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1、限时训练11：直线与椭圆的位置关系（2023.9.13限时20分钟）（水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。）一、单选题1.直线y=3x-l与椭圆鸟+m=1的公共点的个数是（）48A.0B.12.3.4.C.2D.无数个通过椭圆9+卷=1的焦点且垂直于X轴的直线/被椭圆截得的弦长等于（）A.23B.3C.3己知椭圆1+12510D.6I的左、右焦点分别为A、C,A为椭圆上的一点（不在X轴上），则4A8C面积的最大值是A.15B.12C.6D.3已知椭圆7+a-S=13b0）的左、右焦点分别为耳，F2,焦距为2,过点K作X轴的垂线与椭圆相交，其中一个交点
2、为P点（如图所示），若尸耳鸟的面积为,则椭圆的方程为（）42C 44-b +5.椭圆J +16=1与直线x+2y-4 = 0相交的弦被点平分，则点的坐标为（）A.（2,4）B.（2,2）C.（3,1）D.（2,1）6.已知点 K（-c,0）,F式，。心。）是椭圆。叱6。）的左、右焦点，点P是这个椭圆上位于X轴上方的点,点G是APE鸟的外心，若存在实数/1,使得Gf；+G玛+%G尸=（）,则当，。6工的面积为8时，。的最小值为（）A. 4B.43C.26二、多选题7.设椭圆C,+/=的左右焦点分别为耳，E，左、右顶点分别为a,8,点尸是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（）A.离心率e=理2B.
3、尸鸟面积的最大值为1C.以线段耳吊为直径的圆与直线+y-l=O相切D攵rApb为定值8 .已知耳，F?分别为椭圆u1+V=的左、右焦点，不过原点。且斜率为1的直线/与椭圆C交于尸，Q两点，则下列结论正确的有（）A.椭圆C的离心率为也B.椭圆C的长轴长为22C.若点是线段PQ的中点，则MO的斜率为-;D.4OPQ的面积的最大值为当9 .己知椭圆C16+4y2=,则下列结论正确的是（）A.长轴长为:B.焦距为且24C.焦点坐标为：D.离心率为母10.在平面直角坐标系My中，已知点Pa,%）和曲线C*2+22=i,则对于直线/：与工+7町，Oy=I下列说法正确的是（）A.若不=；,y0=,加=1,则
4、直线/与曲线C没有交点B.若Xo=；,%=1,，=-1,则直线/与曲线C有二个交点C.若XO=（，%=*，机=；，则直线/与曲线C有一个交点D,直线/与曲线C的位置关系和P在哪里无关三、填空题211 .过椭圆。十丁=1的左焦点作斜率为1的直线与椭圆C分别交于点4,8,。是坐标原点，则OVOB=.12 .已知点尸在椭圆m+亡=1上，则点尸到直线旅-4），-18=0的最小距离为169参考答案：1.C【分析】联立直线与椭圆的方程消去y,再利用判别式判断作答.y=3x-【详解】由炉2消去y并整理得U2-6-7=0,显然A=(-6)2-4xllx(-7)0,+=148所以直线y=3x-l与椭圆当+?=1
5、相交，有2个公共点.48故选：C2. B【分析】根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于X轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标,即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点(LO)且垂直于X轴的直线/:x=l,代入椭圆方程得L+f=1,可得y=,故被椭圆截得的弦长等于3.432故选：B3. B【分析】由三角形面积公式可知4A8C的底忸Cl为定值，当高为最大时，面积即为最大，故当点A位于椭圆上顶点或下顶点时高最大，即可求解.【详解】由三角形面积公式SAeC=T忸CH)X可知，当|力|最大时Sjc有最大值，即点A位于椭圆上顶点或下顶点，KBC=2c=2Ja2-b2=225-16=6,则4A8C面积的最大值是S
6、a8c=；x6x4=12,故选：B.4. A【分析】由题意可得C=应，令x=Y,可得PM,再由三角形的面积公式，解方程可得b,即可得到所求椭圆的方程.【详解】由题意可得2c=2,即c=L即有八/二2,可得IpFL则JL2cQ解得a=2,b=5/2；椭圆的方程为二+=1.故选：A.5. D【分析】将直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理即可求出中点坐标.-2y2【详解】联立方程1164,得V-2y=0,/.y1+y2=2,x1+x2=4,x+2y-4=0中点M的坐标为（2,1）；故选：D.6. A【分析】首先根据G点是-PKK的外心,外心是三角形各边垂直平分线的交点,再结合向量运算的几何意义可以判
