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1、北师大版（2019）选择性必修一第五章计数原理章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1 .如图,在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形,能构成三角形的数量为（）A.220B.200C.190D.1702 .小王同学家3楼与4楼之间有8个台阶,已知小王一步可走一个或两个台阶,那么他从3楼到4楼不同的走法总数为（）A.28种B.32种C.34种D.40种3 .公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的范围是:3.1415926v3.1415927,为纪念祖冲之在圆周率方面的成就,把3.1415926称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们把小数点后的7位数
2、字141,5,9,2,6进行随机排列，整数部分3不变,那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（）A.720B.1440C.2280D.40804 .某停车场行两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车,若每排都有车辆停泊,且甲、乙两车停泊在同一排,则不同的停车方案有（）A.288种B.336种C.384种D.672种5 .某校组织甲、乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒、油坊、陶艺、打铁、纺织、插花、竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午、下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（）A.1260B.1302C.1520D.
3、17646 .现安排甲,乙,丙,丁,戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译,导游,礼仪,司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲,乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是（）A.152B.126C.90D.547 .如图,一个地区分为5个行政区域,现给地图涂色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现有5种颜色可供选择,则不同的涂色方法的有种（）A.540B.360C.3OOD.4208 .某公园有如图所示A至”共8个座位,现有2个男孩2个女孩要坐下休息,要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列,则不同的坐法总数为（）ABCDEFGHA.16
4、8B.336C.338D.84二、多项选择题9 .下列说法正确的是（）A.用0,123,4能组成48个不同的3位数.B.将10个团员指标分到3个班,每班要求至少得2个,有15种分配方法.C.小明去书店看了4本不同的书,想借回去至少1本,有16种方法.D.甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡,四人互送贺卡,每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡,有9种不同的方法.10.甲学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（）A.若任意选择三门课程，则有C：种选法B.若物理和化学至少选一门，则有C；C；种选法C.若物理和历史不能同时选，则有（C：-C；）种选法
5、D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则有（CCj-C；）种选法11.在中共二十大代表“燃灯校长”张桂梅老师的不懈努力下，云南华坪山区的2000多名女孩圆了大学梦，她扎根基层教育默默奉献的精神感动了无数人.受她的影响，有甲，乙，丙，丁四名志愿者主动到A,B,C三所山区学校参加支教活动，要求每个学校至少安排一名志愿者，下列结论正确的是（）A.共有18种安排方法B.若甲、乙被安排在同一所学校，则有6种安排C.若A学校需要两名志愿者，则有24种安排方法D.若甲被安排在A学校，则有12安排方法12.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法
6、错误的是().A.若任意选择三门课程，则选法总数为A；B.若物理和化学至少选一门，则选法总数为C；C；C.若物理和历史不能同时选，则选法总数为C；-C；D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为C；C；-C；三、填空题13 .二项式(3x-LJ的展开式中所有二项式系数之和为64,则二项式的展开式中常数项为.14 .有四位学生参加三项竞赛,要求每位学生必须参加其中一项竞赛,有种参赛情况.15 .将2名教师、4名学生分成2组,分别安排到甲、乙两个基地实习,要求每组有1名教师和2名学生,则不同的安排方法有种16 .2023年春节期间,电影院上映流浪地球2潢江红熊出没伴我“熊芯”等
