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1、北京市西城区2023-2024学年度第一学期期末试卷高三数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合A=xl).故选：C2 .在复平面内，复数匚工对应的点位于()1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】化简复数，从而求得对应点所在象限.【详解】-172jx.1-=l+2i,对应点(1,2),在第象限.11X(-1)故选：A3 .设,0R,且8,则()A.B.tanatanbC.3-abb【答案】D【解析】【分析】利用特殊值以及函数的图象、单调性等知识确定正确答案.【详解】A选项，若。=1*二
2、一1,满足但,!，所以A选项错误.abB选项，若。二,。二巴，满足，但tanaVtan力，所以B选项错误.33C选项，若=3力=2,满足。方，但3-。=2-。，所以C选项错误.E?X0D选项，对于函数y=HM=-,图象如下图所示，-X,x=4上的点,画出图象如下图所示，由图可知，IPH的最小值为4-1=3.则.ABC的面积为(24【答案】B3C.一23D.-4【解析】【分析】利用余弦定理求得c,进而求得三角形48C的面积.【详解】由余弦定理得7=2+c2-2cos6()o=(-c)2+c=4+c,所以。c=3,所以S,r=csinB=.AbC24故选：B7 .已知函数/(x)=In匕=则()l
3、-xA. 7(x)在(TI)上是减函数,B. /()在(TI)上是减函数,C. 7(x)在上是增函数,D. 7(x)在(TI)上是增函数,且曲线y=G)存在对称轴且曲线y=/(x)存在对称中心且曲线y=G)存在对称轴且曲线y=/(x)存在对称中心【答案】D【解析】【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.【详解】由上0得G+l)(x-l)O,解得一Ivxvl,所以7(x)的定义域是(-1,1),1-x/(x) = In 吉=In1-xln(-1+T丁=-1+一在(-1,1)上单调递增，y=InX在(0,+8)上单调递增,1-x根据复合函数单调性同增异减可知/()在上是增函数
4、，TiW=MEl=-喈=-(),所以/(X)是奇函数，图象关于原点对称，即D选项正确.故选：D8 .设，力是非零向量，则“WW”是dW的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据数量积的定义，结合卜OS2。I0,1,利用充分、必要条件的定义，结合不等式性质进行分析判定.【详解】若同忖成立，则,力卜同MCOSa,小时似麻，所以充分性成立，若卜”卜卜厂成立，即卜/?卜同网ICoSa同VM2,等价于同gs,.网(因为0),当上osa,.=；,同=2忖时，满足则同卜osaW，但同=2忖忖，故必要性不成立，所以“同网”是“卜向时”的充分不必
5、要条件，故选：A9 .设(是首项为正数，公比为的无穷等比数列，其前项和为5”.若存在无穷多个正整数%,使0,则q的取值范围是()A.(8,0)B.(,1C.1,0)D.(0,1)【答案】B【解析】【分析】对g进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案.【详解】依题意40,q0,若40,则40,S0,此时不存在符合题意的3所以q0若“=一1,则=4X；_(_?)二知一(一1),当为正偶数时，Sfl=O,所以存在无穷多个正整数左，使St0.当一lg0,所以S.0,此时不存在符合题意的hq当40,当是正奇数时，所以S“0,此时不存在符合题意的女；l-q当是正偶数时，5n0,函数/(x)=sin
6、5.若曲线y=(H关于直线X=B对称，则G的一个取值为.6【答案】6Z+3,2N(答案不唯一)【解析】【分析】根据三角函数的对称性求得正确答案.【详解】由于曲线y=f()关于直线=3对称，6TTTT所以=E+,解得g=6A+3,由于g0,则AN.62故答案为：6Z+3,ZN(答案不唯一)13 .己知函数/a)=21og2xTog2(x-4),则的定义域是；无)的最小值是一【答案】.(4,).4【解析】2【分析】由函数的解析式有意义，列出不等式组，求得/)的定义域，化简=IOg2一，令X4r=x-40,得至j()=i0g21，结合基本不等式和对数函数的单调性，即可求解.【详解】由函数/(x)=2
