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1、北师大版（2019）必修一第一章预备知识章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“二”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“和符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数I3A则XT3y-l的最小值为()A.6B.4C.3D.22 .函数*)=J-f+2+8的减区间为()A.(-oo,lJB.l,-o)C.-2,lD.1,4J, BJ-Jtv3 .3 .不等式-2d+i50的解集为()A.X-32C.%-3XID.卜-3垢g4 .若关于X不等式2+b+20的解集为(1,2),则关于X的不等式以2+奴+2
2、0,bl满足4+6=5,则2+!的最小值为()ab-A3+20B3+4C3+2应D3+4近74-6-66 .不等式。-1)(21-1)0的解集是()A. ll)B. 尤 Vl 或 2Dx-x0,力0）上,则+的最小值为（）abA.2B.3C.4D.58 .已知不等式妆2+o的解集为从一；/；,则不等式f一床+“o的解集为（）A.x-3x-2B.x-3x-2C.-2x3D.xx-211!3）二、多项选择题9 .若函数y=x+l在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数。的值可以是（）A.2B.-2C.lD.010 .已知关于X的方程/-4x+a=0有两个不相等的实数根修，x2,则下列说法中正确的
3、是（）A.4B.xOfix20I 14C.若XM2声，则一+=x1X2aD.关于X的方程IXF-41x+=O有四个根或两个根II .下列函数中,最小值为2的是（）A.y=+1B.y=JX2+4+/14X4C.y=l-+（Oxo）的解集为划_/；2,则3+2。+0的值可以是（）A.lB.-C.lD.-3354三、填空题13 .若。力为正实数,?,nS6z+3Z7=2,-+-3,则机=.anb+m14 .已知正实数。力满足+4=1,若&+2扬m恒成立,则实数Z的取值范围是15 .已知函数=一r+rl,对于任意不同的X,2(,+oo)有/(X)-)3,则实数a的取值范围为.16 .已知关于X的不等式
4、X2-(m+l)x+2z-IVo的解集为xxxj,且实数引,工2,满足王，L+,1，则实数机的取值范围是.四、解答题17 .已知也C均为正数,若Q+b+c=,求证：(1) 2I+I+I3;222(2) +bivciab+he-ac-3abc-18 .已知函数/(x)为二次函数,/(-l)=-6,(0)=T,DrR(2+x)=(2-x);(1)求函数/(用的解析式；(2)若不等式f(X)+依0对DX(0,oo)恒成立,求实数k的取值范围.19 .已知函数/(r)=%2一20r+(1)当=i时,求函数力在0,3上的值域;(2)是否存在实数使函数力=/-2奴+。的定义域为-1,值域为-2,2?若存在
5、,求出。的值;若不存在,说明理由.20 .设函数/(尢)=2+(0_I)X+2.(1)若不等式/(x)0的解集为(1,2),求实数。力的值；(2)若-1)=5,且存在R,使/(x)l成立,求实数。的取值范围.21 .某服装厂拟在2022年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)?万件与年促销费用Mo-11x-l 3y-又x+3y=3(xl,y；),所以工1+3y-1=1,fix-lO,3y-l0,所以1x-l 3y-= (x-l3y-l)111x-l3y1CClx13y1+=1+l2+2=43y-lJ3y-lx-lpy-1x-l13v131当且仅当:i-=即x=9，y=：时
