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1、5.2导数的运算XXX一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5. 2.1基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：2(1) y=%3；(2) ylog2x.解：(l)y=(%w)=(3) =(log2x)z-.Jxln2例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)=p0(l+5%)t,其中Po为=0时的物价.假定某种商品的Po=I,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)？解：根据基本初等函数的导数公式表，有pz(t)=1.05tlnl.05.所以pz(10)=1.051lnl.050.08.所以
2、，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.练习1.求下列函数的导数：y=妥(2)y=VF(3)y=3x(4)y=x(5)y=Iog4X(6)y=IogiX2【答案】(l)y=-4%41/=押(3)y,=3xln3(4)y，=()xIny=总【分析】根据基本初等函数函数的导数公式计算可得；(1)解：因为y=2=工-4,所以y，=Q-4)，=一轨-5；(2)解：因为y=V=，所以y=(艰)=*;(3)解：因为y=3所以=3*ln3;(4)解：因为y=G)x,所以V=G)*ln(5)解：因为y=log4x所以y=高；(6)解：因为y=log产所以V=.=/；422.求下列函数在给
3、定点的导数：(l)y=XS在=3处的导数；(2) y=Inx在=,处的导数；(3) y=sin%在=2花处的导数；(4) y=靖在=。处的导数.【答案】(1)/=405；()=;(3)/(2兀)=1；(4)/(0)=1.【分析】运用求导公式对所给函数进行求导，然后再求所求点的导数值.【详解】(1)因为y=好，所以y,=5%4,所以在=3处的导数为:(3)=5X34=405；因为y=ln%,所以/=；所以在=押的导数为f()=*(3)因为y=sinx,所以y=CoSX，所以在=2r处的导数为尸(2所=cos2=1；(4)因为y=e,所以y=e，所以在X=O处的导数为f(0)=e=1.3 .求余弦
4、曲线y=CoSX在点(,0)处的切线方程.【答案】y=-%+【分析】求导得y=cos的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程.【详解】因为y=cosx,则y=-sinx,可得曲线y=cos%在点,0)处的切线斜率为k=-1,则曲线y=CoSx在点6,0)处的切线方程为y=-%+/,故答案为：y=+4 .求曲线y=/在点(4,2)处的切线方程.【答案】y=5+1【分析】先求导数，然后求出切线的斜率，即可得到切线方程.【详解】解:.=l4=-l=,，,浊E=?1:k=二4所以切线方程为y-2=0-4),即y=%+l5 .2.2导数的四则运算法则例3求下列函数的导数：(1) y=X3-
5、X+3；(2) y=2x+cosx.解：=Q3-x+3y=(/)，-(%)，+，=3x21；(3) y,=(2x+COS%)=(2xy+(CoSXy=2xn2sinx.例4求下列函数的导数：(l)y=x3ex解：y,=(x3ex)z=(x3),ex+x3(ex)z=3x2ex+x3ex.=(智)(2SinXyX2_2sinx(x2)z2x2cosx4%SinX二=2xcosx-4sinx=例5日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将It水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为COO=篙(80V%V100).求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬
6、时变化率：(1)90%；(2)98%.解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.,(5284CW=(10)_5284,X(100-%)-5284X(100-x)z二(100-x)2_0(100-x)-5284(-1)二(100-X)25284一(100-X)2,(1)因为c(90)=(覃2)2=52.84,所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨.(2)因为c(98)=(尉；81=1321，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨.函数/(%)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，c,(98)=25(90).