7、1og2五一睡2(工一4)有意义，则满足I，。，解得尤4,7Xx4所以函数/(1)的定义域为(4,+8),又由/(x)=2Iog2X-log2(x-4)=Iog2令f=x-40,可得x)=log2+4)2j01A当且仅当r=7时，即f=4时，即x=8时取等号,所以g(x)16,所以/(x)8)=log216=4,所以函数元)的最小值为4故答案为：(4,+);4-14 .己知抛物线C：V=8工则C的准线方程为；设C的顶点为0,焦点为厂.点。在C上，点。与点。关于y轴对称.若。/平分NPbo,则点P的横坐标为【答案】.x=-2.2【解析】【分析】根据抛物线方程求得准线方程，利用IPQHP目以及抛物
8、线的焦半径公式求得尸点的横坐标.【详解】抛物线F=8x,2p=8着=2,所以准线方程为冗=-2,焦点以2,0),/2(2设P1，则Q一7J，V8xa./(%)在区间(0,*q)上单调递减；当O时，/(x)存在最大值；当和N(X2,f(x2)(x2。时，“X)=T3在(,+“)上单调递减，此时/()=-一，所以/G)在区间(O,+8)上单调递减，故成立；对于，如图，当0时，当a时，/(x)=T2+/在(OM)单调递减，在(-a,0)单调递增，此时司的最大值为/(0)=20;当x。时，x)=T3在(,+e)上单调递减，此时元)的最大值为/()=?0,所以/U)存在最大值，最大值为/(0)=/，故正
9、确；对于，当av时，y=在R上单调递减，当X=G时，y=a2,当4时，/(力=一+/在(8,4)单调递增，此时的最大值为f(a)=-a2+a2=O4时，/(x)=-x3,设(x)=_x3_or=_x(x_&)(x+&),由MX)=-X3-Or=一(-7)(+7)=O,解得X=4H,x2=0,x3=4a,，对于，当 0时，当X4时，/(x) = -X2 +2 ,当a=-1时，Xy=ci=-1=ci，如图，此时直线V=与曲线y=()恰有2个交点，故错误;16 .已知函数/(%)=2sinxcosx-2cos2x的一个零点为工.(1)求。的值及“X)的最小正周期；(2)若加()M对Xe恒成立，求加的
10、最大值和”的最小值.【答案】16.a=6最小正周期为兀17 .机的最大值为一2，M的最小值为1【解析】【分析】(1)根据二倍角公式以及辅助角公式化简，即可代入求解=JJ,由周期公式即可求解,(2)根据整体法求解函数的最值，即可求解.【小问1详解】/(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-l,由于/=-6Z1=O,故(I=邪,22所以/(x)=3sin2x-cos2x-l=2sin(2x-)-1,周期为加，6【小问2详解】,八兀,-TCit5当0,一时，2x，,1.2J6L66故当=g时，F(X)取最大值1，62当一二?时，可取最小值一2,因此一2(j)l66因此l,m
11、-2,故Z的最大值为一2，M的最小值为117.生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布
12、列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为4，巧，七，其方差为s。样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为力,%，为，以，其方差为学；为，巧，乙，,，为，丁3，”的方差为.写出1，S；的大小关系.（结论不要求证明）3【答案】（1）20z3（2）分布列详见解析，E（X）=-（3） S；512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案.（2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望.（3）通过计算s；来确定正确答案.【小问1详解】从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，QAanQ这2人都最喜爱使用跑步软件一概率为RX=二.
