过点。作OZL平面ABCD,显然直线OAOB,。两两垂直，以。为原点，直线OAOB,。分别为y,z建立空间直角坐标系，由OEI平面ABCO,得DE/Oz,又CF/DE,且43=OE=2,b=l,则A(3,0,0),B(OJO),E(O,-1,2),尸(-0,1),AB=(-3,l,0),BE=(0,-2,2),BF=(-3,-U)，设平面ABE，平面8EF的法向量分别为“=
22、(x1,j1,z1),2=(x2,y2,z2),取不二,得SB,ABn-3xl+y1=OBEn1=-2y1+2z1=0BF. n2 - -VJx2 -y2 + z2 = 0BE n2 = -2y2 + 2 z2 = 0取Z2=l,得巧=(OJl),设二面角A-BE-F的大小为。,则 ICoSeI=I COS(HpH2)I=I % I _ 2 _RilEl yly27因此Sine=Jl-cos20=也,所以二面角A-防一F的正弦值为五.8分77【小问2详解】EH1存在”符合题意，且黑=；理由如下：ED4令丽=4项5(4e0,1),而。(0,T0),棱BC中点G(-3,0),3,2-22) 22则
23、E月二;1(0,0,2)=(0,0,-2，GE二吟,一;,2),GH=GE+EH若GH/平面BEF,而平面BEb的法向量吗=(0,1,1),则GH_L；，即GH%=0,因此0-3+2-22=0,解得力二,，即EH=IED,则以=!，244ED4EH1所以在点“使得G”/平面3所，15分ED418. (17分)与X轴不垂直的直线/交抛物线T:V=2px(p0)于M、N两点，F为抛物线的焦点,线段MN的垂直平分线交X轴于点E(3,0),已知OO(0,0),Q(4,0)且有IMn+1Nb=4(1)求抛物线T的方程：过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长AQ、BQ分别交抛物线T于C、D;G、H分别为A
24、B、CD的中点，求COSNGo”的最小值.【答案】(1)/=4x(2)詈【解析】(1)设MaQ3N(林必),由抛物线定义可知II+INFI=x1+X2+P=4,又线段MN的垂直平分线交X轴于点E(3,0),故IMEl=INE|,(x1-3)2+y：=(2-3)2+货即(玉+-6)(x-8)=-W=2P(巧一石)因为占西,所以(X+%-6)=-2p,即4一一6=-2,贝Ij有=2,即抛物线T的方程为V=(2)设AB:X=町+1,A(X,*),8(超,必),代入V=4.t得)，2_4=O,则有卜+，X|2=w1+J2)+2=4w2+2,Iyy2=4所以G(2n2+1,2),故koc=-2n+1kJ
25、-X二4=y1616设C(X3,%),D(ZM),则“x3xJi+J3Ji2解得%=一不洞理，,44%力所以H点的横坐标为32p7+=32L=I6(21+1),Iyy2J(yly2)H点的纵坐标为-8-+-=8,所以即“二1有攵。=；以6,9分Iyy2)2(2+1)4记=b=y，故Ibl=猾，2n+12n+1当=0时，b=o,.I=2|二22二当0时，2+1一,一2回一L-2，易求得产),g;取直线OG、OH的方向向量分别为力=(Lf)M=(W),故COS13分Z2+4yjt2+lt2+6当“=o时，cosGO=l,当产(,g时，CoSNGOH=J-7十3十17Z1123竺函数i+产区间回上单
26、调递减，最小值为5+厂号,所以当二；时，COSNGoH取到最小值为+ 1717分19. (17分)对于无穷数列n,设集合A=x%=gn1.若A为有限集，则称数列n为“7数列(1)已知数列Qr满足%=2,册+I=/,判断册是否为“T数列”，并说明理由；Lan(2)设函数y=/(%)的表达式为f(%)=3x+1-%+2,数歹Jn满足n+=/(nn).若n为数列”,求首项出的值；(3)设册=COSOm).若数列ar为7数列“，求实数t的取值集合.【解题思路】(1)根据%=2,%+1=丁1，计算即可；(2)/(%).=/(-1)=-1,当x-l时，/(%)=2%+1%,分的=-l,1一1两种情况讨即可
27、；(3)当t为有理数时，必存在Pz+,z,使得=%则即+2p=CoS(n+2)=cos0n+2q)=cos,九=anf因此集合4=%X=Q7vTlN*中元素个数不超过2p,为有限集；t为无理数时，用反证法证明Q7nQn解决即可.【解答过程】(1)因为=2,n+=丁l-7l所以Q2=T,3=4,4=曰=2,5=E=f所以4=小=Q7vTiN*=琦目，所以1是“7数列；5分2x+1X1(2)由题知，/(%)=3x1|-x+2=-4x-5-2x1时,f(x)=2x+1%(*),因此当Ql=-1时,a2=/(1)=-1,a3=/(a2)=1,，即an=-l,n,此时an为“丁数列”,当内装1时，Q2=
28、f(%)-1,由(*)得。3=/(a2)2Ta4=/(的)的一1，因此郁+1Qm册显然不是“丁数列”；综上，1=-1；9分(3)当t为有理数时，必存在pz+,qWz使得t=%则11+2p=COS(n+2p)=cos0n+2q)=cosn=n,因此集合4=xx=anfn#中元素个数不超过2p，为有限集；当为无理数时，对任意n,nN*,m工九，下用反证法证明QTnWan,若Om=an,即CoSt11=costmf则t11=tm+2k或t11=-tm+2k,其中kz,则t=20或I二21CP矛盾，所以QrnHQ11,n-m7n+mVll因此集合4=xx=an,nEn*必为无限集；综上，t的取值集合是全体有理数，即tQ.17分