7、它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.练习1.运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2.你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？5.求下列函数的导数：(l)y=2x33x2-4；(2)y=3cosx+2X；(3)y=exlnx试卷第4页，共14页(4) y=(x2+2x)%;(5)y=9，(6)y-tanx【答案】y=6/-6%；(2)y,-3sinx+2xln2；(3)y,exnx+y；(4)y-+3x2；(5)y,=(6)y
8、,=J2yx2zCOS2X【分析】运用导数求导法则直接求导即可得到结果.详解(1)y,=6x26x(5) y,=-3sinx+2xln2(6) y,=exnx+(7) y,=(2x+2)x+1(x2+2x)xz(5) y,=7xlnx ITnXcosxcosx+SinxsinxCOS2X6.求曲线y=%?+：在点(1,4)处的切线方程.【答案】x+y-5=0【分析】先求解出尸。)，然后求解出尸(I)J(I),由此可写出切线的点斜式方程并将其转化为一般式方程.【详解】I因为旷=(幻=2%-晟，所以尸(I)=2-3=-1,/(1)=1+3=4,所以切线方程为：y-4=-(x-l),即为x+y-5=
9、0.5.2.3简单复合函数的导数例6求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)3:(3)y=ln(2x-1).解：(1)函数、=(3%+5)3可以看作函数丫=1?和=3%+5的复合函数.根据复合函数的求导法则，有=(u3y(3x+5)z=3u23=9(3x+5)2.(2)函数y=e-05i可以看作函数y=M和=-0.05x+1的复合函数.根据复合函数的求导法则，有y1二几火=(eu)f(-0.05x+Iy=-0.05eu=-O.O5eoosx+1.（3）函数y=ln（2x-1）可以看作函数y=In和=2x-1的复合函数.根据复合函数的求导法则，有y1=几火=（lnu）z（2x-l）r1=2X-u
10、2-Zx-1例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：S）的函数满足关系式y=18sin（与t-.求函数y在=3s时的导数，并解释它的实际意义.解:函数y=18sin（争一可以看作函数y=18sin和II=争一郛复合函数，根据复合函数的求导法则，有=（18SimZy（竽一2=18cosu=i2cs（f-D当C=3时，y,t=12cosC）=0.它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为Omms练习7.求下列函数的导数：(3)y=Iog2(2x+1)(4)y=cos：(5)y=sin(y-3x)(6)y=22x-1【答案】(l)y=-3(3%+l)V(2)y,=-6(
11、1-2x)2(3)y,=-AZ(2x+)ln2(4)y,=-jsin三(5)y=3sin3x(6)y,=4xln4【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数运算法则计算可得;(1)解：因为y=2(3%+1)4，所以/=2(3x+1)m=-3(3%+1)号(2)解：因为y=(l-2x)3,所以:/=(1-2乃3=-6(1-2%)2(3)解：因为y=IogzQx+1)，所以(=log2(2x+l)r=岛莅(4)解：因为y=cosj所以y=(cos3)=-；Siw(5)解：因为y=sin(y-3x)=-cos3x,所以y=(-cos3x)z=3sin3x(6)解：因为y=22*-1=4*一1
12、,所以/=(4*-1)=4Y48 .求下列函数在给定点的导数：(l)y=e-2*在=:处的导数；(2) y=ln(5x+2)在X=1处的导数.【答案】(1)-2e2;(2)【分析】(1)先根据复合函数的求导法则求解出y=e-2的导函数y，然后将X=T代入导函数计算出结果即可；(2)先根据复合函数的求导法则求解出y=ln(5x+2)的导函数然后将=1代入导函数计算出结果即可.【详解】(1)因为y=e-2*-可以看作函数y=e和=一2%-1的复合函数，所以为，=%,-ux,=(eu)f(-2x-iy=-2eu=-2e-2x-1,所以当=泄，yx=-2e-2；(2)因为y=ln(5x+2)可以看作函
13、数y=In和=5x+2的复合函数，所以%=%,ux=(Ina)(5%+2)=：=嘉，所以当=1时，%=*9 .求曲线y=、3x一1在点6,1)处的切线方程.【答案】y=%+g【分析】求出曲线y=反二T在点住,1)处的切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】设y=fM=(3x-l)t则/G)=3(3x-1)4=(3x-1)4,则/仔)=1,因此，曲线y=反二！在点gl)处的切线方程为y-l=%即y=%+/习题：5.210 .求下列函数的导数；(l)y=2x3-3x25(2)y=-+PXX+1(3)y=2x+log2x(4)y=xnex(5)y=JSinxSinx【答案】(l)y=6x
