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1、承诺书我们细致阅读了中国高校生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛起先后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上询问等）与队外的任何人（包括指导老师）探讨、探讨与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，假如引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必需依据规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们慎重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公允性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到肃穆处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（假如赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队
2、员（打印并签名）：1.2. 3. 指导老师或指导老师组负责人（打印并签名）：日期：2024年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2024高教社杯全国高校生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区VlZ阅记录（可供赛区评阅时运用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要本文以城市表层土壤重金属污染作为问题的背景，以所给出的样值点重金属污染物浓度为基础，探求重金属污染物空间分布、传播特征、污染源位置等问题，我们通过对数据分析，利用软件处理数据，建立一系列模型,逐步解决题目提出的四个问题。针对问题一：我们首先对数据进
3、行有效处理，利用matIab和GSplus专业绘图软件，画出八种重金属的空间分布状况。而后建立内梅罗模型对所给数据进行量化处理，并与国家标准作比较，划以等级，并用百分比去分析各个功能区内不同等级的点的比例状况，最终用一个功能区内各个点的期望去表征一个功能区的污染强度，可知工业区污染最严峻，次之是交通区，山区污染程度最低。针对问题二：功能分区的不同使各个区内污染有着各自的特征，以当块土地的背景值为基础，加上标准差，建立单因素分析模型，同样对各个点进行量化，并与背景值作比较，确定污染程度。并对8种重金属在各个区的分布状况进行横向对比，找出八种元素浓度值最高的区域，并结合当地功能区的特征进行具体的介
4、绍，具体说明白污染缘由。针对第三问，我们依据图形推断其高斯分布特征，建立微分方程，并通过各向同性和各项异性建立方程，去确定污染源的位置，并给出了污染后的传播特征方程。一共在五个区找到22个污染源，Cr元素污染源最少，同时给出各个污染源的坐标，具体见模型三。针对问题四，我们格外因和内因去找寻新数据，去建立城市演化的灰色关联模型，该模型更好的说明白污染物传播和哪些因素有关，同时又给出了各个因素之间的关系，有着很好的前瞻预料性。最终,通过对四个问题的回答,我们找出了关于重金属污染物传播特性,同时对城市地质结构有了肯定的了解。依据所得污染物的状况，合理建议城市主管部门对城市合理分区，并有效治理污染！关
5、键字：内梅罗综合指数GS高斯模型模糊分析1.问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异样的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，探讨人类活动影响下城市地质环境的演化模式，日益成为人们关注的焦点。fi功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，依据每平方公里1个采样点对表层土(010厘米深度)进行取样、编号，并用GPS
6、记录采样点的位置。应用特地仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，依据2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要缘由。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，
