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1、1 .设计目的小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性，因此在图像处理中具有极好应用价值。与FOUrier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了FoUrier变换不能解决的许多困难问题。本设计主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术，并运用Matlab软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息，到达对图像进行压缩的目的。分别作第一层分解和第二层分解，并比
2、拟图像压缩的效果。2 .设计要求利用小波变换的根本原理在MATLAB环境下编写程序对静态图像处理并观察分析其处理效果，通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了FOUrier变换不能解决的许多困难问题。并运用Matlab软件对图像进行分解，然后提取其中与原图像近似的低频信息，到达对图像进行压缩的目的。分别作第一层分解和第二层分解，并比拟图像压缩的效果。3 .设计原理3.1 小波变换的分解算法小波是函数空间乙2(R)中满足下述条件的一个函数或者信号(X)这里，R=R-0表示非零实数f(X)12C=-dJ町IGl全体。对于任意的函数或者信号/(X),其小波变换定义为W/3向
3、=3/)公=册L因此，对任意的函数/(幻，它的小波变换时一个二元函数。另所谓多分辨分析是指设丫:；Z是2(R)上的一列闭子空间，其中的一函数，如果它们满足如下五个条件，即(1)单调性：y.y.+1,vz;(2)唯一性：/y.=0:用Z(3)稠密性：YV=C(R);6zj(4)伸缩性：/(x)y./(2x)V1,Z;(5)RieSZ基存在性：存在eQ)Vr0,使得。(%-)；Z构成丫；的RieSZ基。称e(f)为尺度函数。那么称VjJ*z,以。是/(R)上的一个多分辨分析。假设定义函数夕。)=25。(2工)，vcz,那么由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族。/无)=25奴2);wz
4、)是空间Vi的标准正交基。关于多分辨分析，在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图2.1所示(A表示低频，D表示高频)。小波分解法从图中可以明显看出，多分辨分析只是对低频局部进行进一步分解，而高频局部那么不予考虑。分解具有关系S=Aa+3+Z+EV另外强调一点，这里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步分解，那么可以把低频局部分解成低频局部和高频局部，以下再分解，依次类推。在理解多分辨分析时，必须牢牢把握一点，即分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近空间的正交小波基，这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。从图2.1可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步
5、的分解，使频率的分辨率变得越来越高。3.2小波变换的重构算法设./J、=/(i=l,2,3)是由两个一元两尺度序列得到的二元尺度序列，即I2I12212312pl.j=plp/PQ=Pjq那么有重构算法为(3jj、Ck+,n,mPtt-2l.m=2jC：/J+n-2l.-2jdkl,j1.i/=1小波重构的数据传递示意图如下图小波变换在图像压缩中的应用二维离散小波变换后的系数分布Sj(J2,m)w(2n),w4(j2,m),w;(j2,m)zz构J-J1(M.m)一成了信号f(x,y)的二维正交小波分解系数(如下图)，S3W33W：*W；W：W：二维正交小波分解系数它们每一个都可被看做一幅图像
6、，Wjj(,“)给出了/(x,y)垂直方向的高频分量的小波分解系数，给出了/(x,y)水平方向的高频分量的小波分解系数，给出了/(x,y)对角方向高频分量的小波分解系数，S给出了/(x,y)的低频分量的小波分解系数。由此可见，假设用S,，W：，WfW：分别表示SJ(，机)，W)(,M，卬(,经2：1亚抽样后的变换系数(简称为子图像)，那么任一图像都可以分解为j=-J,，之间的3j+个离散子图像：s,，w；,y2jfw：其中S是原图像的一个近似，W；(i=L2,3；F-J,，-1)那么是图像在不同方向、不同分辨率下的细节；如果原图像有N2个像素，那么子图像s,，W：，w：，W：分别有2N个像素，