14、2-6x(2)y,=-2x-2-4(x+l)(3)y=2xn2+-7“xln2(4)y=nxn1ex+xnex(5)y3x2sinx-cosx(x3-l)-sin2x-(6)yl+sin2x【分析】根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；(1)解：因为y=2炉3/+5,所以y=62-6%;(2)解：因为y=j+.=2%+4(%+l)T,所以y=-2%-2-4(%+1)-2；(3)解：因为y=2*+log2,所以y=2ln2+-；%；(4)解：因为y=%ne”,yz=(xnyex+xn(exy=nxn1ex+xnex;解：因为y=窸，所以y(Sinx)2sin2x(3-)sinX-(
15、SinX)U1)_3/SinX-COSX(X3-1)(6)解:因为y=sinxsinx+cosx(sinx)z(sinx+cosx)-(sinx+cosx),sinx(sinx+cosx)2COSX(SinX+cosx)-(COSX-SinX)SinX(sinx+cosx)2l+sin2x11.求下列函数的导数.(l)y=0+1)99(3)y=(2x-3)sin(2x+5)：(4)ycos(3x-2)2x(5)y=(3x+l)2ln(3x)(6)y=3xe-3x.【答案】(1)/=99(x+I)98(2)yz2x+l-x(2x+l)22x+l(3)y,=2sin(2x+5)+(4x-6)cos
16、(2x+5)-6xsin(3x-2)-2cos(3x-2)4X2(5)y=6(3%+l)ln(3x)+竺P(6)y=3xe_3xln333xe3x【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解.(1)解：.y=(x+1)99,V=99(%+1)98(%+1)，=99(%+1)98；(2)解：因为y=高，所以丫，=/(案等旬=际;:f+)T(3)解：因为y=(2%3)sin(2x+5),所以y=(2%3)sin(2x+5)+(2%3)sin(2%+5)z=2sin(2x+5)+(4x-6)cos(2x5)(4)解因为COS(3x-2)所以，cos(3x-
17、2)2x-(2xycos(3x-2)_-6xsin(3x-2)-2cos(3x-2)*y2x,J(2x)24x2(5)解:因为y=(3%+l)n(3%),所以y=(3%+l)2ln(3%)+(3%+l)2ln(3%)=6(3x+l)ln(3x)+三(6)解：因为y=3e-3,所以V=(3)e-3+3”(e3y=3*e-31n3-33。-3”12 .已知函数f(x)=13-8%+%2,且广(%。)=4,求&.【答案】32【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得；【详解】解：因为八幻=13-8x+/,所以，(幻二-8+2x,因为fQo)=4,所以一8+2%o=4,解得&=313 .已知函数y=Jd
18、nx.(1)求这个函数的导数；(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.【答案】(l)y=lnx+L(2)y=x-l.【分析】(1)运用函数乘积的求导法则即可求出导数；(2)求导后计算出切线斜率，然后计算出切线方程.【详解】(1)由题意，y=Jdnxy,=Inx+x-=Inx+1x故函数y=XlnX的导数为y=Inx+1(2)易知所求切线的斜率存在，设斜率为匕则k=y=Inl+1=1,又当=1时，y=0,所以切点为(1,0),则切线的方程为y-0=1(x-1)即y=x-l,故这个函数的图象在X=1处的切线方程为y=x-l.14 .求曲线y=等在点M(Tr,0)处的切线方程.【答案】X+
19、y-=0.【分析】由题意可得V，并得切线的斜率，结合切点坐标即可确定切线方程.【详解】由函数的解析式可得：/=-cossin-,JX2所求切线的斜率为：fc=sff=yrcosVinff=-1由于切点坐标为(r,0),故切线方程为：y=-l(x-r),即为+y-TT=0.15 .己知函数/(靠)满足/(x)=f,()sinx-cosx,求f(%)在X=彳的导数.【答案】2+l【分析】首先求出函数的导函数，再将=代入计算可得；【详解】解：因为f(%)=zsinx-cosx,所以/O)=,cosx+Sin%,所以广Q)fQ)cos+sin解得r(W)=V+116 .设函数f(%)=1-峭的图象与“
20、轴相交于点尸，求曲线在点尸处的切线方程.【答案】x+y=0【分析】结合导数的几何意义即可.【详解】令f(%)=l-ex=0得%=0,则点P的坐标为(0,0).,(%)=_/,.,(0)=-1.，曲线在点P处的切线方程为y=-工，即+y=0.17 .己知函数/(无)=5+2%-31nx,求f(%)的导数，并求出f(%)0的解集.【答案】f3=%+2-：；4(%)0的解集为(1,+).【分析】先求导函数，再解广(外0,得到广(幻O的解集.【详解】f(%)=券+2%-31n%的定义域为(0,+8),所以/(%)=()+(2x)f-(31nx)=x+2-=i(x2+2x-3).令(0)0,解得：x1.
