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1、第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y与对数函数y=logd(a0,且互为反函数.I知识诊断基础夯实知识梳理1 .对数的概念如果OA=Nm0，且。Wl),那么数X叫做以。为底N的对数，记作X=IogjV,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.2 .对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：*g=N;log,=仇。0,且。21).对数的运算性质如果40且“l,M0,2V0,那么(J)IogMMM=lg
2、M+IogaN; log，W=IogaM-IogJV; IogqM=川OgaMSR).(3)换底公式:Iogab=，段(0,且l,比0,c0,且CW1).10g4，3 .对数函数及其性质(1)概念：函数y=logd30,且Wl)叫做对数函数，其中X是自变量，定义域是(0,+).(2)对数函数的图象与性质aO6Z).y=l,产IogJ性质定义域：(0，+8)值域：R当x=l时，y=0,即过定点(1,0)当x时,y0；当01时，y0:当00在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数4 .反函数指数函数且与对数函数V=IOgaX(0,且l)互为反函数,它们的图象关于直线y三工对称.它们的定义域
3、和值域正好互换.常用结论1 .换底公式的两个重要结论(I)IOg加0,且U;b0,且(2)1OgIOga。0,且aWl；b0;m,nR,且mW0).2 .对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y=l,则该直线与四个函数图象交点的横坐标N:为相应的底数.故OVCVdV1a1时,若IOgHJogfcX,则a0,且Nl)为对数函数，故(2)错误.(4)若O*ll时，logwXlog*,故(4)错误.2.1og29Xlog34+21og510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案D解析原式=21og23X(21og32)+log5(l2o.25)=4+log525=4+2=6.3.(
4、2020全国I卷)设Hog34=2,则4=()ab9c8dI答案B解析法一因为HOg34=2,所以kg34=2,则4。=32=9,所以4一2法二因为log34=2,所以。=高区=2iog43=log432=log49,所以4=4k%9=4%9,=91=.4 .（2021新高考11卷）已知=log52,Z?=logs3,c=,则下列判断正确的是（）A.cbaB.bacC.acbD.abc答案C解析a=Iog52log55=Iog822log83=b,即ac0,且Wl）的图象恒过的定点是.答案（2,2）解析当x=2时，函数y=log（-l）+2（G0,且。Wl）的值为2,所以图象恒过定点Q,2）.
5、6 .（易错题）已知函数段）=logQj）在区间|,上恒有段）0,则实数。的取值范围是.答案（；，1）alf解析由题意得22X1-l,OVaVl,或3解得IVaVL02ag2W,b=0g5m,则*ii+氤=lg2+log，5=logJ0=2.解得2=而.包(1log3)2+log62log618Z计算：log64=-答案1解析原式=121og3+(log63)2+log6log6(63)log64121ogs3+(IOg(,3)2+1-(IOg63).log642 (1-log63)log661。出3log6221og2-log2-log623 .已知4Zl,若log疝+Iogwz=,ah=b
6、a,则Q=,b=.答案42解析设Iogba=1,则Ql,因为f+:=,所以，=2,则0=从.又4=，所以b2b=bf1f即2b=b29又4bl,解得b=2,4=4.4 .(多选)(2022北京石景山区调研)在通信技术领域中，香农公式C=WIog2(1+筋是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传递速率。取决于信道带宽卬、信道内所传信号的平均功率S、信q道内部的高斯噪声功率N的大小，其中扁叫作信噪比.根据香农公式，以下说法正确的是(参考数据：Ig50.6990)()A.若不改变信噪比,而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍B.若不改变信道带宽W和信道内所传
7、信号的平均功率S,而将信道内部的高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍C.若不改变信道带宽W,而将信噪比扁从255提升至1023,则C增加了25%qD.若不改变信道带宽W,而将信噪比R从999提升至4999,则C大约增加了23.3%答案ACD解析A正确;对于B,因为WlOg20十袍Wlog2l+(Q=2Wlog2(1+,所以B错误；qvvio29(1+1023)Ioq9?10对于C,若将信噪比凯255提升至1023,则飞7E为二一l=jT=当一1=；,所以C增加了25%,所以C正确；O4对于D若将信哮比*从999提升至4999则团喻9-2?也1噌5(X)OJ、D右时1口求吃MaW旋k王4
8、W,人Wlog2(1+999)Iog2I000.50001Ig5+31.l5圻r/n下港一Ig100()3J30233,所以D正确.感悟提升1.在对数运算中，先利用赛的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、赛再运算.3H=N=Z?=IOgaMa0,且0Wl)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.J考点三对数函数的图象及应用例1(1)(多选)(2021重庆一模)小b,cR,且80,若e，=ln8=:，则小b,c的大小关系可以是
