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1、第2讲等差数列及其前项和【2013年高考会这样考】1 .考查运用根本量法求解等差数列的根本量问题.2 .考查等差数列的性质、前项和公式及综合应用.【复习指导】1 .掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前项和公式等.2 .掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法.根底梳理1 .等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于回二仝赏数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母4表示.2 .等差数列的通项公式假设等差数列&的首项是公差是&那么其通项公式为&=&+(-Dd3 .等差中项且+b如果力=F那么叫做a与6的等差中项.4 .等差数列的常用性质(1)
2、通项公式的推广：&=%+公一勿)d5,7Nx).假设为等差数列，且加=o+q,那么&+”=丛+&(%,n,p,0，d0,那么差存在最小值.一个推导利用倒序相加法推导笠差数列的前，项和公式工.5=团+念+&+区,=.-!二二.?得工&亍Tt两个技巧三个或四个数组成笠差数列的二类问题夏普王设元.假设直数个数成笠差数列且和为.定值时？亘设为二.，且二2&.以二.3，目土心且2&.二二.假设偶数个数成笠差数列且和为定值时.，可.设为D二窕，且二九旦&盘3九二工.其余各项要依据笠差数列的定义进任对称设元J四种方法笠差数列的判断方法一定义法：对王”会2的任意自然数，验证自二盟!为何二常数“.(2)等差中项
3、法：验证2&一|=a+&-2(23,I(T)都成立；(3)通项公式法：验证a0=+o；前项和公式法：验证Sn=AnBn.迂卮两种一方法区能用来判断是查为笠差数列.，血丕能用来证明笠差数列入课堂自测1 .(人教A版教材习题改编)a为等差数列，%+金=12,那么全等于().,4B.5C.6D.7解析选+徐=2冼，a=6.答案C2 .设数列&是等差数列，其前项和为S,假设a=2且&=30,那么S等于().A.31B.32C.33D.34解析由可得a5=2, .5a110=30,f 26国=T 解得Vd=87，&=8&+ 72 d=32.答案 B3 .(2011江西)数列a的前项和S满足：S+S=S1
4、+s,且aa11)=().A.1B.9C.10D.55解析由S+S=S+a,得S+S=So=&D=So-S-S-L1.答案A4 .(2012杭州)设S是等差数列W的前项和，a=3,a=ll,那么S等于().A.13B.35C.49D.637aI&解析Va1+a7=a-3+ll=14,.S=初尸一=49.答案C5.在等差数列a中，a3=lt全=在+6,那么a=_.解析设公差为d那么会一色=3仁6,a=a3+3d=7+6=13.答案13考向一等差数列根本量的计算【例1】“2011福建)在等差数列&中，囱=1,&=3.求数列&的通项公式；假设数列&的前项和=35,求女的值.审题视点第(1)问，求公差
5、雄第(2)问，由(1)求S,列方程可求上解(1)设等差数列(为的公差为&那么a=8+(-Dd由&=1,&=-3可得l+2d=-3.解得=-2.从而，&=1+(-1)X(2)=32.(2)由(1)可知a=3-21.LII/?1+322所以SrI=2=2nn.进而由Sk=-35可得2k#=35.即发一235=0,解得A=7或A=-5.又AN*,故A=7为所求.方法总结等差数列的通项公式及前项和公式中,共涉及五个量，知三可求二，如果两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质、几何意义去考虑也可以.表达了用方程思想解决问题的方法.【训练1】(2011湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一一根
6、9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么第5节的容积为升.考向二等差数列的判定或证明例2A数歹IJ为的前项和为S且满足品+2S-I=O(-2),c?i=.(1)求证：是等差数列；审题视点(1)化简所给式子，然后利用定义证明.根据S与a之间关系求为.(1)证明&=S-Si(22),又a=-2SS1f,* Sn-L Sn=2SnSn-ifSW0,*rN=2(22).由等差数列的定义知得是吗=B为首项，以2为公差的等差数列方法总结等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前项和公式法主要适合在选择题中简单判断.【训练2】数列a的前