7、为更好地探讨城市地质环境的演化模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？2.问题分析随着经济的发展和城市现代化的建设，人类的生产生活对环境的影响越来越大，工厂排放的废弃物品，交通车辆的大量尾气排放，生活污水的不合理处理，以及对自然的不加限制的开发，导致大自然自我反抗实力下降，人类生活环境不断恶化。本题事实上是依据此背景就城市土壤重金属的污染进行探究性分析，以确定所给题目中城市环境重金属的污染状况，并找出污染源，进行有效的治理。对于问题一，用金属元素浓度代替空间三维分布中的海拔高度，用8张二维半图可表示出8种元素的空间分布，通过Excel分析每种金属在各个区的平均浓度，标准偏差
8、,范围等参数，与我国土壤环境质量评价标准作比较，运用尼梅罗综合指数法可以对每个采样点进行综合污染指数评级，再分类汇总，评定各个区域的土壤被污染程度。对于其次问，分析各个区的每种金属污染的严峻程度，首先须要利用背景值求得各元素单因子污染指数评价分级标准，再对采集点污染等级进行分类汇总，求出各个等级在该功能区所占比例，比较最大的若干个功能区域，分析它们与重金属污染有何联系，即为污染主要缘由。对于第三问，首先找出金属浓度的最大值点，一般认为重金属元素从浓度高处向浓度低处扩散，建立扩散模型模拟验证。对于第四问，对于城市地质环境的演化模式，考虑的是它的影响因素，PH值，地形，历史缘由，发展规划等，综合考
9、虑，预料演化趋势。3.模型假设假设：1 .不考虑PH值对各个重金属污染分布的影响，即认为PH值对各个地区各种重金属元素污染分布的影响均衡。2 .在对样点进行采集的过程中，该城市没有自然灾难，土壤表层的特征保持不变。3 .在对样点进行采集的过程中，该城市没有大型工厂的迁入迁出。4 .题目的采集点具有随机的一般性，能够充分反映城市的一些特征。4 .符号说明字母代表含义PSiCiP综P平均P最大重金属污染程度重金属污染评价标准i污染物的实测值采样点的综合污染指数采样点全部单项污染指数的平均值采样点全部单项污染指数的最大值5 .模型的建立与求解5.1 模型一：内梅罗综合污染指数模型5.1.1 模型的建
10、立分析对于第一问，要求给出八种重金属的分布特征，同时分析不同城市区域内污染程度。首先利用GSPlus地理作图软件对该城市八种金属的分布，用浓度代替海拔高度画出二维半图，清晰表征八种元素分布特征。对于污染程度，我们选取内梅罗法对该城市重金属污染程度进行较全面的分析，并通过与国家标准值进行比较，合理划分等级，做出污染程度合理的评价。5.1.2 模型的建立与求解首先依据国家标准去确立单向污染指数:;C-C污染起始值污染起始值1 ,G-CJj柒起始值rr.I十万ZT，J污染起始值YLiaL中度污染起始值，1.中度污染起始值L污染起始值，C中度污染起始值-Ci C重度污染起始值；，C重度污染起始值yC；
11、2 ICi-C中度污染起始值C重度污染起始值一C中度污染起始假Ci-C怅度污染起始值C重度污染起始值一C中度污染起始值E为采样点i污染物的污染指数，G为i污染物的实测值，C污染起始值，C中度污染起始值,。重度污染起始值为i污染物的评价标准，此问中选用国家环境土壤质量标准。依据此求出每一个采样点的每一种重金属污染后的Pj值，进一步去求P平均和P*8cDi=l平乐8P最大=max(4)埸=J（P7均+p*大）/2国家土壤环境质量评价标准(mgkg)级别CdHgAsCuPbCrZnNi0.200.151535359010040二0.300.503010030020025050三1.001.54040
12、05003005001.0国家土壤重金属污染分级标准污染等级Pi七污染水平一级Pi0.85清洁二级1y620.851.71土壤轻度污染三级2Pi31.7172.56土壤中度污染四级“七A2.56土壤污染相当严峻各个生活区的污染状况和比例:功能区1生活区2工业区3山区4交通区5公园绿地区采样点个数44366613835各污染一级2511.1171.2118.8437.14等级百二级505027.2746.3842.86分比三级18.1811.111.5227.5417.14(%)四级6.8227.7807.252.86心期望1.5801911.992350.8456041.8470991.285
13、1925.1.3结果分析平均综合污染指标：山区公园绿地区V生活区V交通区工业区，综合污染程度可以由此推断山区的土地重金属污染程度最低，约四分之三的采样点为清洁等级。约99%的采样点为一、二级土壤等级，四级严峻污染等级所占采样点百分率为零，土壤环境质量在雾中功能区中最高公园绿化区主要是一、二级轻度污染，总量占采样点的五分之四，但比之山区，三级中度污染土壤比重明显偏多生活区主要是二级轻度污染,占50%,其次是一级清洁等级土壤，占25,严峻污染等级占生活区采样点的6.82%,比山区，公园绿地区的污染明显严峻交通区和工业区的污染是最严峻的，交通区的二级,三级土壤等级比较多，约占总数的四分之三，工业区则