9、（）A.ahcB.hcaC.cabD.acb答案ACD解析设e=ln=1=2,如图，在同一坐标系中画出函数y=ex,y=nx9y=:的图象,当直线y=机与三者都相交时，交点的横坐标即为mb,C的值，由图知，当m从大到小时，依次出现CVaV/?、ac0,（2）已知函数应）=1”YC且关于X的方程Ar）+%。=0有且只有一个实、3,XW0,根，则实数的取值范围是.答案（1,+）解析如图，在同一坐标系中分别作出y=r）与y=x+l的图象，其中。表示直线y=x+在y轴上的截距.由图可知，当时，直线y=-x+。与y=7U）只有一个交点.（3）已知函数段）=logM,实数处（满足OVaV4且/（）=j电）
10、,若於）在片,力上的最大值为2,则5+方=.答案4解析Vx)=log2T,.JU)的图象如图所示，又/()=y(b)且OVaVA,0a且缶=1,a26t,由图知，J(x)ma=J(a2)=log22=2iog2=2,.a=y.b=2,Z？=4.感悟提升1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法值个四1103- 54-3,求解.训练1(1)图中曲线是对数函数y=k)gd的图象，已知。取L则对应于Ci,C2,C3,。4的。值依次为()aS 4 3
11、 LA 3, 5, 10c4 S 3 _Lc*3, Y 5 10答案Ab.l , I dI 5j 5解析作直线y=l,由IOga=I得=a,L431则对应G,C2,。3,。4的。值依次为小，W亍j.(2)当x(l,2)时，不等式。一IpVlOgd恒成立，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(l,2)C.(l,2D.(,0答案C解析设力(X)=(R1)2,及(X)=IOgd,要使当x(l,2)时，不等式(-l)2时，如图所示，要使在区间(1,2)上，力(X)=CrIp的图象在力(x)=logd的图象的下方，只需力(2)W及(2),即(2-l)2log,2,所以IOga221,解得IVaW2.J
12、考点二对数函数的性质及应用角度1比较大小例J2(1)设。=IOg412,Z?=log515,C=Iogel8,则()A.abcB.bcaC.acbD.cba答案A解析a=+log43,j=llog53,c=1log63,*/log43logs3log63,abc.(2)(2021天津卷)设=log23,=logj0.4,c=0.4则小Cc的大小关系为2()A.abcB.cabC.bcaD.acb答案D解析Vlog20.3log21=0,：.alog22=1,.b.2VOO.4o3O.4o=1,0c1,9ac4og38)的解集为.答案(1*16)u(r+8)解析因为函数段)是定义在R上的偶函数，
13、且在(一8,0上单调递减，所以可将(logJ(2-5)U0g38)化为log/2-5)log38,即log3（2-5）kg38或log3（2-5）8或OV2x5VI，解得x与或。VXV粤OZZIO角度3对数函数性质的综合应用2x+1例4（1）（多选）已知函数应0=始无=7,下列说法正确的是（）A（x）为奇函数BU）为偶函数C於）在&+8）上单调递减DjX）的值域为（一8,0）U（0,+）答案ACD.r.2x+1a2x+1斛析x）=ln令0,J2-12x1f2x+-l2x+l=lnl三J=-lnT=一段），7Ax）为奇函数，故A正确，B错误.2x+ll2、又Kr）=InE=I“1+元R，2令，=
14、1+7;/0且zWl,y=ln/,2-z又E=l+在+8）上单调递减，且y=n/为增函数，,危）在&+8）上单调递减，故C正确;Jy=In/的值域是（一8,0）U（0,+）,故D正确.(2)若y(x)=lg(f20r+l+)在区间(一8,1上单调递减，则。的取值范围为A.l,2)B.l,2C.l,+8)D.2,+8)答案A则有0, zl,解析令函数g(x)=x1-2ax+1+a=(-a)2+1+a-a2f对称轴为x=a9要使函数在(-8,1上递减，2a0f即1解得lV2,即l,2).介1,感悟提升利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定
15、义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.训练2(2022济南调研L)己知4=log32，b=37,C=Sin3,则()A.abcB.bacC.acbD.bca答案D解析因为log3gviog3l=O,所以V0,因为373=1,所以TT因为V3ca.(2)(多选)已知函数/U)=InX+ln(2一x),则()A於)在(0,2)上单调递增Bi在(0,2)上的最大值为OCAX)的图象关于直线X=I对称D(x)的图象关于点(1，0)对称答案BC解析%)=lnx+ln(
16、2-),定乂域为(0,2),fix)=lnx(2x)=ln(x22x),令r=-x2+2y=nr,.=-x2+2x,x(0,2),在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，JU)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，故A不正确；x)max=l)=O,故B正确；,:艮1x)=ln(lx)ln(lx),Klx)=ln(l-x)ln(l+x),.U+x)=y11r),(x)的图象关于直线X=I对称，故C正确，D不正确.分层训练巩固提升A级基础巩固1 .己知4=log2.2,b=202fc=0.23,则().abcB.acbC.cahD.hca答案B解析由对数函数的单调性可得=Iog2
17、.22=1,Oc=O.2o3O.2o=1,所以c0,得xv1或x5.令f=x2-4x5,则函数r=f4尢-5在(一8,1)单调递减，在(5,+8)单调递增，函数y=lgf为增函数，故要使函数外)=lg(x2-4x5)在(m+8)单调递增，则有(,+)(5,+o),即心5.5 .已知lgo+lgb=0,则函数yU)=/*与函数g(x)=logr的图象可能是()答案C解析由Ig。+Igb=0,得ab=l. (x)=因此/U)=.与g(x)=log单调性相同.A,B,D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同.6 .(多选)(2021临沂期末)若Ioa=4,10,=25,贝J()A.+b=2B.b
18、-ci=1C.81g22D.b-ag6答案ACD解析由10=4,Ia=25,得=lg4,b=lg25,则4+b=lg4+lg25=lg100=2,故A正确；万一=lg25-lg4=lg蓍lg6且Ig/VI,故B错误，D正确；ab=g4lg25=41g2lg541g2lg4=81g22,故C正确.故选ACD.7 .若Ig43=711g23,则IOg2W=.答案一2解析Vlog43=log23,，阳=5，,logyvn=-2.8 .已知函数段)=log(8-ax)(0,且l),若於)1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是.解析当。1时，yU)=kg(8-0r)在1,2上是减函数，由凡。1在区
19、间1,2上恒成立，则J(x)min=2)=Ioga(82d)1,即S-2aa,且8-240,Q解得i4当（Xa1在区间口，2上恒成立，知x)min=(l)=lg48)1,且82a0.Sa0,此时解集为Q综上可知，实数。的取值范围是0,引.9 .设实数m8是关于X的方程IIgXl=C的两个不同实数根，且h10,则。历的取值范围是.答案(0，1)解析由题意知，在(0,10),函数y=lgM的图象和直线y=c有两个不同交点(如图)，.ab=t0c0,且。#1),且1)=2.(1)求实数a的值及火尢)的定义域；3(2)求段)在区间,引上的最大值.解(1)V1)=2,log0,且1),l+x0,，。=2
20、.由1得一IVXV3,3x0,函数应0的定义域为(-1,3).(2)J(x)=l0g2(l+x)+log2(3X)=log2(l+x)(3-)=log2-(-l)2+4,当x0,1时，7U)单调递增；当r(i,I时，人工)单调递减，故函数兀0在r . 一 3-2O,上的最大值是/U)=log24=2.11 .已知函数7U)是定义在R上的偶函数，/0)=0,当10时，x)=iog2(1)求函数Tu)的解析式；(2)解不等式?1)一2.解(1)当XVO时，一%0,则(-x)=log(-x)2因为函数/U)是偶函数，所以五一)=U)所以RVO时，x)=log-),2所以函数於)的解析式为C1logx
21、,x0,=-2可化为川f-l)N4)又因为函数)在(0,+8)上是减函数，所以OVF-IlV4,解得一小VXV/且xl,而f1=0时，五0)=02,所以x=l或X=-L所以一小VXV小.所以不等式的解集为3小VXV小).B级能力提升2iog2fx+l-Lr+A-212 .函数yu)=-Lp/的图象为()答案D解析火X)=fOxi)t使得/)在m,网上的值域为n,n9那么就称y=(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=log(2v+r)30且l)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是()1-4O,znA.1-4C.jd.&+H答案A解析因为g(x)=k)g32+f)是定义在R上的
22、“成功函数”，所以g(x)为增函数,且g(x)在加，网上的值域为7,故g(x)=w,g(n)=n9即g(x)=x有两个不相同的实数根.又oga(azx+t)=x9即2x-arr=0.令S=OV,s0,即V-s+/=。有两个不同的正数根，7o,可得0.解得0z.14.(2022竦州适考)已知函数4E)=IInxl+x,若於1)=(x2),其中XlHX2,贝J()A.xi+x22C-+-2XlXlXX2答案D解析根据题意不妨设0xlX2,则由XI)=/2),得一Inx+xI=InA：2+x2,即lnx2+InXl=InaIX2)=xix2O,所以Oxx22yxx2i所以一十LX+X2XX2l 2温
23、2,故选D.15.(2021北京卷)已知/U)=lgx一点一2,给出下列四个结论：(1)若Z=O,则7U)有两个零点；(2)来0,使得iU)有三个零点.以上正确结论的序号是.答案(4)解析零点个数问题，转化成两个函数图象的交点个数来分析.令w=lgx-k-2=0t可转化成两个函数y=lgx,p=Ax+2的图象的交点个数问题.对于(1),当Z=O时，”=2与y=lgx的图象有两个交点，(1)正确；对于(2),存在0,使*=履+2与V=IIgM的图象相切，(2)正确；对于(3),若Zkg(x)恒成立，求实数Z的取值范围.解(1)(X)=(421og2x)log2x=22(log2-1)2.因为xl,4,所以log2xO,2,故函数万(五)的值域为0,2.由式开)式心kg(x),得(341og2x)(3Iog2x)%log2x,令r=log2x,因为xl,4,所以f=log20,2,所以(3旬(3。乂4对一切r0,2恒成立，当t=0时，ZR;当W(0,2时，k怛成立，即24，+715,993因为4f+212,当且仅当4/=*即时取等号，9所以4-15的最小值为-3.所以N3.综上，实数的取值范围为(一8,3).
