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1、专题1-5抛物线15类常考题型汇总题型解读知识点梳理模块一抛物线的概念与基本性质【题型1抛物线的焦半径相关计算【题型2】抛物线的焦点弦【题型3】抛物线的轨迹问题【题型4】抛物线的光学性质【题型5】抛物线的实际应用问题【题型6】利用几何性质计算求值模块二抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题【题型8】直线到抛物线距离最小问题【题型9】抛物线中的线段和差最值问题【题型10其它最值问题模块三抛物线与直线联立韦达化运算【题型II】焦点弦中点相关运算与证明【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算【题型13不过焦点的弦长相关计算【题型14垂直关系的处理【题型15向量数量积的处理知识点梳理一
2、、抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程IOy2=2px(p0)MX=_22卜y2=-2px(p0)B)X=E2x2=2py(p0)(。局y=2x2=-2py(pQ)(iy=-2二、圆锥曲线第二定义结论：动点M到定点尸的距离与到定直线/的距离之比为一个常数，即幽1=e.MA(1)当OVeVl时，动点M的轨迹是椭圆；(2)当e=l时，动点的轨迹是抛物线；(3)当el时，动点的轨迹是双曲线.此时定点尸为圆锥曲线的一个焦点，定直线/叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x=Q,常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统c一定义(也称为第二定义).对称轴X轴J轴顶点0(0,0)离心
3、率e=l开口方向向右向左向上向下四、抛物线的焦点弦1 .已知/1B是过抛物线.v2=2pxS0)的焦点的弦，产为抛物线的焦点，A(xfJi),Bx19y2),贝Iipl(1加丁2=一p2，XIX2=Z7；4(2)|/8|=.口+2+=辞/为直线/B的倾斜角)；(3)5,4o=上(a为鱼鼓AB的倾斜角)；2sn心1I1一2(4)-1-FBFP(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.2 .当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段若为抛物线的通径，显然通径长等于2p*w核心题画7模块一抛物线的概念与基本性质【题型1抛物线的焦半径相关计算1. (2023雅礼中学高二期
4、中)抛物线=2px(p0)焦点为F,O为坐标原点，M为抛物线上一点，且M/二4O尸的面积为4L则抛物线方程为A.y1=6xB.y2=8xC.y2=16xD.y2x【答案】B【详解】设(X,必)，则由IMFI=4|。尸I得F+=4x,即玉=/,则乂2=?*则IyJ=Gp,臬ASAOMF=；Xg义辨P=AyB，解得P=4,即抛物线的方程为必=8.2.若抛物线F=4x上一点P到轴的距离为2J,则点P到抛物线的焦点尸的距离为()A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】根据抛物线=4x上一点尸到4轴的距离为2J,得到点尸(3,23),然后利用抛物线的定义求解.【详解】由题意，知抛物线F=4x的准线方程
5、为x=l,:抛物线y2=4x上一点。到X轴的距离为2J,则P(3,23),:点P到抛物线的准线的距离为3+1=4,:点P到抛物线的焦点F的距离为4.3.(多选)已知抛物线C:户=2px(p0)的焦点为Ff直线的斜率为3且经过点F9直线/与抛物线C交于4,8两点(点力在第一象限)，与抛物线的准线交于点。，若MFl=4,则以下结论正确的是()A. p=2C. BD2BFB.为力。中点D. BF2【答案】A、B、C【详解】如图，解0I直线/的斜率为s,JL4广2公则直线方程为y=512jf联立r（r3得12-20px+3p2=0.解得X/=1,Xb=/由MQ=/+g=2p=4,得p=2.抛物线方程为
6、炉=4x.4=%=；，=j=7=？BD=2BFt6333cos601324|80+田户|=：+；=4,则户为月。中点，,运算结论正确的是A、B、C.【题型2】抛物线的焦点弦4 .过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（xfy）,8（x2）两点,若R+&=6,则AB=.【答案】8【解析】MBI=XI+m+p=6+2=8.5 .已知是抛物线2=j，的焦点弦，若NSl=4,则的中点的纵坐标为.【答案】*8【解析】设的中点为Pa0,次），分别过4P,6三点作准线的垂线，垂是分别为4,。，8.由题意得MHl+|8=08=4,IPoI=Mlh=2.又P0=yo+L所以/+,=2,则则=卷.2888【题