6、，等号成立，3y-x-l22X3V故;+.的最小值为6.故选:A.x-l3y-2 .答案：D解析：由题意,函数/（/）=J-d+2+8有意义,则满足一f+2+80,即f-2x-8O,解得-2x4,即函数/（力的定义域为令8（力=-2+2久+8,可得其开口向下,对称轴的方程为；1=1,所以函数g）在区间-2单调递增,在区间1,4上单调递减，根据复合函数的单调性,可得函数/（“在1,4上单调递减，即/（力的减区间为1,4.故选:D.3 .答案：B解析：依题意可得2d一工一15之0,故（2x+5）（x-3）0,解得x-1或3,所以不等式的解集为xx-或x3故选:B.4 .答案：D解析:由加+法+20
7、的解集为（1,2%可得:4+b+2=04+2Z?+2=0a-b=3加+r+20为：-3d+x+20解得为：-8,-1.(l,+)故选:D5 .答案：A解析：因为aOl满足 + /? = 5,则尹士2( J)aHb-(3 + 22),4当且仅当绝二D=旦时取等号，ab-故选:A.6 .答案：D解析：方程*一1)(2X-I)=O的解为$=L/=12所以不等式(x-l)(2X-I)Vo的解集是JIjCX0,Z0)上，所以+8=l，ccp11(11Y,、ba八CIbaCIl9以一H=IHZ?)=H+22J一+2=4,abab)abNab当且仅当即=b=!时取等号，ba2所以J_+_L的最小值为4,ab
8、故选：C.解析:由不等式双2+法+1()的解集为知是方程加+-O的两实数根，3211hP-=由根与系数的关系,得；2”,解得:=-6=l,32所以不等式2.r+o可化为无2-jc-60,解得：x3或x-2,故不等式2-bx-aO的解集为：(-8,-2L3,+8).故选:D.9 .答案：AB解析：依题意,当0时,y=r+l在1=2取得最大值,在X=I取得最小值,所以2a+l(+l)=2,即=2；当v时,y=r+l在犬=1取得最大值,在工=2取得最小值,所以。+1-(2+1)=2,即。=2故选AB.10 .答案：AC解析：因为关于X的方程X2-4x+=0有两个不相等的实数根，所以A=16-40,解
9、得4,故A正确.由韦达定理，得+%=4,x1x2=a,由于4,故.可正可负可为0,因此无法判断王，起的正负，故B错误.wO时，-+=i=-x2xix2a故C正确.当。=0时，|/一4|幻=0,此时方程有3个根0,4,-4,故D错误.故选AC.11 .答案：CD解析:对于A,y=f+l,当X=T时,y=0,不符合要求,故A错误；4X4对于B,y=Jx2+4+-fJ=2,当且仅当x24=-X=时取等号，由x2+4x24得/+4=显然不成立,所以等号取不到,即y=4rB+-r4=的最+4x2+4小值不是2,故B错误；对于C,因为Ovx0,y=L(，+-!-=，!L工=2,当且仅当2(xl-xj2x(
10、l-x)2(IjX=-时取等号,最小值是2,故C正确；2对于D,y=2z+2+x,易知一2x2,7,则、=27+2+工+2优27)(2+力=4+2-，当4_%2=0即工=2或_2时,3有最小值4,即V有最小值2,故D正确.故选CD.12 .答案：BC解析：设y=f(x)=rz+b+c,其中Q0，因为不等式02+Zr+c1(0)的解集为x-lx2,所以f(x)恒大于等于零且/(-1)=/(2)=1,故O,即力2一4cO,且a-Z?+C=I，4+2Z?+C=I，由可得b=-afc=l-2a代入,可得?_4O，解得00知0b=y(a+2fb)2=-Ja+4b+4fab=+4abJl+1=2，当且仅当
11、Q=4人=1时取等号，2故&+2拓的最大值为近，所以机2故答案2,+)15 .答案：(0,解析：对于任意卬x2(0,y有二)1/)3,XX2不妨设XVX2,则/()-/(x2)3(j-x2),BP/()-3j/()-3a,设尸(X)=/(x)-3x,KlJF(x1)F(x2),又W，所以F(x)单调递增,则F(X)O恒成立，因为/(X)=/(x)-3x=x2-(3+cr)x+lnx,所以 F,(x) = x-(3 + 6f) + -=二d匕3!,令g(%)=x2-(3+)x+l,要使U(X)O在(0,ho)恒成立,只需g(x)=V-(3+)x+lO恒成立,即3+X+:恒成立,又出2j=2,所以
12、3+2,即-1，故答案为乂YO,-116 .答案：2解析：因为2-(6+l)x+2机一IVO的解集为xXIxO,内+/=m+1，MX2=2/n-1所以L+L=A=7Om-2,解得或机5,2m-1故答案为：或机5217 .答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）（Gy+师门（E）(l7+lm+l.T)2(12+12+2=3(a+b+c+3)=3x(l+3)=12.Ja +1 + + Jc+13;(2) 2(6Z3+3+c3) = a3+Z?3+6z3+c3+Z?3+c3= ( +力)(/ -4力+ /72)+ (。+ 0)(2 -c + 3) +伍+。乂从-/?(? +C2) aba+
13、b) + aca+c)+bc(b+c)= H(I _ c) + c( 1 - Z?)+AC(I - a)= ab+ac+bc-3abc (当且仅当。=/? = C时取等号)18.答案：(1) /(X)= X2 +4x-l(2) (-co,-2解析：(1)设/(x)=Or2 + 云 + c( H 0)因为 VxR,(2+x) =于 Q-*,所以“x)的对称轴为 = 2,0(-l) = -6,/(O) = -I,所以f(-l) = a-b + c = -6/(O) = c = -l ,解得 2=,当且仅当=l时取等号，*I%H4I=2,kX人ink.2，所求实数k的取值范围为(-co,-2.19
14、.答案：(1)0,4；(2)存在,=T.解析：(1)函数/(x)=f-20r+”,=l(X)=(XI)?,.X0,3,(x)在0,1)上单调减,在(1,3上单调增，.最小值为/(1)=0,而/(O)=1,/(3)=4,.函数的值域为0,4(2)若q7时,/(T)=-2=2,=7若一1Va0时,/(a)=2,/(1)=2,4不存在若OVa1时(a)=-2(-1)=2,。不存在若al时,/(一1)=2,41)=-2,不存在综上知:a=T.20 .答案：(1)a=l，/?=2；(2)。9或al解析：(1)因为/(耳=2+3一1.+2O所以j=3,解得=12=2；a2:2.a(2)因为/(1)=5,所
15、以a-b=2,因为存在R(x)=Ot2+(A-l)x+2l成立，艮口存在xR,a2+(_3)式+1L成立；3当”0时涵数y=+g.3)x+l图象开口向下成立；当0时,A=(-3)2-40,即/-H)4+9(),解得。9或vl,此时，。9或0a9或2.答案：(1)答案见解析；(2)证明见解析.解析：(1)函数*(x)=AX+lnx-；k(&wR)的定义域是(O,+)(k)=A+L当人0时,(x)0恒成立,故在(0,+)上单调递增,无最大值;当左0,得0xv；令r(x)，kk所以/(6的单调递增区间为(0,-器),单调递减区间为/w-=/4+ ln-Ar = In4I k) 4(2)=/(x)-A
16、x+-=-+Inr-A:,XX4因为占为g(x)的两个零点，所以8(%)=8(工2)=。，不妨设王2等价于证明22-,又因为2-Fl,x21,g(x在(l,+oo)上单调递增，因此证明原不等式等价于证明g(w)g(2-%),即要证明g(xjg(2-),即要证明,+lnX-!+ln(2-x1)-(0x10(0 1)恒成立.令(X)=L+Inx!ln(2-x)(0xl),X2XA HX (2-x)2 2-x1-4(1-X)2X2 (2-x)=l+lnl-I-InI=0,即MX)=，+Inx-FIn(2-x)0S%(0,1)时恒成立,因此不等式HInxl-k-!111(2-%)-&恒成立，42X4即X+2.22.答案：(1)75人(2)存在实数2满足条件，且实数团的值为7解析：(1)依题意可得调整后研发人员人数为100-冗，年人均投入为(1+4x%)万元，则(100-X)(1+4x%)a100af解得0尤75,又45jv75,xN,所以调整后的技术人员最多有75人.(2)假设存在实数用满足条件.由条件，得J机-空,解得相交+1.V25J25又45x75,xN*,所以当冗=75时，一+1取得最大值7,所以“7.由条件，得(10()-犬)(l+4x%)04mLr,不等式两边同除以x,当且仅当x = 50时等号成立，所以相7.综上，得m=7.故存在实数机满足条件，且实数机的值为7.
