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1、2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题一、选择题1 .样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）A.14B.16C.18D.20【答案】B【解析】将这些数据从小到大排列可得：】0,12,14,14,16,20,24,30,40,则其中位数为16.故选：B.2.椭圆+ V= 1（。1）的离心率为则4=（A.B.2C.3D.2【答案】A【解析】由题意得e=近三I=1,解得a=空,a23故选：A.3 .记等差数列前几项和为S”,%+%=6,%2=17,则Sg=()A.120B.140C.160D.180【答案】C【解析】因为%+%=2
2、%=6,所以5=3,所以s+42=3+17=2。，（,+aft）16/、所以Sg=8（tz5a12）=160,故选：C.4 .设a,/?是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.箱a；BJna,/B,则相J_/B.若mua,luP,mI,则/?C.若=m,Ha,/B,则相/D,若m.La,l1.,m/1,则_L【答案】C【解析】对于A,加,可能平行，相交或异面，故A错误，对于B,Z夕可能相交或平行，故B错误，对于D,。,夕平行，不可能垂直，故D错误，由线面平行性质得C正确，故选：C5 .甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有()A.20种B.16
3、种C.12种D.8种【答案】B【解析】因为乙和丙之间恰有2人，所以乙丙及中间2人占据首四位或尾四位，当乙丙及中间2人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A；种方法，排甲有4种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，所以有A；XA；XA；=8种方法；当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A；种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有A；种排法，所以有A；XA；XA；=8种方法；由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16种排法，故选：B.6 .已知。为直线/：x+2y+l=0上的动点，点P满足。尸=(1,-3),记P的轨迹为E,则()A.E是一个半径
4、为止的圆B.E是一条与/相交的直线C.E上的点到/的距离均为正D.E是两条平行直线【答案】C【解析】设Pa,)，)，由QP=(I,-3),则Q(X-I,y+3),由Q在直线/：x+2y+l=0上，故-l+2(y+3)+l=0,化简得x+2y+6=0,即尸的轨迹为E为直线且与直线/平行,E上的点到/的距离d=吐=正,故A、B、D错误，C正确.12cos2 + sin26?2cos26? + 2sincos2 + 2tan + (-1) 4故选：A= l(O,OO)的左、右焦点分别为耳,弱，过坐标原点的直线与。交于A,3两点，忻卸=2EAI,取i玛8 = 4.t则C的离心率为()22故选：C.则2
5、cos6 + sin2e7.己知e(,兀，tan26=Ttan+dI14)I43【答案】A【解析】由题。W-,tan2=-4tan夕+f,I4)4)2 tan J -4(tan0 + l)l-tan2 1 - tan=-4(tan + l)2 =2 tan。,则(2tan6+l)(tan9+2)=0=tan。=2或tan0=；，八(3因 6l ,lan(-1,0),所以tan。= -；,8.设双曲线C:A. &B.2C. 5D. 7l+sin20Sin/+CoS2。+2sinOcosO_tan2+l+2tan【答案】D【解析】由双曲线的对称性可知闺Al=IE印内用二优4有四边形AEB6为平行四