14、是严峻污染的比重大，已经超过了四分之一。综上所述，工业区的四级严峻重金属污染土壤比重最大；其次是交通区中度污染比重最大；生活区土壤主要是轻度污染；工业绿化区的一、二级土壤等级在五个区中排其次位；山区的表层的土壤污染指数最低，是目前受污染最小。同时通过数据的量值加之地理特征，生活区作为居民生活的地方，其重金属的污染程度较高是由于靠近工业区，并与交通区混连，受着来着工业区和交通区的双重污染，故其较大的值是有地理的缘由的。海拔三维图5.1.4各种元素浓度分布图F2F2AsCd还有四张图见附件。5.1.5图像分析上面为由GS做出的八种元素在全市区内的一个浓度分布状况，可以看出，对于八种元素，基本上浓度
15、最高的地方都是在图的左下方，也就是工业区的地方。由分析可得出，工业区由于其本身的特性，各种重金属的污染都相对较为严峻，远离工业区的山区是受污染最轻的地方。5.2模型二：单因子污染指数法5.2.1 模型建立分析5.2.2 模型的符号说明Pi土壤中i污染物的污染指数CiSiSX土壤中i污染物的实测浓度i污染物的评价标准该地区背景值标准偏差该地区背景值平均值5.2.3模型建立求解污染指数的确定:Pl=CiISiSj=x+S土壤污染分级：由于各元素在土壤中含量的差异性，此处采纳能反映各元素在土壤中含量改变幅度的标准差的改变进行土壤污染分级：当BYi时，该点未受i污染物污染，为清洁级当16(元+2S)S
16、j时，土壤中i污染物处于背景值范围内，为尚清洁级当l+2S)SjE(5+3S)Sj时，土壤中i污染物含量超出背景值范围，为轻污染级。当叵+3S)S,(亍+4S)S,时，土壤中i已构成重污染，为重污染8种主要重金属元素的背景值得下表表格5-1：表格5.18种主要重金属元素的背景值元素平均值(X)标准偏差(三)范围(x2S)评价标准(Si)As(gg)3.60.91.85.44.5Cd(ngg)1303070-190160Cr(gg)31913-4940Cu(gg)13.23.66.0-20.416.8Hg(ngg)35819-5143Ni(gg)12.33.84.719.916.1Pb(gg)3
17、1619-4339Zn(gg)691441-9783依据模型处理数据，将污染程度分为5个等级，可得：表格5-2土壤中各元素单因子污染指数评价分级标准表元素IIIIIIIVVAs11.21.2-1.41.41.61.6Cd11-1.18751.1875-1.3751.375-1.56251.5625Cr11-1.2251.225-1.451.45-1.6751.675Cu11-1.2141.214-1.4291.429-1.6431.643Hg11-1.1861.186-1.3721.372-1.5581.558Ni11-1.2361.236-1.4721.472-1.7081.708Pb11-
18、1.1621.162-1.3241.324-1.4861.486Zn11-1.1691.169-1.3371.337-1.5061.506污染程度清洁尚清洁轻污染中污染重污染模型求解：利用上述模型对各个采集点8种重金属元素的实测值进行计算，将计算结果与表4中的Pi标准值进行比较，确定该点的污染程度，对每个地区的各种元素进行百分比统计表格5-3各地区土壤中重金属元素污染状况统计表元素清洁(%)尚清洁(%)轻污染(%)中污染(%)重污染(%)As生活区20.4511.362511.3631.82工业区2513.898.3311.1141.67山区71.2112.126.061.529.09交通区3
19、3.3316.6721.0113.0415.94公园绿地区205.7125.7122.8625.71Cd生活区22.734.549.0913.6450工业区5.568.338.335.5672.22山区66.677.5610.614.5510.61交通区17.395.805.0711.5960.14公园绿地区37.148.57202.8631.43Cr生活区27.2727.2725020.45工业区41.6716.6713.898.3319.44山区69.707.586.067.589.09交通区35.5128.2615.225.8015.22公园绿地区45.7128.5717.1408.57
20、Cu生活区11.3611.3611.3611.3654.55工业区2.782.785.5616.6772.22山区57.5816.6710.616.069.09交通区9.427.977.9710.1464.49公园绿地区17.1414.2911.438.5748.57Hg生活区38.644.546.826.8243.18工业区22.228.332.785.5661.11山区68.187.587.589.097.58交通区39.137.256.524.3542.75公园绿地区42.865.712.865.7142.86Ni生活区34.0938.6411.369.096.82工业区44.4413.