7、因而分解后总的像素数NT为2Vr=47y34,W2=TV2/=-1可见，分解后总的像素数不变。二维数字信号也即数字图像，对它的处理时基于图像的数字化来实现的。图像的书画结果就是一个巨大数字矩阵，图像处理就在这个矩阵上完成。所以，可将二维数字信号VC*tnn看做So(%zw),即d；S)/(几=f(%y)。()(-乂-丁)(，加)=于O,y)0(%-y-ni)dxdyTV并采用与一维情况类似的mallat算法。由于两次一维小波变换来实现一次二维小波变换，所以先对该矩阵的行进行小波变换，再对列进行小波变换。从信号滤波的角度实现二维小波变换的框图分别如图3.4所示。4.设计内容4.1 代码下面的实例
8、是基于二维小波分析对图像进行压缩。一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像,不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的。高分辨率(即高频)子图像上大局部点都接近于0,越是高频这种现象越明显。对一个图像来说，表现一个图像最主要的局部是低频局部，所以一个最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像的高频局部而只保存低频局部。clearalla=imread(,D:2.JPEG,);外读取图片figure;imshow(a)X=rgb2gray(a);subplot(221);image(X);colormap(gray(256);title(,原始图像)；axissquare;c,s=wave
9、dec2(X,2,bior3.7,);cal=appcoef2(c,s,bior3.7,1);chl-detcoef2(,h,c,s,1);cvl=detcoef2(v,c,s,1);cdl=detcoef2(,d,c,s,1);al=wrcoef2(a,c,s,bior3.7,1);hl=wrcoef2(,h,c,s,bior3.7,1);vl=wrcoef2(,v,c,s,bior3.7,1);cll=wrcoef2(,d,c,s,bior3.7,1);cl=al,hl;vl,dl;subplot(222);image(cl);axissquaretitle(,分解后低频和高频信息);ca
10、l-appcoef2(c,s,bior3.7,1);Cal=Wcodemat(cal,440,mat,0);cal=0.5*cal;subplot(223);image(cal);colormap(gray(256);title(第一次压缩图像)；axissquareca2=appcoef2(c,s,bior3.7,2);ca2=wcodemat(ca2,440,mat,0);ca2=0.25*ca2;subplot(224);image(ca2);coIormap(gray(256);axissquare;title(第二次压缩图像);4.2.仿真结果4.3结果分析从图中可以看出，第一次压缩
11、我们是提取原始图像中小波分解第一层的低频信息，此时压缩效果较好，压缩比拟小（约为1/3）；第二次压缩是提取第一层分解低频局部的低频局部（即小波分解第二层的低频局部），其压缩比比拟大（1/12）,压缩效果在视觉上也根本过得去，它不需要经过其它处理即可获得较好的压缩效果。结束语这次设计利用小波变换完成了对静态图像进行压缩的目的，根本上实现了设计的要求,在这里对老师的指导和帮助表示感谢。图像压缩是一个很有开展前途的研究领域，它的研究就是寻找高压缩比的方法且压缩后的图像要有适宜的信噪比，在压缩传输后还要恢复原信号，且在压缩、传输、恢复的过程中，还要求图像的失真度小。而将小波分析引入图像压缩的研究范畴，
12、当一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不相同的.高分辨率子图像上大局部点的数值都接近0,越高就越明显。而对于一个图像来说，表现一个图像的最主要局部是低频局部。而且小波分析能使压缩比高、压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征根本不变。在数字图像处理中具有很强的使用价值。参考文献1阮秋琦.数字图像处理学M.北京：电子工业出版社，2001.2龚声蓉，刘纯平，王强等.数字图像处理与分析M.北京：清华大学出版社，2006.3贾永红.计算机图像处理与分析M.武汉：武汉大学出版社，2001.4陈桂明.应用MATLAB语言处理数字信号与图像处理M.北京：科学出版社，2000.5夏德深，傅德胜.计算机图像处理及应用M.南京：东南大学出版社，2004.6姚敏.计算机图像处理M.北京：机械工业出版社，2006.7容观澳.计算机图像处理M.北京：清华大学出版社，2000.8吴健康.数字图像分析M.北京：邮电出版社，数字.