6、边形,令国H=I玛B=w,则忻M=I玛4=2n,由双曲线定义可知IEAl-忻A=2q,故有2H-2=24,即z=20,即阳/=|玛目=小=为，忻Bl=医=4a,8A=I玛ZHgqCOSZAF2B=2a4acosZAF2B=4a2f1O则COSNAK8=q,即NA居8=5，故/63二三,则有 CoSNgJBK忻川+怩用2一忻引=(4)2+(2)2-(2c)2=2FiB-F2B一24a2a2即2(k一产-二,即型一%=一2_,则=7,由ei6a22161629.已知函数/(x) = SinI2x + 7-J + cos2x + 7-J,贝 1()A.函数/(1一：J为偶函数B.曲线y = (x)的
7、对称轴为X = A,AZC. /(x)在区间假)单调递增D. /(戈)的最小值为一2【答案】AC【解析】/(x) = sinf2x+cos 2xI 4.C3兀3兀CC3兀.c3兀=sin2xcosFsincos2x+cos2xcossm2xsn4444=sin2x+cos2x-cos2x-sin2x=-2sin2x，2222即/(X)=-2sin2x,对于A,=-2sin2x-J=2cos2x,易知为偶函数，所以A正确；对于B,/*(x)=-5Sin2%对称轴为2x二工+E,ZZ=x=3+生次Z,故B错v,242误：对于C,xe(m，5),2xe(5,兀)，y=sin2x单调递减，则/(6=-
8、J5sin2x单调递增，故C正确；对于D,/(x)=-2sin2x,Msin2x-l,l,所以/(x)-匈，故D错误;故选：AC10.已知复数z,W均不为0,则（）A. Z2 =I ZI2B.Z _ Z2片讦_Z_ZCZ-W=zwD.=IWW【答案】BCD【解析】设z=+历(。力R)、W=C+M(c,dR)；对A：设z=+为(,bcR),贝Jz?=(a+Z?i=?+2岳一Zr2=?/+2bi,z2=(jy=/+/,故A错误；22对B：N=上,又zz=z,即有=;y,故B正确；zzzZz对C：z-w=a+bi-c-ch=-c(-J)i,则z-w=-c-(b-d)i,z=abw=cdi则z-w=a
9、-Z?i-c+M=ac(Z?-d)i,即有Z-VV=Z-w，故C正确;对D：z _ a + b w c + dac+bd77Z;ad-be c2+d2a2c2 + Iabcd + b2d2 + a2d2 - Iabcd + b2c2a2 c2 +b2d2 +a2d2 +/?V tz2c2 +b2d2 +a2d2 +b2c2(+bi)(c-di)ac+bd-(ad-bc)i(cJi)(c-Ji)Ic2+d2ya2c2+b2c2+a2d2+b2d2c2+d2，ZZ故一二一,故D正确.ww故选：BCD.己知函数/()的定义域为R,且若/(+y)+()(y)=4肛，则()【答案】ABD【解析】令x=；
10、、y=o,则有/(gJ+/(g)x/(o)=/(；Ji+/(o)=o,又故1+/(0)=0,即/(O)=T,即“o)+)m=,由/(o)=,可得了(；)/：即F(X-g)=-2x,故函数f(%-g是奇函数，有/(%+5=2(x+1)=-212,即X+=2.x2,即函数/1%+；)是减函数，令x=l,有/-=-2l=-2,J故B正确、C错误、D正确.故选：ABD.三、填空题12 .己知集合A=-2,0,2,4,3=Xx-3m,若AB=A,则加的最小值为【答案】5【解析】由4B=A,故AU8,由x-3zn,得%+3xm+3,故有4w3-2-+3即tnm5即加的最小值为5.故答案为：5.13 .已知
11、轴截面为正三角形的圆锥MM的高与球。的直径相等，则圆锥MM的体积与球O的体积的比值是,圆锥MM的表面积与球。的表面积的比值是【答案】I1【解析】设圆锥的底面半径为，球的半径为R,因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高力=石一母线=2r,由题可知：h=2R,所以球的半径A=立所以圆锥的体积为K =：X(TIX/2Jx币r = *r3，44球的体积K=-W=一兀X233圆锥的表面积Sl=Ttrl+r2=3r2,球的表面积S2=47tR2=42故答案为：；1.14 .以max表示数集M中最大的数.设OVab0,b=-n-p所以11,a-m-n-p若b2a,则人=l-p2（l-m九p）,故2m+“+
12、pl,2M 2m 因此l,则l一一+1一加一一pl,即阳+2+2pl,=maxb-a,c-b,l-c=nixfn,n,p,Mm则2M2,故5Mm+2+2pl,则,2M2p当且仅当?+2+2p=l且max肛,p=(时等号成立，如取现=P=I时可满足等号成立，综上可知111然。-4,0-。,1一。的最小值为(，故答案为：I四、解答题15 .已知函数/(x)=hr+2+ar+2在点(2(2)处的切线与直线2x+3y=0垂直.(1)求。；(2)求/(x)的单调区间和极值.解：z(x)=+2x+tz,1则T=e+2x2+=j+,由题意可得(9+a)x(_|)=_l,解得a=-3；(2)由=-3,故/(x