7、型3】抛物线的轨迹问题6 .若动点P到点（3,0）的距离和它到直线x=-3的距离相等，则动点P的轨迹是（）A.椭圆B.抛物线C.直线D.双曲线【答案】B【详解】动点P到点（3,0）的距离和它到直线=-3的距离相等，而点（3,0）不在直线X=-3,所以动点尸的轨迹是以点（3,0）到直线=-3的垂线段中点为顶点，开口向右的抛物线.7 .设圆0:/+歹2=4与7轴交于48两点（力在8的上方），过8作圆O的切线/,若动点P到A的距离等于尸到,的距离，则动点P的轨迹方程为（）A.X2=SyB.X2=6yC.y2=SxD.y2=16【答案】A【详解】因为圆0:/+=4与y轴交于a,B两点、(A在8的上方)
8、，所以4(0,2),5(0,-2),又因为过8作圆O的切线/,所以切线/的方程为歹=-2,因为动点尸到A的距离等于P到/的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，且其焦点为(0,2),准线为y=-2,所以P的轨迹方程为/=8y.8.(多选)已知抛物线。：V=2PX(P0)的焦点为凡定点M(0,4)和动点45都在抛物线C上,且AMOF(其中O为坐标原点)的面积为4,则下列说法正确的是()A.a=4B.抛物线的标准方程为/=8XC.设点A是线段彳尸的中点，则点A的轨迹方程为?=叙-2D.若18=10,则弦力5的中点N的横坐标的最小值为3【答案】BD【详解】对于A,B,点M(,4)在抛物线。上，.16=2p
9、,即8=pa,的面积为4,.LXKX4=4,解得p=4,22.a=2,抛物线的标准方程为V=8x,故A错误，B正确；对于C,设点R(Xj),4(XQJ,尸(2,0),则x=i,y=,.x=2x-2,y=2y,又A是抛物线。上任意一点，.(2y)2=8(2x-2),Ppy2=4x-4,故C错误；对于D,设4(和必),8仁,歹2),弦/5的中点N(XJ),则IZ尸I=x1+2,BFI=x2+2,.AF+1BF=xl+X2+4,X=g(/尸+)-2g-2=3,当且仅当小Bt/三点共线时取等号,弦48的中点N的横坐标的最小值为3,故D正确.9 .若动点历(x,y)到点P(4,0)的距离比它到直线X+3
10、=O的距离大1,则M的轨迹方程凫.【答案】y2=6x【详解】将x+3=0化为工=一3,动点M(x,y)到点F(4,0)的距离比它到直线X=-3的距离大1,则动点M(x,y)到点尸(4,0)的距离与它到直线X=-4的距离相等，由抛物线定义可知动点M(Xj)的轨迹为抛物线，该抛物线以尸(4,0)为焦点，以=-4为准线，开口向右，设B=2p,(p0),所以5=4,解得p=8,所以抛物线方程为=i610 .若动圆M经过双曲线d-1=l的左焦点且与直线x=2相切，则圆心M的坐标满足的方程强.【答案】y2=Sx2【详解】双曲线2一9=1的左焦点为F(2,0),动圆M经过户且与直线x=2相切，则圆心到点尸的
11、距离和到直线x=2的距离相等，由抛物线的定义知圆心的轨迹是焦点为产，准线为x=2的抛物线，其方程为y2二一8元.【题型4抛物线的光学性质11 .探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm,灯深40cm,则抛物线的标准方程可能是(),225245A.J2=XB.y2=X44C. X2=一争D.2=-y【答案】C解析：如果设抛物线的方程为y=2px00),则抛物线过点(40,30),从而有302=2pX40,即2p=宁，所以所求抛物线方程为炉=米.虽然选项中没有V=枷，但C中的2p=葭符合题意12 .抛物线的光学性质,经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行
12、于抛物线的对称轴(即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射)，过抛物线/=9)，上一点作其切线交准线/于点M,PNLl9垂足为N,抛物线的焦点为产，射线/叶交/于点。，若IMPl=I加。|则NMPN=,IMM=.【答案】30o33【解析】由抛物线的光学性质知PM平分ZQPN,又/MPF=NMQF,所以MQF+NPF=3AMPN=90,所以NPN=30,由IPFl=IPNl=4PMN三PF,NMFP=ZMNP=,P=MQ得|。FI=PF,FEQF1ll9设准线交X轴于点,则aFQEsQN,JL-=-=-,且IEFl=5,所以IPM=9,所以IMNI=IPNltan30=9芋=3忑13