7、多部电影,某居委会有6张不同的电影票,奖励给甲,乙,丙三户“五好文明家庭”,其中一户1张,一户2张,一户3张,则共有种不同的分法.四、解答题17 .把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.(1)45312是这个数列的第几项？(2)这个数列的第71项是多少？(3)求这个数列的各项和.18.设集合M=-3,-2,-1,0,1,2,P()是坐标平面上的点，a,bwM.(1) P可以表示多少个平面上不同的点？(2) P可以表示多少个第二象限的点？(3) P可以表示多少个不在直线y=x上的点？19 .在(*+2x)的二项展开式中，(1)若=7,且第3项
8、与第6项相等，求实数X值；(2)若第5项系数是第3项系数的10倍，求的值.20 .7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在正中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任选6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮.21 .规定*Xd)-B,其中R,机N,且C；=l,这是组合数mC7(z,mN,且加)的一种推广.(1)求Cl的值.(2)组合数具有两个性质：c=c;G+C7=c;这两个性质是否都能推广到Cf(xR,机N)?若能，请写出推广的形式并给出证明；若不能，请说明理由.22.对于给定的奇数九(m3),设A是由mxm个数
9、组成的加行团列的数表，数表中第，行，第/列的数为0,l,记c(i)为4的第i行所有数之和，”力为A的第/列所有数之和，其中i,l,2,机.对于1,2,6,若Ma厂C(U5且团同时成立，则称数对&力为数表A的一个“好位置”1.直接写出右面所给的3x3数表A的所有的“好位置”；2 .当初=5时，若对任意的li5都有c(i)3成立，求数表4中的“好位置”个数的最小值;3 .求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2机一2.参考答案1 .答案：C解析：任取三个点有C：2种,其中三点共线的有3C；种,故能构成三角形C：2-3C；=190个,故选：C.2 .答案：C解析：8步走完楼梯,走8步走一个台阶,有
10、1种；7步走完楼梯,走1步两个台阶6步一个台阶,有C=7种；6步走完楼梯,走2步两个台阶4步一个台阶,有=15种；5步走完楼梯,走3步两个台阶2步一个台阶,有C；=10种；4步走完楼梯,走4步两个台阶,有1种，共计34种.故选：C.3 .答案：C解析：一共有7个数字,且其中有两个相同的数字L这7个数字按题意随机排列,可以得到勺=2520个不同的数字.当前两位数字为U或12时,得到的数字不大于3.14当前两位数字为11或12时,共可以得到28=240个不同的数字，则大于3.14的不同数字的个数为2520-240=2280故选:C4 .答案：D解析：甲乙两车停泊在同一排,丙、丁两车停泊在同一排时,
11、2A1A；种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排,另一辆单独一排,2人；小：小；种方案，所以共有2A；A；+2A；A：A；=672种方案.故选：D.5 .答案：B解析：按两个班共选择活动项数进行分类：第一类：两个班共选择2项活动，上午选两项活动安排给甲、乙，下午将这两项活动交换给甲、乙，则有A；=42种方法；第二类：两个班共选择3项活动，上午选两项活动安排给甲、乙，然后在其中选一个活动并在下午将其安排给上午没有安排该活动的班级，另一个班再从余下的5项活动中选1项，则有A；C；C=420种方法；第三类：两个班共选择4项活动，则有A；=840种方法.故活动安排方案的种数为42+420+840=1
12、302.故选B.6 .答案：B解析：试题分析:根据题意,按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论,甲乙一起参加除了开车的三项工作之一,甲乙不同时参加一项工作;分别由排列,组合公式计算其情况数乱进而由分类计数的加法公式,计算可得答案.根据题意,分情况讨论,甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:C3xA33=l8种；甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况；丙,丁,戊三人中有两人承担同一份工作,有A32C32A22=3232=36种；甲或乙与丙,丁,戊三人中的一人承担同一份工作:A32C3,C2,A22=72种；由分类计数原理,可得共有18+36+72=126种，故选B.考点:排列,组合的实际应用.7
13、 .答案：D解析：分两种情况讨论即可：和涂同种颜色时，从开始涂,有5种涂法,有4种涂法,有1种涂法,有3种涂法,有3种涂法,.此时有54133=180种涂法；(ii)和涂不同种颜色时，从开始涂,有5种涂法,有4种涂法,有3种涂法,有2种涂法,有2种涂法此时有5x4x3x2x2=240种涂法；.总共有180+240=420种涂色方法.故选：D.8 .答案：B解析：第一步：排男生,第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选,第二个男生在第二行有三个位置可选,由于两名男生可以互换,故男生的排法有4x3x2=24种，第二步：排女生,若男生选AF,则女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选