21、8911.118.3322.22山区68.1812.126.063.0310.61交通区46.3832.6112.327.251.45公园绿地区68.5717.145.715.712.86Pb生活区31.8213.646.829.0938.64工业区11.118.338.332.7869.44山区75.769.093.036.066.06交通区24.6413.045.075.0752.17公园绿地区42.8617.148.572.8628.57Zn生活区27.2711.366.826.8247.73工业区5.5616.678.335.5663.89山区74.2412.127.581.524.5
22、5交通区16.6711.5910.142.9058.70公园绿地区37.1414.295.7114.2828.575.2.4模型的结果缘由分析(1) AS污染主要是工业区严峻污染土壤中AS主要来自于化肥工业废物磷石膏，因为其可以改良酸性土壤，从而被大量运用，造成土壤中AS的含量增加，它也会造成Cr、Pb的含量增加。(2) Cd污染主要来自于工业区和交通区a.工业区主要缘由可能是化工冶金工业与土壤中Cd超标亲密相关b.交通区主要是汽车润滑油在高温条件下与空气中的氧气发生氧化反应生成有机酸、醇、醛及其他有机化合物，这些物质能够腐蚀与其接触的含Zn.Cu.Cd等合金的金属部件以及含Cu元素等的油泵，
23、导致其向环境中释放相应的重金属元素，导致交通区Cd超标比例较大。(3) Cr主要来自于工业区和生活区a.工业区主要为化工冶金工业，Hg、Cr.Cd超标与之亲密相关，且有一些化肥工业废物含有Cr元素，如磷石膏，施入土壤后回事Cr含量增加b.生活区主要为城市灰尘，其中含Cr元素，且认为受活动干扰严峻(4) CU主要来自于工业区、交通区和生活区a.工业区主要是一些冶铜工业以及其他的铜相关产业。b.交通区主要是汽车轮胎及排放的废气中含有Pb、Zn、CU等多种重金属元素，Pb、Zn和CU等被看作机动车辆污染源的标记元素，所以Pb、Zn和CU元素被认为主要来自于交通运输过程，Pb、Zn和CU被称为交通因子
24、。c.生活区城市灰尘中受人为活动干扰严峻的重金属为Pb、Cu、Cr、Zn(5) Hg主要来自于工业区，生活区，公园绿地区和交通区a.汞在工业上应用很广，造成的污染较严峻，汞工业区主要来自燃煤电厂和金矿开采，有色金属生产，钢铁生产等b.生活区、公园绿地区、交通区，主要是汞产品在人们的生活中随处可见。比如一个小的电开关、电池、荧光灯，这些含汞器械、设备与人们日常生活接触许多，又简洁被各界所忽视,就成为一个值得亲密关注的汞污染源。另外，医疗和城市废物被燃烧后也会造成肯定的汞污染(6) Ni主要来自工业区工业区主要是银矿的开采和冶炼；合金钢的生产和加工过程；煤、石油燃烧时排放烟尘中；电镀、镀银等生产过
25、程(7) Pb主要来自工业区和交通区a.工业区中，工厂对周边环境的Mn、Zn、V污染有很大的贡献。b.汽车轮胎及排放的废气中含有Pb、Zn、CU等多种重金属元素,进入四周的土壤环境,简洁造成土壤重金属污染。c.生活区土壤的Pb含量严峻污染等级占比例也很大，主要是城市灰尘中重金属Pb,它受人为活动干扰严峻(8) Zn主要来自交通区、工业区、生活区a.在交通区，汽车轮胎添加剂中的Zn是城市土壤中Zn的重要来源b.由于人类的生产、生活等活动，CU应用广泛，导致居民区和商业区主要以CU和Zn的积累为特征。上述横向的从元素的角度进行了分析，由特定的重金属元素去分析功能区的特点，并简洁的揣测该功能区可能有