7、项和S是的二次函数，且a=2,&=2,S=6.求S;证明：数列a是等差数列.考向三等差数列前项和的最值【例3】A设等差数列&满足&=5,a10=-9.求a的通项公式：求晶的前项和S及使得S最大的序号的值.审题视点第(1)问：列方程组求功与&第(2)问：由(1)写出前项和公式，利用函数思想解决.解(D由&=金+(-1)d及a=5,&0=-9得a + 2d=5, a+9c= 9可解得4=9, d= 12.数列af的通项公式为an=2n.,.,.nn1,(2)由(1)知，Sn=na+d=1On-n.因为S=一(“-5)2+25,所以当=5时，S取得最大值.方法总结求等差数列前项和的最值,常用的方法：
8、(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值.(2)利用等差数列的前项和S=M?+胡(4、8为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值.【训练3】在等差数列&中，a1=20,前项和为S,且SO=S5,求当取何值时，S取得最大值，并求出它的最大值.考向四等差数列性质的应用【例4】设等差数列的前项和为S,前6项和为36,S=324,最后6项的和为18S6),求数列的项数n.审题视点在等差数列4中，假设z+7=0+g,那么&+a=&+&(/，,p,QWM)用此性质可优化解题过程.解由题意可知团+愚+a=364+a-】+4-2+&-5=180+得(&+&)+(a+a-)+(a
9、+&-5)=6(囱+&)=216.*.a+aflSl=324,18/7=324.结合在方塞助此题的解题关键是将性质/=+WN*)nal(q=1)3 .前n项和S“=0应1或q0,041时,等比数列凡为递增数列(an+l-an=alqnl(q-)a0,0夕0=zz5,至少经过5年。三、课堂小结1 .等比数列的定义、通项、中项、求和；2 .方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想；3 .适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度。四、课后作业相约在高校高三数学数列局部复习专题一.教学目的：1 .数列局部方法与技巧解析2 .数列局部易错题剖析二.知识分析(一)方法技巧方法一：通项常见的求法
10、。1 .观察法例1.写出以下数列的一个通项公式，使它的前几项分别是以下各数:fl.24681091733IlJ,9；-,y-,9;3153563993356399(3) 1,0,-,0,-,0-,0,(4)7,77,777,7777,：357(5)L3,6,10,15,；(6)a,b,a,b,。解析：an =2n(2n-1)(2n + l)(2)数列的前5项可改写为:9173313,35,57,79,9112n+1an=(-l)=-!-!-(2n-l)(2n+1)(3)原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，打9,二19,9,分母依次为1,2,3,4,123456分子为1,0,-1,0,呈周
11、期性变化，可以用Sin色乃表示，当然也可以用COS心4表示。22.nn-1sincosa11=sEan=2(5)由观察可知，a1=l,a2=l+2,a3=l+23,a4=l2+3+4,a5=1+2+3+4+5,CCn(n+1).an=1+2+3hFn=2此题亦可这样考虑:a2-a1=2a3a2=3a4-a3=4以上n1个式子左边相加为ara=2+34+n又a=lICCn(n+l)an=1+2+3HFn=2(6)这是摆动数列。要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：,振幅：,用(-I)。或(-1)向去调节，那么所求数列的通项公式也可以用分段函数形式来表示a,n为奇数b,n为偶数2 .累差法例2
12、.数列a#的前几项依次是：6,9,14,21,30,，求其通项公式。解析：Sbn=a+1an,那么有b1=a2-a1=9-6=3b2=a3-a2=149=5b3=a4-a3=21-14=7tn-=an-an-1=2n-l以上各式相加得：CU/ci、(n1)(3+2n1)2an-a=3+5+(2n1)=n2-1Xa1=6.*.an=a+n2-l=n2+53 .待定系数法例3.an为等差数列,a2=3,a6=23,求an。解析：aj为等差数列，故可设a11=kn+p又22=3%=233 = 2k + p23 = 6k + pk=5一an=5n-7P=-74 .公式法例4.如果数列a11的前n项和为
13、Sn=Tall-3,求这个数列的通项公式a11。解析：(1)当n=l时，由S-3=a1na=6OQQ当3,ao=Sn-So-l=n-ane=3数列aj当n2时，是以3为公比，以a2=18为首项的等比数列an=a23n,=183n-2=23n(n2)而当n=l时，显然也成立故a”=2311(neN)5 .叠代法例5.an+1=-an,a1=l,求数列a11的通项公式a11。n+1解析：2同=Yrann+1,n1n-1n2n-1n-2n3*an=an-l=Tan-2=7a11-3nnnInnIn2n1n2n311.1nn-1n-22,n,nn方法二：解递推关系式常见方法1.公式法：利用熟知的公式求
14、通项公式的方法称为公式法。常用的公式有an=S11-Se(n2),等差数列和等比数列的通项公式。2,归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这种方法叫做归纳法。3.累加法：利用恒等式a。=a+(a2-a)+(a。-a11.)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an+1=an+f(n)的递推数列通项公式的根本方法(其中数列f(n)可求前n项和)。例2.数列a11中，a=2,an+1=an+2ntnN*,求an。解析(累加法)va11=an+2nan+1-an=2n=2+2+4+6h1-2(n-1)/z、.-1)(2+2n2)an=a1(a2-a1
15、)+(a3-a2)+-+(an-an_1)=2+=n2-n+25.转化法：通过变换递推关系，将非等差(等比)数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：(1)凑配、消项变换一一如将一阶线性递推公式all+=qa11+d(q、d为常数，q0,ql)通过凑配变成az+-L=qfan+/-,或消常数项转化为qIq-Uan+2-an+l=Q(an+1-a11);(2)倒数变换一一如将一阶分式递推公式明”=*(C、d为非零常数)取倒数得a11+d-=(3)对数变换如将一阶递推公式a。+1=ca(a110,c0,p0,pl)取对数a11CanC得lga11+=Plga
16、11+c(4)换元变换一一如将一阶递推公式an+=qa11+dn(q、d为非零常数，ql,dl)变换成111=L+1,令3=屋，那么转化为一阶线性递推公式。dn+,ddnddn例4.数列a11中，a=ban=2an-1+l(n2),求a1,的通项公式。解析：解法一：(转化法)Van=2an-1+lanl=2(an.1+1)又a+l=2故数列a。+1是首项为2,公比为2的等比数列an+1=2n即a11=2n-1解法二转化法),an=2an-1l(1)an+=2an+1(2) (1)得an+an=2一an-Xn-2)故a11+-a11是首项为a?-a=2公比为2的等比数列，即az-a11=2n再用
17、累加法得a。=2l1-1解法四：(迭代法)an=2an-1+l=2(2an-2I)+l=22an-2+2+l=2n,al+2n-2+2+1=2n-1例5.数列a11(nN*)中，a=l,an+l=,求an。l+2a11解析：(倒数变换)van+1=-,两边取倒数，得一!一=-+2A-=21 +2arn+a1all+a11.是公差为2的等差数列，首项-!=1IanJ1-=1+(n1)-2=2n1an1.,.an=n2n-l例6.数列aj满足a=2,ail=az2(n2),求数列a。的通项公式。解析：(对数变换)由题意a】=20,a11=an-12(n2)*a110，Igan=21gan.1lga
18、11是以2为公比的等比数列，首项为Igal=Ig2lgan=2n-lg2=lg22nla=22n方法三：数列求和常见的方法1 .公式法例1.求和：(1) Sn=1+11+1I1+1I1:n个解析：(1)因为(J=l+10+l()2+1Ok=_L(Iok-DW9所以1+11+Jjj1J=!(9+99+999+-+222)9s?FZ=-(10-l)+(102-l)+(10n-1)9(1O+1O2+.+10n)-nl10(10n-1)=-n9910n+,-9n-10-81_乂2右1)+-2(l-n)v211v-2X-1IeX(x2n-l)(x2n+2+l).x2n(-l)当X=1R*,S11=4n2
19、.错位相减法3,裂项相消法求和例工求数列贵百，可.1n(n + 2)的前n项和Sg_31142n+22n+44.并项求和例4.l2-22+32-42+(-l)n1n2解析：当n是偶数时Sn=(12-22)+(32-42)+(n-l)2-n2=-3+7ll+(2n-l)-(3+2n-l)2n(n+1)2当n是奇数时Sn=I2+(-22+32)+(-42+52)+.+-(n-l)2+n2=l+5+9+13+.+(2n-l)-1(5+2n-l)21 (n-l)(n+2)=H2_n(n+1)-2-综上凡=(-1尸丛P5.倒序相加求和课本引例方法四：等差数列的设项(1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：
20、，x-2d,x-d,x,x+d,x+2d,此时公差为d；(2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为，a-3d,a-d,ad,a+3d,此时公差为2d。例：有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16,第二个与第三个数的和为12,求这四个数。解析：设前三个数依次为a-d,a,a+d,那么第四个数为史电-a(a+d)2.I(a-d)H=16aa+(a+d)=12解之得a = 9d = -6所以这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1方法五：等比数列的设项(1)对于连续奇数项的等比数列，通常可设为，之二通,叫,aq2,，此时公比仍为q；qq(2)对于连续偶数项
21、的等比数列，通常可设为，,2,aq,叫工，此时公比为q?。qq例：一个等比数列a11前四项之积为，第二、三项的和为拉，求这个等比数列的公比(其中an0)o解析：设等比数列a#的前四项依次为2,3,aq,aq3qqa4=-(1),那么由得16由得，a=舍去一_L-+aq=2(2)Iq代入(2)并整理，得q2-2j5q+1=0解之得，q=2l故原等比数列的公比为q2=322易错题一：设数列all的前n项和Sll=n2+2n+3(neN*),求数列all的通项公式。解题思路：n=l时，a=S=6o当n2时，an=Sn-Sn_,=(n2+2n+3)-(n-1)2+2(n-1)+3=2n+1因此数列的通
22、项公式为a11=?,01=?2n+l(n2)失分警示：由Sn-SnT求a。时，必须考虑条件：n2,因为n=l时，Sl无意义。数列的通项a1,与前n项和Sn的关系是：an =S1(n = l)Sn-Sn_1(n2)此公式在数列中经常用到，应引起重视。易错题二：等差数列a11,SIl为前n项和，假设工=30,S8=90,求Sl解题思路：Va是等差数列S4,S8-S4,S2-S8也是等差数列。2(S8-S4)=S4+(Si2-S8)即2(90-30)=30+(S12-90)/.S12=180失分警示：由a是等差数列，得出S4、S8、S2也是等差数列是错误的，实际上，假设设公差为d,那么S4=a1+a
23、2+a3a4,S8=a1+a2a3+a8:s8-S4=a5+a6a7+a8,S12=a1+a2+a3+a12*S2-S8=a9+a10aa12：S4,S8-S4,S2-Sg成等差数列，且公差为16do等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即511,5211-511,5311-5211，3为等差数列，公差为id。解题思路:当qwl时，依题意有a.(1 2-q3)-l-q 2易错题三：等差数列a1b11的前n项和分别为Sn和Tn，假设&=独2，那么等于112nb11解之，得q?=J,a=6,综上得a1=T或a=6。失分警示：等比数列前n项和公式中一定要考虑公式适用条件q=l或qrl,否那么导致失误
24、。假设q=l,那么Sn=na;假设ql,那么SlI=巴色二。-qn易错题六：一个数列aj,当n为奇数时，an=5n+l;当n为偶数时，an=22o这个数列的前2m项之和为o答案：S2m=5rn2+rn+2m+1-2解题思路：当n为奇函数时，相邻两项为alj与a。+2由a11=5n+1得a-an=5(n+2)+1-(5n+1)=10,且a=6所以a#中的奇数项构成以a=6为首项，公差d=10的等差数列。n+2-aO2当n为偶数时，相邻两项为a11与a。+2由a。=2?得3比=丁=2,且a,=2所以a。中的偶数项构成以a?=2为首项，公比q=2的等比数列。由此得S2n1=6m+m(m10+2(1-
25、2n)=5m2+m+2m+l-2。2m21-2错因分析：将原数列分成由奇数项和偶数项组成的两个数列来处理的思路是正确的，但如果把奇数项组成的数列的相邻两项认为是a11与a11.,把偶数项组成的数列的首项认为是a,且相邻两项认为是all与a11+,那么会导致错解。答案整a+a2.2ia1_2a11_a1+a22_S2_321+1_32b2b”b1+b21bl+b2lT2122l212错因分析：对等差数列前n项和的结构特征认识模糊，容易导致错误。如设Sn=3n+l,Tll=2n是错误的。易错题四：设等比数列a#的首项为a,公比为a(a0),假设其前10项中最大的项为1024,求a的值。解题思路：aj的通项公式为a0=aL(1)当al时，数列a11为递增数列，所以前10项中第10项为最大，即a=aK)=IO24,，a=2。(2)当0va0那么得出aj为递增数列，从而得到a10=1024,那么会得到错误结论。对含参问题般需要对参数进行分类讨论。O1易错题五：等比数列a4中，a3=,S3=41,求a-解题思路：当q=l时，a=a2=a3此时正好有S3=a+a2+a3=43，适合题意。aq