7、断出G点恰好就是椭圆上顶点.【详解】由于外心在耳6的垂直平分线上,故外心在）轴上，而G+G乙方向朝着了轴的负半轴，故尸点位于椭圆的上顶点，此时三角形面积为g2c力=8,历=8.所以=J+c2=4,故选:A.7. BD【分析】由/=2,2=1直接求椭圆离心率即可，将4鸟看成的底，高的最大值即为1,即可求出面积的最大值，写出以线段46为直径的圆方程，圆心到直线的距离即可判定直线和圆的位置关系，攵心即8直接用斜率公式求解即可.【详解】对于选项A,由已知得6=2,从=1,则/=/从=1,即e=Yl,故A错；a2对于选项B,由己知得，要使P鸟的面积最大，当底边片鸟上的高最大即可，高的最大值即为1,则6的
8、面积最大值为gx2l=l,故B正确；对于选项C,以线段KE为直径的圆的方程为Y+/=1,则该圆的圆心到直线的距离为d=心詈=孝,即以线段尸内为直径的圆与直线1+）,一=O相交，故C不正确;C1y对于选项D,设点尸（勺，几），则/*）。为二得二,2:1,XO-V/+yf2x：-2片-22故D正确.故选：BD.8. ACD【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C;根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D.【详解】因为/=2,b2=,所以C?=1,所以e=C=J=Y2,故A正确；a422因为=,所以2=2,故B错误；设Pa,B）,。（和力），因为/与椭圆C交于P,
9、Q两点，+y12=+必2=1两式相减得（%+甘）+（乂+%）（乂一%）=，2,即七W.即。二一5p(yJ2XJi-J2)(xi+2)(x1-x2)因为&PQ=勺=1，所以%M=-g,故C正确;设直线/：y=x+m,y=x+nx 2 +r=得3x2+4Lr+2n2-2=0因为直线与圆相交,所以A=16-2(2m2-2)O,解得m23,根据韦达定理得x1+x2xx=2，QP=+k2xi-x2=y2y(x+x2)2-4x,x2=g3-m1,点。到直线/的距离d=号，所以SA。=；IQHd=gxgj3-Mx号=*JM(3二),因为J（3-也JR；一加）号，当且仅当病=|244所以长轴长为2=1,焦距2
10、c=#,焦点坐标为0，短轴长为劝=1，离心率=走2a2故选：CD10. ABC【分析】通过飞、打、?的值，判断曲线与直线的位置关系，逐项检验，即可得到结果.【详解】当“0=；，Jo=PW=I时，曲线C：Y+y2=,则对于直线L+y=2,圆的圆心（0,0）到直线/ + y = 2的距离为=I,所以直线/与曲线C没有交点，故A正确;1 y/=1当天=：，%=】，T时，则曲线UV-V=I，直线/：工一2旷=2，联立方程组2 x-2y=2消去X可得即3y2+8y+3=0,可知4=644x3x3=280,所以直线/与曲线C有二个交点,故B正确；当XO=；,为=与,n=J时，直线/:24+而)，=4与曲线
11、C:/+=,联立方程组r=12,消去了可得：4-4x+l=0,解得X=J,所以直线/与曲线C有一个交2x+瓜y=4点，所以C正确；由B、C选项，可知直线/与曲线C的位置关系和P在哪里有关，所以D不正确.故选：ABC.11. -13【分析】联立方程，解得A,B点坐标，代入数量积坐标公式得到结果.【详解】设宜线方程为：y=x+l,代入椭圆方程可得：3+4x=0,4解得：X4=O,xH=-即A(O,1),BbgLg).OAOB=-3故答案为-:【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，数量积的计算，属于基础题.12. 8-2?-5-【分析】设尸(4CoSe,3Sine),IO,2,利用点到直线的距离公式及辅助角公式,再利用三角函数的性质，即可求得尸到直线的距离；【详解】设P(4cos8,3sin仍,0e0,2t则P到直线3x-4y-18=0的距离3x4CoSe_43Sine-18|12zl.八312r.以吟3d=J/L=cos6-sin6=2sin,37747525I4J2当sin(。-f)=T时，取最小值，最小值为曳二吆但，45故答案为:18-122