14、择,由于女生可以互换,故女生的排法有2x7=14种，根据分步计数原理,共有24x14=336种，故选：B.9 .答案：BD解析：对于A,第一步先排百位数,有4种排法,第二步排十位数有5种排法,第三步排个位数有5种排法,由分步乘法计数原理可得共有4x5?=100个不同的三位数，A错误；对于B,第一步,每个班先各分一个团员指标,有一种方法,第二步,再将余下7个团员指标排成一排,7个指标之间有6个空,用2块隔板插入其中的两个空,每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班,每班至少一个指标的分配方法,故第二步有C：=15种方法,由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种,B正确；对于C,因为借回至
15、少1本的反面为1本都不借,又小明所有的借书方法数为2,种,所以借回至少1本的方法数为247=15种C错误；对于D,第一步甲先拿贺卡,有3种方法,第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿,有3种方法，第三步余下两人拿贺卡,由于其中一人不能拿自己的贺卡,故只有一种方法,由分步乘法计数原理可得共3x3=9种方法,D正确；故选：BD.10 .答案：AC解析：对于A,从六门课程中选三门，共有C：种选法，故A正确；对于B,只选择物理、化学中的一门、除物理、化学之外的其他课程中任选两门，有C；C：种选法；物理、化学都选，其他课程中任选一门，有C；C；种选法.因此，共有（C；C：+C沮）种选法，故B错误；对于C,六门课
16、程中任选三门有C：种选法，物理、历史同时选有C：种选法，则物理和历史不能同时选有（C-C）种选法，故C正确；对于D,应分三种情况：只选物理且物理和历史不同时选，有C；种选法；只选化学，不选物理，有C：种选法；若物理与化学都选，则有C；种选法.故共有（C；+C；+C）种选法，故D错误.故选AC.11 .答案：BD解析：所有安排方法有CjA；=36,A错误；若甲、乙被安排在同一所学校，则有C；A；=6种安排方法，B正确；若A学校需要两名志愿者，则有C；A；=12种安排方法，C错误；若甲被安排在A学校，则有C；A；+C；A；=6+6=12种安排方法，D正确.12 .答案：ABD解析：对于A,若任意选
17、择三门课程，则选法总数为C；,错误；对于B,若物理和化学只选一门，则有C；种方法，其余两门从剩余的五门中选，有C；种方法，选法总数为GC；;若物理和化学都选，则有C；种方法，剩下的一门从剩余的五门中选，有C；种方法，选法总数为C；C；;由分类加法计数原理知，选法总数为C；C；+C；C)错误；对于C,若物理和历史同时选，有c；c种方法，则物理和历史不能同时选，采用排除法，选法总数为cCC=cc正确；对于D,有三种情况只选物理且物理和历史不同时选，则有C；C：种方法；只选化学不选物理，则有C：C；种方法；物理化学都选且物理和历史不同时选，则有C；C；种方法选法；由分类加法计数原理知，选法总数为C；
18、C：+C：C；+C；C；=6+10+4=20,错误；故选：ABD13 .答案：-540解析：由二项式J的展开式中所有二项式系数之和为64,得字=64,即=6.所以小=C3)f卜J)=c*)2-叫令6-2Z=O,得后=3,所以二项式的展开式中常数项为C363.(T)3=540.故答案为：-540.14 .答案：81解析：根据乘法分步原理,每位学生都有三种选择方案,故有3,=81种.故答案为：81.15 .答案：12解析：第一步,为甲地选一名老师,有2种选法；第二步,为甲地选两个学生,有C；=勺9=6种选法；421第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法；故不同的安排方案共有2x6x1=12
19、种.故答案为:12.16 .答案：360解析：从6张电影票中任选1张,有种选法,从余下的5张中任选2张有C种选法,最后余下3张选3张有种选法,由于甲,乙,丙是不同的三户“五好文明家庭”,因此共有C；C；C；A；=360种不同的分法.17 .答案：(1)95(2) 35412(3) 3999960解析：(1)大于45312的数可分为以下两类：第一类，以5开头的五位数有A：个，第二类，以4开头的五位数有45321,.不大于45312的数有=120241=95个，即45312是该数列的第95项.(2)以1开头的五位数有A：=24个，以2开头的五位数有A：=24个，以3开头的五位数有A：=24个，共有
20、24x3=72个，所以第71项是以3开头的五位数中第二大的数，即35412.(3)因为1,2,3,4,5分别在万位上时都有A：=24个五位数，所以万位上的数字之和为(l+2+3+4+5)xA：,同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有A：=24个五位数，所以这个数列的各项和为（l+2+3+4+5）A（104+103102+10,+100）=1524l1111=3999960.18 、（1）答案：36解析：（1）分两步：第一步确定小有6种方法；第二步确定力，也有6种方法.根据分步计数原理，共有6x6=36个平面上不同的点.（2）答案：6解析：分两步：第一步确定小只能从-3,-2,-1中选，有3