21、所以广(%)0的解集为：(1,+)18 .氨气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有50Og氨气，那么，天后，氨气的剩余量为46)=500x0.834%.(参考数值ln0.834k-0.1815,0.83470.2806)氨气的散发速度是多少？(2)4(7)的值是什么(精确到0.1)?它表示什么意义？【答案】(1)4(。=5000.834tIn0.834(2)4(7)-25.5,表示在第7天附近，氧气大约以25.5克/天的速度自然散发.【分析】(1)根据基本初等函数的导数公式计算可得；(2)将t=7代入求值即可；(1)解：氨气的散发速度就是剩留量函数的导数.AQ)=500X0.83
22、4*,4(。=5000.834tln0.834.(2)解：因为A()=500x0.834ln0.834所以4(7)=5000.8347ln0.834-25.5.它表示在第7天附近，氨气大约以25.5克/天的速度自然散发.19.设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程/(单位：m)与时间，(单位:S)满足关系式)=2/+,t.(1)求关于，的导数，并解释它的实际意义；(2)当t=3s时，求运动员的滑雪速度；(3)当运动员的滑雪路程为38m时，求此时的滑雪速度.【答案】(1)(t)=4t+,它的实际意义是滑雪时在1时刻的瞬时速度；(2)(m/s)；(3)(ms).22【分析】(1)求出？()由
23、导数的几何意义可得答案：(2)把=3代入/()可得答案：(3)由题意得2“+?=38,解得C代入E(t)可得答案.【详解】(1)由已知得，(t)=4t+去它的实际意义是滑雪时在1时刻的瞬时速度.(2)因为Y(t)=4t+1所以1(3)=4X3+；所以运动员的滑雪速度”(m/s).(3)由题意得2“+、=38,解得t=4或=一号(舍去)，24因为()=4t,所以F(4)=44+=y,当运动员的滑雪路程为38m时，此时的滑雪速度冷(m/s).20 .设曲线y=x在点(U)处的切线与直线公一y+I=。垂直.求。的值.【答案】Q=-J4【分析】求导后计算出在点(U)处的切线斜率，结合题中两直线垂直计算
24、出结果.【详解】解：.y=e2%.y,=e2ax(2axy=2ae2axt所以在点(0,1)处的切线斜率为k=yX=O=2e=2,又因为切线与直线2%-y+l=0垂直，2a2=-1,Q=-421 .请按步骤，完成下面的任务.(1)利用信息技术工具，分别画出h=1,0.5,0.1,0.05时，函数y=Sin(X+：)TinX图象.(2)画出函数y=Cosx的图象，并与上面的四个图象比较，当h越来越小时，你观察到了什么？(3)猜测y=sin%的导数，它与基本初等函数的导数公式表中Sinx的导数公式一样吗？21.某海湾拥有世界上最大的海潮，其高低水位之差可达到15m.假设在该海湾某一固定点，大海水深
25、d(单位：m)与午夜后的时间/(单位：h)的关系由函数d(t)=10+4cost表示.求下列时刻潮水的速度(精确到0.01mh)(1)上午6：00；(2)上午9：00；(3)中午12：00；(4)下午6：00.【答案】答案见解析.【分析】根据导数的几何意义求出CrQ),把(1)、(2)、(3)、(4)中对应的代入即可.【详解】由函数d()=10+4cost得d(t)=4sint,(1)上午6：00对应t=6,v=dz(6)=-4sin61.12,所以上午6：00潮水的速度1.12(m/h)；(2)上午9：00对应=9,V=dz(9)=-4sin9-1.65,所以上午9：00潮水的速度一1.65(m/h)；(3)中午12：00对应=12,V=dr(12)=-4sinl22.15,所以中午12：00潮水的速度2.15(m/h)；(4)下午6：00对应t=18,v=d,(18)=-4sinl83.00,所以下午6：00潮水的速度3.00(m/h).