13、)=hu+2-3+2,则/，(力=_1+2工_3=2十3x+1=(2x1)(x1),”。，XXX故当Ox0,当gxl时，,(x)Gooc,又Oen5。=。，OCU平面ABa）,3。U平面ABCO,所以C0_L平面A3CZ(2)解：【方法一】：由题知正方形ABa)中ACi80,GoJ平面A3CQ,所以建系如图所示，则5(0,衣),(,-0),人(立0,0)&-忘,0,0)，6(0,0，旬，则A41=CC=(,0,),AB=N,立0),AD=(-6,-垃M,设面BAA1的法向量为m=(苦,H,Z),面DAA1的法向量为=(x2,y2,z2),则机二 (LL-I)AAm=O2x1+2z1=O则1n，
14、取芭;1,ABW=O-2xl+jlyx=0AAn=O1应x,+z,=O/、,nLL取=1，则=(1,T,T)ADm=0-2x2-y2y2=0设二面角8A4。大小为。，贝 IJkOSM =tnnmn33 33所以二面角B-AA-D的正弦值为空.3【方法二】：以O为坐标原点，08的方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设得3(,0,0),A(O,-,O),A(O，-25,J),D(-2,0,0),C1(,2),C(,2,),A41=CC=(0,-2,2),B=(2,2,O),AD=(2,2,0).设m=(x,y,z)是平面AA1的法向量,in. AA1 = 0m AB =
15、02y + Jlz = 0y2x + f2y = O可取比=(I,一 1,一1).nAA =O,即H-AD = O设=(p,q,r)是平面AAo的法向量，可取=(1,1,1).所以CoS?,=-Mm3因此二面角B-AA-D的正弦值为迈.318.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸，过尸的直线，交C于AB两点，过/与/垂直的直线交C于RE两点，其中民。在X轴上方，M,N分别为A8,OE的中点.(1)证明：直线MN过定点；(2)设G为直线AE与直线8)的交点，求LGMN面积的最小值.(1)证明：【方法一】：由C:y2=4x,故F(L0),由直线AB与直线Co垂直,故两只直线斜率都存在且不0,设直线A3
16、、CD分别为X=叫y+1、x=m2y+,有网恤=T，A(XQJ、耻刈、七(七，%)、。(王，%)，y2=4x联立Uy2=4X与直线A即有广，x=mly+消去X可得产一4叫），-4=0,=16w12+160,故y+%=4叫、y1y2=-4,则西+x2=叫乂+1+仍%+1=町（+%）+2=4w12+2,故内=2加；+,；%=2叫,即M（2加；+1,2办）,同理可得N（2欣+1,2叫），当2/；+2m；+1时，则一=2而普温+1）”I）+?%即y=庄驾2莉T+2g=-组里+2吗（”+3叫一叫7m2+叫m2771n1+mX212+1-2mxfn1-2/nf_x-2mtn2m2+网m1mm2+mm2+m
17、y【方法二设A（X,yj,B（x2,y2）,不妨设王设/:X =冲+ 1,则机0.由*y2=4x x = ny + 得 y2 -4wy-4 = 0，故乂+%=4m，y1y2=-4,4；%=2m,4=（）E）2）+2=2加？+.所以M（2+i,2z）.同理可得N（+l,工.mm）若机1,则直线MN:y=Y-（x-2m2-i）+2m=Y-（x-3）,MN过点（3,0）.w-1v7nv-若6=1,则直线MN:x=3,MN过点（3,0）.综上，直线MN过定点（3,0）.解：法1：由A（X,凹）、8仇,2）、石（不，为）、O（X4，%），则心：y=（x-X）+X,由才=4%、W=4q,x3-xv=3s-
18、yfx-Yv匚+父+）小二4x）阴hy-22%a十1一故A-Av4）,3+7i%+y为+,/+y%+%44以一.7-十,4xV9y.V1+y1y3V1同理可得zy=+/,联立两直线，即,%+%乂+必、一必然y1有上+4=上+必%+y%+y+y2%+必即41（必+必）+乂（乂+%）=4工（为+%）+%（%+）,由y%=-4，同理为）=-4,白My4（%+x）一）%（%+%）4（%+、2-%）故X=%乂（+乂）-乂（%+%）=%+y必一y%”一My2。4（%+%一%-X）4（%+%-%-%）_-4（必+乂-M-必）14（%+%一%一%）=-1,过点G作GQx轴，交直线MN于点,则S,Gw=gyM-
19、XvxXQ-%,由M（2加：+1,2%）、N（2欣+1,2吗），故MfIT2g-2叫=2|叫+向2叫XPlj=4,当且仅当班=1时，等号成立，下证卜。一牝|之4：由抛物线的对称性，不妨设叫0,则加20，当町1时，有=-w（T,0）,则点G在X轴上方，点。亦在X轴上方，wI1二1二0有马+班m_L，由直线MN过定点（3,0）,此时艮一刃3-（-1）=4,1班同理，当町1时，有点G在X轴下方，点。亦在X轴下方，有。，故此时卜一%|4,当且仅当叫=1时，q=3,2）ZZ故|4一牝,4恒成立，且班=1时，等号成立，法2：设H为A。的中点，S为直线GM与A。的交点.由M,H分别为ABtAD的中点知MA/
20、Zx7,所以5cwd=SAMGD，故5g5W=SdMSD-设T为直线GN与AD的交点，同理可得SMHT=Stan.所以SAGMN=S四边形AOMN-由中的法2可得IABl=VTTG7E-必|=4(川+11同理可得IOEI=4(*+1).所以SGMN=；XIONlXIAM=xA却XloEI=2(+)(Jy+)8,当且仅当P=I时等号成立.因此&GMN的面积的最小值为8.19.离散对数在密码学中有重要的应用.设是素数，集合X=l,2,p-l,若w,vX,wN,记U为P除以的余数，肛为，除以的余数；设。X,IMM2，,.”-2,两两不同，若优.=Mgoj则称是以为底b的离散对数，记为=Iog(P)(
21、1)若P=UM=2,求qPjQ;(2)对仍,20,l,2,记7巧为g+吗除以P-I的余数(当叫+吗能被P-I整除时，g加2=。)证明：匕8二“4印口8力力心且)小，其中b,ceX；(3)己知=Iog(P)M.对xX,Z1,2,一2,令M=/巴为证明:x=%G)(1)解：若p=ll,=2,又注意到2K)=Io24=93x11+1，所以QPT=2=L(2)解：【方法一】：当p=2时，此时X=l,此时h=c=l,Z70c=l,故Iog(P),3C)=O,Iog(P)M=OJog(P)flC=O,此时log(p)rt(。C)=IOg(P)/Iog(P)c.当p2时，因IMM2，,.MP-2,相异，故”
22、2,而X,故互质.记=k)g(p).c),q=Iog(P)*,n2=Iog(P)flC,则3W1,W2N,使得an=pm+b,an2=ptn2+c,故。个+项=(P网+b)(pm2+c),故。4+2三c(modp)t设4+n2=r(p-l)+5,05p-2,则勺“2=s,因为1,2,3,.一1除以的余数两两相异，且。,2。,3。,.(。一1)。除以的余数两两相异，故(P-I)!三x2x3”,.x(l)(modp),故三l(modp),故a”？=a=bc(modp),而优三?G)c(modp)-hc(modp),其中Ok“一2,故S=即IOg(P)“。C)=Iog(P)/kg(p)/.法2：记4
23、I=d+gp,rtj=i+m2p,小X*切,其中网，w2,是整数，则优小=1e。叫+(WvZ+j巧仍)+左)，可知他必优2必=s巴因为1，。，/闷，/-2,两两不同,所以存在i0,1,卬一2,使得=一,即。7-=(屋-1-1)可以被整除，于是”1一1可以被整除，即球-T8=若i0,则pT-il,2,p-2,p-101，因此i=0,api,0=1.记=Iog(P)/,Zn=IOg(P)/,n+m=nm+l(p-V),其中/是整数,则6Gc=an0a肛=anm=anm+pl10=anm,0OaSDq=加即log(plSC)=Iog(P)/log(p)ac.(3)证明：【方法二】：当b2时，由可得三
24、l(modp),若b=l,则b,i三l(modp)也成立.因为=kg(p)/,所以a三。(modp).另一方面,当十三必俨)，三(X从凯产产2)三(H/)/-三(H/)/勺三hpi三x(l(modP)三x(modp).由于xX,所以X=%Wk2)，.法2：由题设和(2)的法2的证明知：k*nky2=x0bk=x(=x0,0).0,0=x0a0a0-0an(p-2)”-2),ky2=y0y0.0y=两嬴区左拓广=K，小高尸nkR故以乂S2)盾=X00.0t70ap-200p-2ap-20nk=xap-0ap-由(2)法2的证明知pT=1，所以必区严片2)=.1x1+21/小由叫加，=1,即y=（x3）,/M2+w1/H2+n1m2+w1故x=3时，有y=.二（3-3）=。,此时MN过定点，且该定点为（3,0）,当2喈+1=+1时，即加i=涌时，由n12=-1,即班=1时，有w4=2+1=3,亦过定点（3,0）,故直线MV过定点，且该定点为（3,0卜