21、种方法；第二步确定儿只能从1,2中选，有2种方法.根据分步计数原理，得共有3x2=6个第二象限的点.（3）答案：30解析：分两步：第一步确定小从集合M中的6个元素中任选一个，有6种方法；第二步确定也从剩下的5个元素中任选一个，有5种方法.根据分步计数原理得，不在直线y=x上的点共有6x5=30个.19 .答案：（1）支2（2）8解析：（1）当=7时，可得（4+2x）展开式的通项&=a（二产.（24=2,GE*,X令=2,可得（=22C*8,令-5,可得（=25C,因为第3项与第6项相等，可得22C/=25C江，解得X=亚.2（2）由二项式（9+2Xj展开式的通项&=C：（产（24=2C5,可展
22、开式中第5项的系数为24C,第3项的系数为22C3因为第5项系数是第3项系数的10倍，可得24C=1022C3即2Cj=5C3即2x二（-DS-2）（-3）=$X-D432121可得25-24=0,解得=8或=3（舍去），所以的值为8.20.答案：（1）20种（2）630种解析：（1）第一步，将最高的安排在正中间，只有1种排法；第二步，从剩下的6人中任选3人安排在一侧，有C：种排法;第三步，将剩下的3人安排在另一侧，只有1种排法.所以共有C：=20种不同的排法.第一步，从7人中选6人，有C；种选法；第二步，从6人中选2人安排在第一列，有C京种排法；第三步，从剩下的4人中选2人安排在第二列，有C
23、；种排法;第四步，将剩下的2人安排在第三列，只有1种排法.故共有CXCjXGXl=630种不同的排法.21、（1）答案：-84解析：由题意得C=(-7)x(-8)x(-9)843!（2）答案：性质不能推广，性质能推广解析：性质不能推广，如当R=应时，Ch有意义，但CWT无意义.性质能推广，它的推广形式是c；+Crl=C7T（xR,帆N）.证明如下:当机=0时，有C?+C：=1+l=C幻；当相1时，有c：+CrlX(X-I)x-m-V)x(x-l)(x-2)x-m)=1m(w+l)!_x(x-l)(x-w+l)X-mlm+)_(x+l)x(x-l)(x-m+)(h+1)!-J+1综上，性质的推广
24、得证.22.答案：1.“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)2 .因为对于任意的i=1,2,3,4,5,c(i)3;所以当4=1时，5-c(i)5-3；因此若(i,7)为“好位置”，则必有qj=l,且5/)5，即r()3设数表中共有(15)个1,其中有f列中含1的个数不少于3,则有5T列中含1的个数不多于2,所以5f+2(5-f)15,r,因为f为自然数，所以/的最小值为2因此该数表中值为1,且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3x2=6所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个而下面的5x5数表显然符合题意I11OO111OO11O1O11OO11OO11此数表
25、的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为93 .当(i,j)为“好位置”时，且=1时，则有ITn-Ca)|，22注意到小为奇数，Ca)n*,所以有c(i)竺比同理得到“)等当G/)为“好位置”，且=o时,则Im-c(i)|,则必有c(i)，2221注意到加为奇数，c(Z)N所以有Ca)2t111同理得到)-/因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数,所以不妨设Ca),。，”,Ca),p+imr(7)-,0rO)-y-,+lyW其中Op,q机，p,qsN则数表A可以分成如下四个子表其中Al是P行q列，4是P行2-4列，4是初一P行q列，Al是加一P行w
26、-q列设A，A2,4,中1的个数分别为X,X2,4则A,A2,A4中0的个数分别为p4-x,qQ-P)-X2,p(fn-q)-x3,(fn-p)(m-q)-x4则数表A中好位置的个数为x1+(in-p)m-4)-七个H、，+1/,、n-rx1+x3?2，X3+%K(ZWLg)X2的Z、w+1z、w-1所以X-X4p(tn-q)所以X+(zn-p)m-q)-x4-x4(n-p)(m-q)+p-(m-q)H/、/、+1/、w-lf0(2-p)(m-q)+pX(7-q)-2m+,、tn-=w-Pm-qm+网+px(fn-q)-/W-1m+1m+m=p-q-y+网+-za11+1zZW-Lnr1m2+m=(P)(夕)+2242,m+Lzfn-Lm2+2/n+1=(P-)(7-)-显然当（P-呼）（9-等）取得最小值时，上式取得最小值,因为O+1）X；1，所以q至少为2llrn,z机+I、，加一1、m2+2m+此时(-q-)+-= 2m-团+1、,C加一1、m2+2n+(m)(2-)-224当P=AW-I时，数表A中至少含有(2-1)、一个1而(m-l)竽所以夕至少为1ll,z加+1、/n-lxn2+2/n1此时(P-q-)+-wlZW-Iw2+2w+1(W-I)一一(1):=2m-2224下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为2m-2解析:
