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1、【专题三】转化与化归思想常见的转化方法有:(I)直接转化法:把原问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题;(2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的根本问题;(3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化;(4)构造法:“构造”一个适宜的数学模型,把问题变为易于解决的问题;(5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径;(6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径;(7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题;(8)一般化方法:假设原问题是某个一般化形式问
2、题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化;(9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,到达转化目的;(10)补集法:(正难那么反)假设过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集CtzA获得原问题的解决。【考点例析】题型1:集合问题例1.设平面点集A=(x,y)(y-x)(y-)0、B=(x,y)(x-iy+(y-l)2l,那么AB所表示的平面图形的面积为()(八)-(B)-(C)-(D)-4572y-x0fy-xO解析:D:由(yx)(y-L)O可知11或者11,在同一坐标系中做出平面区域Xy一0
3、Iy0.XIX如图:由图象可知AnB的区域为阴影局部,根据对称性可知,两局部阴影面积之和为圆面积的一半,所TT以面积为一,选D.2函数/(%)=4-2(P-2)%-2p2-p+,在区间TJ上至少存在一个实数C使f(c)o,求实数P的取值范围.分析:运用补集概念求解O解答:设所求P的范围为A,那么ca=M在TJ上函物(X)=42-2(p-2)x-2p2_p+1O注意到函数的图象开口向上;C1AA = P -3P =|(D=-2p(2)解析:当M0时,集合A是以(2, 0)为圆心,以Iml为半径的圆,集合B是在两条平行线之间: 2777 1,y/2,j=- + m = (l-2)n + 22-3p
4、+90=1 -21og6x0x0 xO10g6J lx62=60Xy 点评:函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式;还有函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.题型3:不等式问题例3.(1)不等式士L0的解集为()2x+l解析:A;原不等式等价于(x-l)(2x+l)Vo或x-l=0,即一LVXCI或=1,所以不等式的2解为一L0 ,因为Ac8。,此时无解;当机0时,集合A是以B=
5、(x,y)2mx+y2m9x9yER,假设4c80,那么实数m的取值范围是2, 0)为圆心,以集合B是在两条平行线之间,必有:.-m2+1.又因为四112,.!/2+10222【温馨提示】此题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用别离变量转化为最值的方法求解。构造函数解题是数学中的常用方法,通过巧妙地构造辅助函数,把原来的问题转化为研究辅助函数的性质,从而到达解题目的。(3)某公司生产甲、乙两种桶装产品。生产甲产品1桶需耗A原料1千克、8原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克,B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的方案中,要
6、求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产方案,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是()A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元x+2y22x+y12解析:C;设生产X桶甲产品,y桶乙产品,总利润为Z,那么约束条件为0,目标函70数为 Z = 300x + 400y:M时Z有最大值,联立方程组J 得M(4,4),代入目标函数得z = 2800,应选C.2x+y = 12评析:将最大值转化为y轴上的截距,将m等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选C,此题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题。题型4,三角问题
7、4.(1)在A8C中,假设sin?A+siMBvs/c,那么A8C的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定解析:C;根据正弦定理可知由sinZA+s/Bvsin?。,可知/+o20,那么/()在(屈,+8)上是单调递增,在nn(0,后)上是递减的,因为nN,所以当n=5或6时/()有最小值。又因为g二炉,,所以,%的最小值为B=点评:数列是一种特殊的函数,动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数。如等差数列q的通项公式a“=6+(-l)d=办+(卬-d),前n项的和公式S叫+(T)d=2+()。当dw时,可以看作自
8、变量n的一次和二次函数。因此222利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解,也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。题型6:立体几何问题例6.如果,三棱锥P-ABC中,PA_LBC,PA=BC=LPA,BC的公垂线ED=h.求p证三棱锥P-ABC的体积V=l2hoX分析:如视P为顶点,AABC为底面,那么无论是Sabc以及高h都不好求.如Jr:果观察图形,换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,那么可走出困,ft*/X境.解析:如图,连结EB,EC,由PABC,PA_LED,EDBC=E,可得PA_1面ECD.这样,截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以E