13、.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴1反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线=4x的焦点为尸，一条平行于X轴的光线从点5,4）射出，经过抛物线上的点8反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则忸CI=.25【答案】r4【解析】如图，由题意可知ZBX轴，力（5,4）,将y=4代入=4x中得x=4,即3（4,4）,可得4-17x+4=0,解得X=:，或x=4（此时。与8关于X轴对称，不合题意），4则C（；,一1）,故忸CI=J（4-；）2+（4+1）2=日，25故答案为：.414 .根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发
14、出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴,已知抛物线F=2x,若从点Q(3,2)发射平行于1轴的光射向抛物线的力点，经力点反射后交抛物线于B点，则MBl=.25【答案】WO【解析】由条件可知力。与X轴平行，令Mf=2,可得吃=2,故力点坐标为(2,2),因为金经过抛物线焦点尸弓,o),所以加方程为J。=：TK整理得4x_3y_2=0,联立IJ=2X,y2-ly-=0f=f-l-41(-1)=0,所4x-3y-2=022)4f3以外+为=彳，A. 2.25m B. 2.5mC. 3.25m【题型5】抛物线的实际应用问题15 .如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为
15、保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m,已知行车道总宽度48=6m,那么车辆通过隧道的限制高度为()D. 3.5m【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用抛物线方程运算即可得解.【详解】解：如上图，取抛物线的顶点为原点，对称轴为P轴，建立平面直角坐标系，则C(4,-4),设抛物线方程2=-2py(p0),将点。代入抛物线方程解得：p=2, 抛物线方程为=-4y, 行车道总宽度力6=6m, 将x=3代入抛物线方程，解得：y=-2.25m, 车辆通过隈道的限制高度为6-2.25-0.5=3.25m16 .石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市
16、石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m,当水面下降0.9m时，水面的宽度为()6.4A.7mB.7.5mC.8mD.8.5m【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用点的纵坐标求解.【详解】以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，则拱桥所在抛物线如图，设抛物线的标准方程为犬=_2py(p0),由题意知，点(32,T.6)在抛物线上，代入抛物线方程可得3.2?=2px(1.6),解得p=3.2,所以抛物线方程为/=-6.4y,由题意，当水面下降0.9m时，点(x,-2.5)在抛物线上，代入抛物线方程可得/=-6.4
17、(-2.5)=16,解得X=4,所以水面的宽度为4-(-4)=8(m).17 .为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉,如图所示，啧头装在管柱01的顶端力处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状.现要求水流最高点8离地面4m,点6到管柱O力所在直线的距离为2m,且水流落在地面上以。为圆心，6m为半径的圆内，则管柱。力的高度为()A.2mB.3mC.2.5mD.1.5m【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为F=_2眇(P0),求出点。的坐标，代入抛物线方程，即可求得P，再将点力(-2,No)代入抛物线方程中，求出外,即可求得QI的高次.【详解】如
18、图所示，建立平面直角坐标系，由题意知，水流的轨迹为一开口向下的抛物线，设抛物线的方程为炉=_2加(0),因为点C(4,-4),所以16=-2PX(-4),解得p=2,所以抛物线方程为/=-4y,点4(-2JO)在抛物线上，所以4=T%,解得为=-1,所以IoH=4-帆|=3,所以管柱。力的高度为3m.18 .如图是一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m,当水面上升Im后，桥洞内水面宽为()H 16m1A. 4mB. 43mC. 8/mD. 12m【答案】C【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，过原点且垂直于y轴的直线为X轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程
19、为/=-2陟(0),分析可知点(8,-4)在该抛物线上，求出P的值，可得出抛物线的方程，将y=-3代入抛物线方程，即可得出结果.【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为V轴，过原点且垂直于N轴的直线为X轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为丁=-2Py(P0),由题意可知点(8,-4)在抛物线上,所以，64=-2p(-4),可得p=8,所以，抛物线的方程为2=6y,当水面上升Im后，即当产=-3时，=48,可得x=4jj,因此，当水面上升Im后，桥洞内水面宽为8Jm19 .图中是抛物线形拱桥，当水面在/时，水面宽4m,水面下降2m后，水面宽8m,则桥拱顶点O离水面/的距离
20、为.2【答案】I【分析】建立直角坐标系，直线/交抛物线于48两点，抛物线方程为/=-2勿，(p0),A-2,m),对应的坐标为(-4l2),代入抛物线，解得答案.【详解】如图所示，建立直角坐标系，直线/交抛物线于48两点，抛物线方程为炉=_20S(p0),4 =-2 pml6 = -2p(m-2)f 科小设/(一2/)，水面下降2m后，水面宽8m,对应的坐标为(-4,2),2,故拱顶点。离水面/的距离为Lm3320 .一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度力B=20米，拱高0尸=4米，在建造时每隔4米用一个【分析】建立直角坐标系.利用待定系数法求出抛物线的标准方程，求出点打的坐标，即可求出支柱4层
21、的长度.柱子支撑，则支柱4层的长度米.【答案】3.84.【详解】建立如图所示的直角坐标系，使抛物线的焦点在y轴上.可设抛物线的标准方程为：X2=-2pyp0）.因为桥的跨度48=20米，拱高。尸=4米，所以力（一10,-4）,4（一2,-4）代入标准方程得：（-101=-2p（-4）,解得：2p=25,所以抛物线的标准方福为犬=一25歹,4把点鸟的横坐标-2代入/=一25八得（一2）=-25y,解得：=-=-0.16,支柱4层的长度为（-0.16）-（-4）=3.84（米）.即支柱4鸟的长度为3.84（米）.【题型6利用几何性质计算求值21 .已知抛物线V=6x的焦点为/，准线为/,过产的直线
22、与抛物线交于点4、B9与直线/交于点D,若万=4而（义1）且I而卜4,则义二.【答案】3【详解】如图，设准线与X轴的交点为K,作Z4U,34JJ垂足分别为4,B-则BBi/FK/AA1.根据抛物线定义知忸闻二忸日,AA=AFt设NDBBI=9,因为BB1FKA4,所以NFAAT=NKFD=NDBB=9,BBi=KFAAiBDyB4Da4+(+l),所以“二322 .在平面直角坐标系）伪中，已知抛物线C:/=6戈的焦点为E过。，,j的直线/与C交AF _BF于力，B两点.若4/8/的面积等于AO/l。的面积的2倍，则【答案W【分析】根据题意，过A做垂直准线于点4,过8做8片垂直准线于点名，由面积
23、关系可得A为由题意可得如图所示图形，过A做力4垂直准线于点4，过6做84垂直准线于点g,由抛物线的定义可知，|力尸=44j,忸产I=忸闻，因为抛物线C:y2=6,则尸(,),设ZXO力。的面积为S,则a0尸的面积也为S,AziBF的面积为2S,所以Sdf=S.ABF，即40=48,即A为8。中点，所以AFBFAA _ AD23 .已知产是抛物线C:/=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交丁轴于点N,若丽=2MN,则IFM=【答案】4【分析】先求出准线/方程为工=-2,根据抛物线定义把焦半径转化为焦点到准线距离，在直角梯形4FM。中由平行线得比例线段，从而可得忸加|,即|历日，从而可得归M.
24、【详解】易知焦点尸的坐标为(2,0),准线方程为x=-2,如图，作“8_1/于8,NDlj于D,FM=2MN,可知线段8平行于力产和。M因为ON=2,AF=4,jj=扁=,QQ所以忸M=；,又由定义知忸M=IMH=所以忻M=IMM+m=4.DB24 .已知抛物线JV=2p(po)的焦点为尸，点A在J轴上，线段/广的延长线交。于点8,若AFFB=6t则=.【答案】4【分析】做5。工准线/于0点，y轴于C点、可得OF/BC,|0日=；忸CI=,再由抛物线定义可得答案.【详解】如图，做BO_准线/于。点，歹轴于C点，所以OF/8C,因为|力同=p8=6,所以|。尸|=；忸a=,所以忸OI=Fa=,=
25、6,解得p=4.25 .焦点为尸的抛物线=2px(p0)上有一点P(2,2p),O为坐标原点，则满足可?I=MOI=MH的点M的坐标为.【答案】品【分析】根据p(2,2p)在抛物线上，代入解得P值，从而得到少坐标，在根据IMPI=MOl=MrI，得到M是线段。尸垂直平分线与线段OP垂直平分线的交点，求出两条垂直平分线方程，进而求出时坐标.【详解】解：焦点为产的抛物线=2px(p0)上有一点?(2,2p),则(2p)2=2pxp,解得p=l,所以抛物线方程为=2x,则焦点户g,0),尸(2,2),因为MH=IMol=WI,所以“是线段O尸垂直平分线与线段。尸垂直平分线的交点.线段O尸垂直平分线方
26、程为x=L,4因为点O与点尸的中点坐标为(1,1),直线OP的斜率为1,所以线段O尸的垂直平分线斜率T,所以线段OP的垂直平分线方程为x+y-2=0,1 7 所以M坐标为(Wq)1X=7则J4解得y=z,x+y-2=0模块二抛物线中最值问题【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题26 .已知4(2,0),B为抛物线V=X上的一点，则,48的最小值为.【答案】业2解析:设点8(x,y),则X=V20,所以|月用=叱.丫-2)2+V2=J(X21+x=yJ2-3x+4=+/.所以当X=扣，I的取得最小值，且M8min=(27 .已知抛物线/=2、，点力的坐标为;,),则抛物线上距离点为最近的点P
27、的坐标为1距离IF=,【答案】(o,o);I【详解】设抛物线上任一点尸的坐标为(XJ),W=2x,叫哈卜-外产=（三）Zx=,因为x0,且在此区间上IPH2随着丫的增大而增大，所以当X=O时，俨科取得最小值，最小值为5，则IHl的最小值为故距离点为最近的点尸的坐标为(o,o),距离I尸4是：28 .已知抛物线氏x2=4y,圆C:/+(y_3)2=l,2为E上一点，。为C上一点，则|尸。|的最小值为()A.5B.22-lC.22D.3【答案】B【详解】由题意知C(0,3),=1,设尸(4,九)，则片=4y0,所以IPq=J片+(%3)2=JK2%+9=J(%-1)+8,故当先=1时，IPCLI=
28、2,所以PL=pnmf=2i.29 .已知点”(1网)在抛物线Uy2=2PX(P0)上，且|收|=2(尸为焦点)，若为C上的一个动点,设点。的坐标为(3,0),则P0的最小值为.【答案】22【详解】解：已知点M(LM)在抛物线C:/=2p(p0)上，且|朋尸|=2(尸为焦点)，由定义知，1一-5)=2=p=2,抛物线C:/=4x.设P(XOJO)(XoN。)，由题意知炉=4%,则IP。F=(XO-3)2+K=(x-3f+4.%=(xo-l)2+88,当=1时，|尸。取得最小值8,则P0的最小值为2【题型8】直线到抛物线距离最小问题30 .(2023上广东广州高二统考期末)若动点尸在直线J=+1
29、上，动点。在曲线2=-2y上，则IPQl的最小值为()a1r2r2n1A15-CzU4428【答案】B【分析】设与直线y=+平行的直线/的方程为y=+m,当直线/与曲线=-2y相切，且点。为切点时，尸，。两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线/的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.【详解】设与直线y=*+平行的直线/的方程为y=+m,当直线/与曲线/=_2相切，且点。为切点时，p,。两点间的距离最小，设切点O(XO,外)，a：2=-2y,所以y=-；/,，111y=-x,-x0=l=0=-l,.y0=-,二.点(-l,-g),直线的方程为y=%+；,P,0两点间距离的最小值为平行
30、线y=x+g和，=+1间的距离,I-Ir.八。两点间距离的最小值为_劣=立.2431.已知抛物线=2x,直线/的方程为*一+3=0,点尸是抛物线上的一动点，则点尸到直线/的最短距离为,此时点P的坐标为.【答案】也04【解析】：设点P(XO,M)是f=Ir上任意一点，则点尸到直线xy+3=0的距离d=畏t引=72I=IaL1产5|,当川-时,加=0=逑,此时XO=1,所以点尸的坐标为D2222224232 .已知直线：x-2y-16=0和直线/x+l=0,则抛物线/=4x上的动点到直线/和的距离之和的最小值为.【答案】35【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可.【详解
31、】直线*x+l=0为抛物线=4x的准线，/(LO)为抛物线V=4的焦点，过点尸作尸/7-L4于，作PM-L于过F作FNAjl千N,由抛物线的定义可得IPFl=I尸，j.PH+PM=PF+PMIFM,当尸,P,N三点共线时等号成立,又忸M=嵋=3正，即动点P到直线/1和4的距离之和的最小值为3亚【题型9】抛物线中的线段和差最值问题33 .已知。是抛物线2=4j，上的动点，点P在轴上的射影是点。，点力的坐标是(8,7),则+PQ的最小值为.答案9解析抛物线的焦点为尸(0,1),准线方程为歹=一1,延长尸。交准线于点如图所示.根据抛物线的定义知，IpQ=IPM=IP0+1.所以R4+P0=R4+PM
32、-I=IP+P尸I-INkFlT=IOT=9.34 .已知抛物线Cty2=Sx的焦点为R点尸在C上，若点。(6,3),则APQF周长的最小值为().A.13B.12C.10D.8【答案】A【详解】y2=24xt故尸(2,0),记抛物线。的准线为/,则/：X=-2,记点尸到/的距离为d,点0(6,3)到/的距离为小，则I尸。+|尸尸|+|0尸|=|户0+d+J(6-2y+(3-O)2d+5=8+5=13.r2?35 .已知点M为抛物线Y=一上任意一点，点N为圆/+/一2丁+9=0上任意一点，点p(T,2),44贝MP+MNl的最小值为.【答案Wy2【详解】抛物线y=、，即=4y,其焦点为尸(0,
33、1),抛物线的准线为/：y=T,3 1圆2+y2_2y+W=0变形为2+=-,则圆心为抛物线y=L的焦点广，半径为R=一.4 22点M为抛物线y=:上任意一点，当,M尸三点共线，IMM取最小值时，最小值为F-?=F-.如图，过点/作A/E_L/于点E,由抛物线定义可知IMbl=IMEI,所以IMPI+1MVl取最小值时，即MPI+1MEI-g取最小值，IMPl+1MNlm尸I+M/卜；=.?卜愀卜连卜.当尸,M,E三点共线，当IPEl=3时，等号成立.IM尸+MNl3-g=，则IM+M7V的最小值为，【题型10其它最值问题36.知抛物线Cix2=6y的焦点为F,直线/与C交于4B两点，且AB的
34、中点到x轴的距离为6,则I4网的最大值为.【答案】20【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线定理、两点间线段最短进行求解即可.【详解】由题意知尸(0,4),抛物线C的准线方程为y=-4.设48的中点为A/,分别过点力，B,/作准线的垂线，垂足分别为C,D,N.因为M到X轴的距离为6,所以N=6+4=10.由抛物线的定义知I力O=MM,忸&=忸尸I,所以2MVI=INC卜即|=,尸+RF=20.因为小同+忸尸48,当点尸在线段43上时等号成立,所以网20,即|46|的最大值为20.IPMI237.已知点M(0,4),点C在抛物线/=盯上运动，点。在圆，+(y-2)2=1上运动，则po的最小值【
35、答案】4【详解】设圆心为尸，则尸为抛物线=8y的焦点.设Paj）J0,PF=y+2,要使最小，则需10。1最大，1尸。12=1尸尸1+1=+3,且IPMl=JX2+J/=+%,2J(y+3)V Y T,y+3 y y+3I尸MF/+16(y+3)2-6(y+3)+25;r-=二=V+j-O西尸3严325当且仅当y+3=,即y=2时取等号,.需P的最小值是4.38.点4B是抛物线。：/=21（。0）上的两点，尸是抛物线C的焦点，若乙4汽3=90。，48中点。到抛物线C的准线的距离为，则号的最小值为.【答案】2【分析】由抛物线几何性质可得=；（|4尸|+忸日），再由勾股定理和基本不等式可得.【详解
36、】在川即中，|4坪=|4歼+忸可2=（|4日+忸日）2一2|4可.忸日，（M+M）2-2（田；阳=1（4Bf）由抛物线几何性质可得d=（jf+忸日），所以件行当即也3L呼L（+BF）24d22d当且仅当|力尸I=IBRl时等号成立.39.已知抛物线C:=2px（p0）的焦点为产，直线/与C交于4（xqJ,8（和乃）两点，其中点/1在第一象限，点必是,48的中点，作MN垂直于准线，垂足为M若以/8为直径的圆Mab经过焦点R则高的最小值为【答案】2【解析】设I/川=,忸目=6,由抛物线的定义可得7V=；(X尸I+5F)=(+b),以48为直径的圆M经过焦点F,/.AFLBFtAB=a2+b2,(+
37、z)(a+卡+9当且仅当=b时，即4F=8尸I时等号成立.40.已知抛物线C:父=2的焦点为歹，准线为/,A、是C上异于点。的两点(O为坐标原点),若4/加=60。，过48的中点。作。EJJ于点E,则照的最小值为.de【答案】1【分析】结合图形，利用抛物线的定义和基本不等式即可求解.【详解】过点A作力4，/于点4，过点B作BBJI于点Bl,设M尸|=加，忸习=，所以IDEl=华幽=笠2,因为AB=w2+2-2/WWCOSZ.AFB=nf+w2-mn=(n+“-3mi一誓卜小所以“圆QE,AB则方才的最小值为1，当且仅当机=时，等号成立.41.已知点P（XO,九）是抛物线V=4x上的动点，贝Il
38、：o+ko-%+1|的最小值为.【答案】2-2【分析】根据已知条件将问题转化为抛物线=4x上的动点尸（%,九）到直线/：工-歹+1=0和轴的距离之和的最小值，作出图脑，利用抛物线的定义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题可知，过抛物线V=上的动点（与，儿）作直线/：x歹+1=0的垂线交直线于，过点（绘，儿）作，轴的叁线交歹轴于。，交准线于G点，/为抛物线焦点，由丁=4元，得p = 2,所以/（1,0）,如图所示所以/+四平凹=p（+IPMT0。+|尸前一1=|川+|PML2当且仅当尸、尸、M三点共线时，|尸。|+|尸M有最小值，即I尸0+PMI=IPM+ptmf-i（此时IM日为点尸到直
39、线/的距离），所以尸（1,0）到直线7：x-y+1=0的距离为IMFl=Yl=&,所以/+四二符UM-=5-,所以 y2x0 +x0- y0 +x0 + ll2.所以，5工0+k0-%+1的最小值为2-JL模块三抛物线与直线联立韦达化运算【题型11焦点弦中点相关运算与证明42 .已知抛物线俨二叔的焦点为F,直线/：y=Mx-l)(A0)与该抛物线交于力、B两点，过”的中点。作J轴的垂线与抛物线交于点P,若|尸尸|=2,则左二.【答案】1【分析】先求出P的纵坐标，再联立直线与抛物线方程表示P的纵坐标，故可求斜率.【详解】易知F(Lo)设/(占,必),8(x29y2),因为IPH=2,故+1=2,
40、故XP=1,而左0,故0,故=2,V2=4x4416联立直线与抛物线方程.4=0得必+为=:，=-+160,y=左(X-I)kk2所以尸的纵坐标%=工=2,故左=143 .直线J=X-I被抛物线产=公截得的线段的中点坐标是.【答案】(3,2)【解析】将y=-l代入y2=4x,整理，得/-6+l=0.由根与系数的关系，得.引+刈=6,曲=3,，但=红红E=B=2.所求点的坐标为(3,2)44 .已知抛物线P=4x的焦点为F9直线/f=Mx-l)(Q0)与该抛物线交于力、B两点，过相的中点2作J，轴的垂线与抛物线交于点P，若IPFl=2,则左=.【答案】1【分析】先求出尸的纵坐标，再联立直线与抛物
41、线方程表示尸的纵坐标，故可求斜率.【详解】易知尸(LO)设N(再,yl),B(x2,j2),因为IPFl=2,故Xp+1=2,故XP=1,而女0,故力0,故%=2,y2=4x,4416联立直线与抛物线方程/，/=/_4=0得M+%=7，=-+160,y=K(X-I)kkk2所以尸的纵坐标%=工=2,故左=145 .已知。为坐标原点，过抛物线Uv=4x的焦点厂的直线交C于46两点.若O为线段,48的中点，且oq=iL则IlZ用一|8匹卜.【答案】42【分析】直线45的斜率存在，可设为N=G(X-1),与抛物线方程联立得到韦达定理，求出。点坐标，利用|。力I=J万求解左，再结合抛物线定义得到结果.
42、【详解】设/(再,必)，3(/，8)，产(LO),显然当直线垂直于X轴时，。与尸重合，此时O0=1不满足条件，所以可设直线的方程为N=Mx-I),代入C的方程有，FX2-2化2+2b+-=O,4,2俾+2)1/公+22)所以士+W=1小)，卬二1，D下一次，kJ所以Ia)=13=(1+1)+/，解得/=,x1+AT2=6,由抛物线的几何性质可知JF=x1+1,5F=X2+1,所以JF-5F=1-x2=5(x1+x2)2-4x,x2=4246 .设抛物线仅=4v的焦点为尸，直线/:j，=x+机与抛物线Wz相交于4,B两点，点2为线段的中点.求利的取值范围；(2)求证：点。的纵坐标为定值.【答案】
43、(1)“V1,(2)0的纵坐标为定值2【解析】(1)直线/:y=-m与抛物线小联立得x2+(2m-4)x+=0,/.=(2m-4)2-4m20,解得mVL(2)证明：设Z(X1,yi),8(X2,歹2),则XI+.3=42加，MX?=，/,则点0的纵坐标为%X=吐苫业=2.点Q的纵坐标为定值2.47 .物线的顶点在原点，以X轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.(答案=4.r或产=4x【详解】解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为产=2PnP0),则直线方程为y=x+y.设直线交抛物线于力,加)，8(X2,二)，过4,B分别作准线的垂线，垂足分别为C,D,则由抛物线定义，得AB=AF+FB=AC-5D=x+x2+亨即x+x2+p=8.又4（x, y）, B（x2,竺）