26、哪些缘由造成，可以说信任的阐述了重金属污染主要缘由的问题。5.3高斯模型5.3.1 模型分析通过对各个区域不同金属的浓度三维拟合，与高斯模型具有很大的一样性，所以此题依据高斯模型建立浓度扩散方程找到污染源，我们首先建立无差异的传播模型，即各个方向匀称传播。5.3.2 模型建立q=-*gradCfqnddt=JJIQJJjC(X,y,Z,f+Af)-C(X,y,zyt)dVra=t又依据曲面积分的GaUSS公式：jqhd=JJJdivqdV.曲)MdK+川P/VdtA，rr+,C_vC(x,y,z,加)-C(x,y,zj)一.JfkdiygradC)dt.IimIimt40/ATo/由以上两式得
27、：l-dVr+divqdVdt=p0JVrV%V即为：JJJ等WV+KR加招V=JJJPOdVy5y由以上公式并利用积分中值定理得：=idiv(gradC)=露+4+&),t0,ox,y,z这是无界区域的抛物线型偏微分方程，依据假设1,初始条件为作用在坐标原点的电源函数，记作C(x,y,z,0)=Q0(x,y,Z)最终得到二维高斯分布原始公式：G=Ae7i）2+c2（三）2+je6N）,由于假设无差异传播,所以X,y不相关，C3=0,cl=c2=lc建立高斯模型：G=AeC,其中A,a,b,c均为待求参数，G为（x,y）所在点的浓度,A为污染源处的浓度值该模型从坐标（a,b）处向四周匀称扩散，
28、没有差异性,则最终求得的（a,b）点即为极值点坐标。5.3.3模型求解：分别带入极值点四周数点，用计算机拟合可得高斯模型方程参数最优解，解如下:As元素有三个污染源污染源abCA118205100895842030.13212695302513602434750729827332023Cd元素有四个污染源污染源abCA121450113753148016402123702080393828903333660691484245211404271523002286281140Cr元素有一个污染源污染源abCA13305602480543630925Cu元素有两个污染源污染源abCA13305602
29、39651613702237936882153722534Hg元素有三个污染源污染源abCA11524891603464138002137012360216599150103213038902937216000Ni元素有两个污染源污染源abCA1221961219058777623305602410898144Pb有三个污染源污染源abCA147704905240804802237537001579940031655274070223460Zn有四个污染源:污染源abCA11380396272311237702127103035127741660393154321339513000432906
30、022292901880上述的啊，a,b代表着污染源的坐标，具体的图如下:4X1021.81.61.41.2O0.51.52.53x104100080060040020004000300025002000150010005000400025002000 15002000x1045.4基于城市演化的灰色关联模型5.4.1 模型的建立分析纵观上文，我们在依据题目的要求下，逐步分析该城市重金属的空间分布，污染程度和污染缘由。从宏观入手建立了重金属污染物的传播特征的模型，但是不同金属元素在土壤中不同形态的安排状况，以及自然缘由等对金属富集产生影响。同时，有上面建立的一系列模型可知，不同功能区的重金属样