9、CD为底面,以PE、AE为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=L所以IQIGICVpABC=VpECVaECD=-SecdAE+-SecdPE=-SecdPA33311z1f2z=-BCEDPA=V=-l2h.326点评:辅助截面ECD的添设使问题转化为问题迎刃而解。题型力解析几何问题例7.(1)设x、yWR且32+2y2=6x,求x+y2的范围。分析:设k=2+y2,再代入消去y,转化为关于X的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件,即X的范围。解析:由6-32=2y2)得0x2设k=x?+y2,那么y2=kxz,代入等式得:X26x2k=0,即k=一
10、二x?+3x,其对称轴为=32由0x2得k0,4所以2+y2的范围是:02+y24o另解:数形结合法(转化为解析几何问题):v2由3x?+2y2=6x得(X1)2+丁=1,即表示如下图椭圆,其一个顶点在坐标原点。x?+y?的范2围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为2+y2=k,代入椭圆中消y得2-6x+2k=00由判别式A=36-8k=0得k=4,所以2+y2的范围是:ow2+y2*再解:三角换元法,对式和待求式都可以进行三角换元转化为三角问题):2PC-I=COSa由32+2y2=6x得(X1)2+g=1,设,
11、娓,那么_y=sincr222223231Xy=12cosacosa-sina=1-2cosa-222125cos2cos-0,4所以2+y2的范围是:0x2+y2,那么下面结论正确的选项是()(八)a/b(B)Z(C)a=b(D)a+b=a-b解析:B;法一、由4+b=一例,平方可得“b=O,所以。_Lb,应选B法二、根据向量加法、减法的几何意义可知M+b与分别为以向量m。为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为M+=-M,所以该平行四边形为矩形,所以。_Lb,应选B点评:此题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题。解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的
12、几何意义来解。这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多,如归纳、猜测、证明的方法,过定点问题,定值问题也可以用这样的思路。题型S:具体、抽象问题例8.假设f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程xfg(x)=0有实数解,那么gf(x)不可能是()(八)x2-l(B)x2+xl(C)x2-l(D)X2+15555分析:此题直接解不容易,不妨令f(x)=X,那么fg(x)=g(x),gf(x)=g(x),Xfg(X)=0有实数解即x-g(x)=0有实数解。这样很明显得出结论,B使xg(x)=0没有实数解,选B这种从抽象到具体再到抽象,使学生从心理上感到非常轻松,象这样常见抽象函数式还
13、有一次函数型f(x+y)=f(x)+f(y)+m,对数函数型f(Xy)=f(x)+f(y),鼎函数型f(xy)=f(x)f(y)o点评:把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象语言与具体事物间建立联系,从而实现抽象向具体的化归。题型正难那么反转化问题例9.1/0,且工+),2.试证:虫,3中至少有一个小于2.点评:一些数学问题,如果从条件出发,正面考虑较难较繁,不妨调整思考方向,从问题的结论入手,或从问题的条件与结论的反面入手进行思考,迂回地得到解题思路,这叫做“正难那么反”。“正难那么反”是一种重要的解题策略,灵活用之,能使许多难题、趣题和生活中的问
14、题获得巧解。题型10:实际应用问题例10.把一块钢板冲成上面是半圆形,下面是矩形的零件,其周长是P,怎样设计才能使冲成的零件面积最大?并求出它的最大面积。分析:这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。解析:如图,设矩形的一边长为X,那么半圆的周长为:/矩形的另一边长为4g=g(P_1_,)=2P(;+2)xa/_a-_JD设零件的面积为S,那么1 2S=- x +x2 42P-( + 2)x + 4 2=厂b2PPVa0,那么实数P的取值范围为.7 .数列“”对任意的p,9Z满足他+9=0)+他且02=6,那么。Io=.8 .函数/(x)=(4-3)x+b-2,%e0,l,假设/(x)
15、2恒成立,那么+匕的最大值为.9 .aa2a3O,那么使得(1一3yVIa=I,2,3)都成立的X的取值范围是.10 .数列一1,0,,一4成等差数列,一1,6,历,历,一4成等比数列,那么石产的值为.11 .在MBC中,NA,NB,Ne所对的边分别是,b,c,且BC边上的高为华,那么的最大值为12 .假设Kr)是定义在R上的函数,对任意实数X都有於+3)(x)+3和y(x+2)习(x)+2,且/U)=l,那么贝2012)=.13 .设y是定义在R上的单调增函数,假设川一办一)N24)对任意4H-11恒成立,求X的取值范围.A=xx2-4nx+2m+6=0,XeR,假设4nR,0,求实数机的取
16、值范围(R-负实数集).15.奇函数KX)的定义域为实数集R,且Ar)在0,+oo)上是增函数,当。竭时,是否存在这样的实数n,使犬(:0203)+大4阳一2阳85,)次0)对所有的,0,胃均成立?假设存在,求出所有适合条件的实数用;假设不存在,请说明理由.【参考答案】5. 346.(-3, |)11. 412. 2 0121.52.1,23.na4坐17217.308彳9.(0,)10.213 .解:/(x)在R上是增函数,由7(1一以一f)勺(20)可得1o-x2W2-,1,1.(x-l)+x2+l0,对1,1恒成立.令g()=-l)+x2+1.那么当且仅当g(1)=x2-x+20,g(l
17、)=f+X20,解得XNo或xW1.故实数X的取值范围为xW1或x20.14 .解:设全集(/=必=16628团一2420)=词/后-1或加2务.mUy方程-4nr+2w+6=0的两根均非负的充要条件是卡机20,可得zw号.2m+620,AR-=0时,实数机的取值范围为厮2|1.4010.又由於)为奇函数,可得7(cos203)fi2mcos-4m).7(x)在R上为增函数,:、cos2032zncos4m,即COS2,-ZMCOS9+2n20.令cos,=/,V00恒成立.*t22m(t-2),即用不下恒成立.产一22又二五=。-2)+右+4W4-2啦,/.rn4-2y2,存在实数机满足题设的条件,且相4-2