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1、人教A版(2019)必修第一册541正弦函数、余弦函数的图象2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1己知y=sin(3x)(一条对称轴为X=兀，则叩=(A.B.-C.D.4436【分析】既然是对称轴，所以应该在此处取得最值，由此将X=代入函数值，令其4为1或-1,进而求角.【解答】解：因为y=sin(3x+0)(|0)，f(-)=f=0-3的最小值为OIZLZ()A. 2B. 1C. 4D. 6【分析】要使3最小，只需周期最大，即两个零点间的距离为半个周期，由此求解.【解答】解：由题知，周期最大为=2x(4-)=,故选：A.【点评】本题考查三角函数的性质，属于基础题.
2、3 .已知a=2,b，2?，c=sin.l,则mb,C的大小关系正确的是()打K2A.abcB.cabC.acbD.bac0.90.9【分析】b=M=2V2=小构造函数，利用函数的单调性比较a,c,2由此可解决此题.0.90.9【解答】解：b=0.9 3=, :ab,TrTrTT又/(O)=g(0),则当XC(0,)时，Sinxx,6兀TT又0.1(0，)f贝USin0.则ca,9.cab.故选：B.【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查构造法、函数性版等基础知识，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题.4.函数y=2sin-l的定义域是()jrOTTA2k兀?2k兀勺(kz)B2k兀吟
3、，2k+2L(kz)C.2k,2k-A(kz)66QJTTTD2k冗-玲，2kK-(kz)OO【分析】由2sinie,结合正弦函数的图象即可确定其定义域.【解答】解：*2sinx-I0sinx/，2k兀X4f(x)=x0,匹上无解，选项。错误.22故选：C.【点评】本题主要考查了三角恒等变换以及三角函数的性质应用问题，也考查了命题的真假性判断问题，是中档题.7 .将函数f()=4cos伶X)和直线g(x)=X-I的所有交点从左到右依次记为4,A2,A3,，4”若P点坐标为(O,I),则|PA；+PA；+PA；I=()A.5&B.3V2C.2D.0【分析】根据题意作出图象，结合余弦函数的中心对称
4、性化简各个向量的和，即可得解.【解答】解：由题意作出图象如图，共得5个交点，根据余弦函数的中心对称性可知，Al和A5,A2和A4关于43对称，PA；=(1，1)，所以两+两=两+西=2两，所以I西+花+西=5的=551CIl故选：A.TV-4-7【点评】本题考查了数形结合，余弦函数的对称性，向量加法运算问题，是中档题.A. 1个B. 2个C. 3个D.无数个8 .已知)WR,0,2),若对任意实数X均有SinX2cos(3+),则满足条件的有序实数对(3,)的个数为()【分析】根据SinAa-1,1,可分类讨论3=0,3W0时，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.【解答】解：3R,0,2)
5、,任意实数X均有SinX2cos(+),1当3=0时，任意实数A均有SinX2cos,且SinX-l,1,V0,2),=冗时,符合题意；2任意实数X均有SinX2cos(+),即SinX2sin(x+-),TTVsinx-I,sin(x+-)-1,1，当且仅当任意实数X均有SinX=Sin(x+-),则3=1,JI11JI当3=1时，sinx=sin(x+-),则+-=2h,解得=-项-+2内1,&Z,.0,2),=-52L,符合题意；JI,JIJ(当=-1时，SinX=Sin(-x+)=-sin(x-)=sin(x-+),222-+=2,解得=2L.-2&,AZ,又.0,2),=-5-,符合
6、题意，综上所述，满足条件的有序实数对(3,)为(0,),(1,空)，(-1,工)，共有3个,故选：C.【点评】本题考查正弦函数的图象与性质和函数恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.9.己知x(0,3j-),设函数/(x)=2COSX与函数g(X)=3tanx的图象交于为、22两点，过点P、P2作y轴的垂线，垂足分别为“、K,则四边形P1P2KH的面积为()A.3B.愿兀C.D.22【分析】先根据2cosx=3tanx,结合x的范围求出人然后结合题意可知所得四边形为一个直角梯形，据此求解.【解答】解：由已知得2cosx=3tanx,化简得2sin2x+
7、3sinx-2=0,解得SinX=工或-2(舍)，由x(0,旦三)可知X=工或且L,2266故交点为Pld-,3)P2(器，3),则“(0,3),K(0,-3),166由题意可知该四边形为以“Pi,KP2为底边，K为高的直角梯形，所以S梯形=(hp1kp2)kh1 Z乙宗去噜)(-(一)=兀Z00故选：A.【点评】本题考查三角方程的解法，以及三角函数图象性质的应用，属于中档题.10.若函数f(x)=2cos(2X-)-1在0,6上的最小值小于零，则m的取值范围为3()a.2L,-2Lb.2L,+8)c.(-t22Ld.(,+)333333【分析】由己知可求Zr-2L-匹，2m-,利用换元法求出
8、角的范围，结合余弦333函数的图象求出函数的零点，利用数形结合进行转化求解即可.【解答】解：0,m,：.2x- -e-33设=2r-W-,P!J-t2m-f333作出函数y=2cosf-1的图象如图，由y=2cos-1=0得cos/=TrTT则r=+2或，=-+2内,33则当AO时的，第一个零点为/=三，3即当-ZLWf2L时，y=2cosr-120,33要使y=2cos-1在任-?二，2m-?匚上的最小值小于0,33则只需要2m-工匹，即可，33得2z&L,得机匹，33,I的取值范围为(工，+8).3【点评】本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，利用换元法，求出函数的零点，以及利用数形结
9、合思想是解决本题的关键.综合性较强，有一定的难度.二.填空题(共5小题)11.己知函数/(x)=2sin(3x+2L)-w,x0,兀,有三个不同的零点x,X2,X3,69且JnVx2V3,则阳(xi+2x2+JG)的范围是，2).-L99一【分析】利用换元思想，令X=3x+着，然后将问题转化为y=2sinX,X曦，等上时的图象与y=m有三个不同交点的问题，据此求出m的范围.【解答】解：令X=3x+-三-,则原函数可化为y=2sinX-m,XWA,等有三个不同的零点,即y=M，与y=2sinX,XC竺-的图象有三个不同的交点，且62TrTTTrt=ITCxi=3xl4V,x2=3x2+V,x3=
10、3x34V,易知X+X2=2-=，3K乂2+乂3=2乂亍=3加所以Xi+2X2+X3-3CX+2X2+X3)十则半作出它们的图象如右：可知，当2si吟m0,0),g(x)=tanx,它们的最小正周期之积为22,/Q)的最大值为2g(工二_)4(1)求/(x)的单调递增区间设(X)=微-(X)+23cos2x,当xm守时，h(x)有最小值为3,求。的值.【分析】(1)首先，根据已知条件，建立周期关系式，得到相应的3和A的值;(2)结合(1),利用降基公式和辅助角公式，化简函数解析式，然后，根据正弦函数的单调性确定的值.【解答】解：(1)Yg(x)=tanx的周期为,Y它们的最小正周期之积为22,
11、Tr，函数/(x)=Asin(x+)的周期为2,口（牛）=2tan（4A）=2ta11A=2,.（X）的最大值为2,A=2,函数f=2sina+q)，4k-+2)lx+-+2,&Z,242：,-+2x-+2,44：.f(x)的单调递增区间：Lw三+2E,+2itJ,Z),44(2)结合(1),得h(x)=4sin2+2VScos2x,24z、=6X上生1+2yX22”22=3(l+sin2x)+3cos2x+3=3sin2+V3cos23+Vs，=2V3sin(2x+工)+3+V36Tr.g,2L,h(X)有最小值为3,3.*.sin(2x+W-)=-工，62.*.x=Am-6.当-？Lx?L
12、时，h(X)为单调递增,362Lx2时，h(X)为单调递减,:h(X)在=-?L时，有最小值3,66【点评】本题重点考查了三角函数的周期性和单调性、三角函数的最值、辅助角公式等知识，属于中档题.17.己知/(x)=V2sin(2-H-)(1)求函数/(%)图象的对称轴方程.(2)求/(x)的单调递增区间.(3)当xf-,邛-时，求函数/(x)的最大值和最小值.【分析】(1)由正弦函数的图象与性质，求出函数F(X)图象的对称轴方程;(2)令2E-E-2x+2L2匕r+匹，&Z求出/(x)的单调递增区间；242(3)利用正弦函数的图象与性质求出工6今，华时/()的最大、最小值.【解答】解：(I)由
13、/(x)=2sin(2x三-),TrJT令&Z,42解得x=K2L+2L,&z;28所以函数/(X)图象的对称轴方程是X=K2L+2L,*Z;28(2)2k-2L2+2L2+2L,kWZ,242解得E-xE+2L,zZ;88所以/(X)的单调递增区间为k兀W,k+-三-,&Z;OO(3)当工，时，-2L2r+-1.44444所以lWsin(21-)W除，所以&勺。)1;所以当.伯叶，等时，函数/(x)的最大值为1,最小值为-E.【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题.18 .已知函数f()=i-a?-Sin2+2asinx,xW63(1)若f(看)口，求实数的值；(2)若函
14、数/(x)有两个零点，求实数。的取值范围.【分析】(I)利用/(?L)=1解方程求出的值.6(2)利用换元法，令sinx=z,函数化为y=-a2-2+2,根据零点的定义求出t=a1,再由y=shu在-匹，生_上的图象与性质，求出/(x)有两个零点时”的取值范围.63【解答】解：(I)因为f(2L)=a21+a=：L，64所以-2+=0解得a=(2)令SinX=八则y=f(x)=1-a2-t2+2at,1-2-t2+2at=0,解得t=a.L6223又因为y=sinx在-匹，匹上是增函数，在匹，上是减函数,所以除tl时，X有两个值；尸1或t0时，+ll,要/(x)有2个零点，有乂3&-11，所以
15、1+亭a2；所以日Ta0,0,-),满足：最大值为2,其图象相邻两个最低点之间距离为,且函数/(x)的图象关于点(瑞，0)对称.(I)求/(x)的解析式；(II)若向量Z=(-三-),1),b=(/，-2cosx),xJ-,子,设函数g(x)=ZE总,求函数g(X)的值域.【分析】(1)由题意求出A、八3、的值即得F(X)的解析式；(2)根据/(x)求出向量a，利用平面向量的数量积写出g(%)，求函数g(X)的最值即得函数的值域.【解答】解：(1)由题意可得，A=2,T=,*3=2?=2,(2分)T所以f(x)=2cos(2x+),又函数/Cr)的图象关于点(工，0)对称,；+4)+kJT，&
16、EZ,(3分)62Jl.*.(p=lai+f*Z,又IQ17-F=?，(5分)/OIT/(x)=2cos(2x+)；(6分)3JT(2)*/(X)=2cos(2x+-),TTTrTr*f(x-)=2cos(2(x-)-2-=2cos2x5(7分)；=(g-A),I),b=-2cosx),x二0/d*g(x)=abH=f()-+l(-2cosx)总人_.,_3兀兀1令Z=Coar,.x,21f则t岑1，(10分),函数可化为g(t)=2t2-2t-y=2(t-y)2-l,又.-Y,1,2当Sl时，g(t)min=g(y)=-b当t=平时,g(t=g(夸)=Hi；函数g(X)的值域为-1,2-(12分)【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量数量积的应用问题，是综合题.