31、值有着不同的特征，且相差许多。说明城市土壤重金属含量除了与自然环境有关，还与城市功能有关亲密的关系。因此我们建立灰色关联度模型，对影响城市土壤重金属分布的内因和外因与重金属含量进行灰色关联度分析。5.4.2 模型建立1 .进一步收集影响城市土壤重金属分布的内因外果内因：土壤有机质，土壤粘性颗粒含量，土壤PH值；外因：生产生活的废弃物，工业区远近，交通车流量。2 .对这些因子按110作等级评价，形成土壤有机质、黏贴颗粒、土壤PH值、生产生活的废弃物、工业区远近、交通车流量的六大城市土壤重金属含量影响因子。3 .设六大因子分别为X,X2,X3.X4,X5,X6.X1土壤有机质含量(gKg)X2土壤
32、颗粒含量()X3PH值X4生产生活废物比例(生产生活废弃物占土壤总量的百分比)X5离工业区远近(相对距离)X6相对交通车流量(相对流量，无量纲)4 .依据所选择的样本点，进行主要因子分析表格54主要因子分析表剖面号 XlX2X3X4X5X6通过建立这样的一张图，直观反映各因素与重金属的关系，并通过他们与重金属做关联度分析，搞清晰各因子间的主次关系，更有利于城市土壤的生态改良和修复。5 .灰色关联系数的确定依据内梅罗计算所得的“，X0=PijZPnf同样将X2，X3，X4，XX6作比较数列，得IXO(O)-X(Ql数据列表，对于X。在k剖面的关联系数(幻有：i=(MiniMinkXq(0)-Xl
33、(k)AMaxiMaxkX0(O)-X1W)(X0(k)-Xl(k)n+AMaxiMaxkXO（八）-X仆)|式中4(幻为k剖面污染指数与i因子的灰色关联系数，4为辨别系数，Xj(口为k剖面i因子的影响值。6 .确定R评价标准=12R=Zcj(Q/用R值去表征关联度，R值越大，其关联度越大。5.4.3模型分析本模型是基于内梅罗模型进行的扩展，选取了壤有机质、黏贴颗粒、土壤PH值、生产生活的废弃物、工业区远近、交通车流量六大因素去表征污染度，更能说明污染浓度所受影响的范围和程度。变量的增加使该模型代表性和适应性范围更大，更重要的是其变量特征的选取，分别从内外因来表征污染浓度，使模型的适应性和稳定
34、性更强。6 .模型的改进与推广6.1 模型的优缺点优点：对于模型一，内梅罗法胜利解决了土壤重金属污染程度的问题，充分的利用了各种不同重金属的污染状况，通过平均值和最大值很好的表征了一个测试点的受各种重金属污染的状况，而后通过去国家标准对比，更好的说明白本地的一个污染程度，用一个等级去量化了，更形象更直观。同时利用matlab和GSPhlS软件，更清晰的在图上表示了污染相对的状况。对于模型二，以推断污染缘由为目标，建立简洁的单因子模型，充分利用其背景值，对每一种重金属元素相对于各个功能区的一个状况用图表表示出来。不仅可以横向去对比各个重金属对一个功能区的影响，同时纵向的比较可以看出一种元素对应与
35、不同功能区的状况，更加清晰明白。对于模型三，依据图像，数形结合，利用图像性质去探究污染源的位置和分布特征，一高斯函数为假设，通过对函数选择区域性的拟合，最终找出污染源的位置，并用函数说明白重金属的传播特征。模型四，较为开方的提出地质演化的过程，利用模糊的分析方法，再增加肯定的因素,从内因外因角度去找到一种关系，同时又说明白变量之间的一个影响程度！缺点：,对于模型三，简洁的假设出其听从高斯分布，并通过对所给数据去拟合，结果可能出现误差，失去其精确性。同时，各向异性并未在模型中很好的说明，仅仅从各向同性对问题进行了求解，有失精确性。7 .参考文献1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型(第三版)，北京：高等教化出版社，2024.82尹君，基于GlS绿色食品基地土壤环境质量评价方法探讨，农业环境爱护，2024,20(6)：446-448,456。3李绍生，数理统计方法在土壤环境背景值调查与评价中的应用，访问时间：2024-9-118.附录1.问题一8种元素分布图像1M49.5150-19103.28654.F2F2污染源图:0.81.7