13、2008020【小问2详解】因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为8x4=2,80所以X的所有可能取值为0,2,P（XHC5R、C2Cl15（、C；C；3P（X-）一/五$（一1）一下争吵一2）-可-亥,所以X的分布列为：X012P514152832851sRa所以E(X)=OX+Ix+2x=.J1428284【小问3详解】x+% + % + _i 441 .128数据：X1,X2,X3,44，%，月，%，对应的平均数为=184/22/.-2/-2/-2g、i(0.4-0.25)2+(0.3-0.25)2+(0.2-0.25)2+(0.1-0.25?+S所以2，f1，18。4。4。1338-
14、1280所以s；vs；J_A5，由于E,POu平面尸A。，所以ABs平面PA。；【小问2详解】因为ABj.平面PAO,ABHCD,所以CD_L平面240，ADPoU平面PA。，所以8-LAZ),8_LQD,而尸Z)J_平面A3CQ,AD,Cu平面ABC,所以PD_LAO,POJLCD,由此以。为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则。(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),所以C3=(2,0,0),CP=(0,-2,2),DE=(l,0,l),设平面P6C的法向量为市=(x,y,z),，故可设成=(O4/)，m-CB=2x=
15、0则rhCP=-2y+2z=0设直线OE与平面PBC所成角为,贝IJ sin a =mDE1_1wDE222由于(r9()o,所以0=30,所以直线。E与平面PBC所成角的大小为30.【小问3详解】因为EA=(-1,0,1),所以点E到平面PBC的距离d1 _42由于尸。_1_平面ABCQ,BCu平面AJBeD,所以PD上BC,由于BC_LCD,PDcCD=D,PD,8U平面PCo,所以BC工平面PCD,由于PCU平面PC。，所以5C_LPC,所以四面体PEBC的体积V=LS尸=LXJ2x2式X走=233223且经过点C（2,l）.（1）求E的方程；（2）过点N（OJ）的直线交E于点A8（点A
16、8与点C不重合）.设A8的中点为M，连接GM并延长交E于点。.若M恰为CD的中点，求直线A3的方程.【答案】（1）-+L=82（2）=0【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得“Ac,进而求得E的方程.（2）根据直线48与轴是否重合进行分类讨论，当直线AB与轴不重合时，设出直线48的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，利用根与系数关系来确定直线AB的方程.【小问1详解】a241/+后=1,WWa=2j2.b=-J2,c=ya2=b2-c2所以椭圆E的方程为三+=1.82【小问2详解】若直线AB与)轴重合，则M与原点重合，符合题意，此时直线A3的方程为X=0若直线AB与)轴不重合
17、，设其方程为y=h+l,Iykx+X2V2消去y并化简得（4公+l）2+8Ax-4=0,F-1-=182=64k2+16（4公+1）=128左2+160,设 4(%,凶),8(%2，%)，则%+%2-Sk止 十 r*“ 4A:2 + 1xl + X2 _ -4k2 4k2+%5i = g因为“是CO的中点，所以而=2xm -xc 二产 -2,y0 = 2yM -yctK + 1因为 + 4）=8,所以（*2j+4（7TI-8 = 0,整理得4k3+Z=0,解得L=0，此时直线A3经过点C,不符合题意，舍去.综上所述，直线AB的方程为冗=O.20.已知函数/(x)=,其中0.(1)当=l时，求曲
18、线y=(x)在点(1,7(1)处的切线方程;(2)求/(x)的单调区间;(3)10l,判断了(玉)一/(W)与的大小，并说明理由.芭X2【答案】(1)y=e(2)增区间(：,+8),减区间(8,0),(0,(3)/(X)-/(工2)0,所以在区间(一8,0)和(Oq)上r(Voj(X)单调递减，在区间,+8上/(工)0,/(冗)单调递增，所以/)的增区间减区间(y,),:【小问3详解】当王且了工20时，/()-(2)，证明如下：X x2令g(x)=/(X)-则gx)=(-?；+1,设MX)=(ar-1)*+1,“(无)=a2xeax,所以在区间(,0)上hx)O,(x)单调递增，所以z(x)M
19、)=O,即g(%)o,所以g(x)的单调递增区间为(-8,0),(0,+8).当OVXl占时，g(%)vg(),即F(XI)一/(%)L，XI X2当xWO时，g(%)vg(),即，(内)一F(X2)V，Xx2综上所述，当百。时，)一/(%).XX2【点睛】求解函数单调区间的步骤：(1)确定了(九)的定义域；(2)计算导数r();(3)求出;(力=0的根；用/(力=O的根将“力的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内广(力的符号，进而确定的单调区间.21.给定正整数N3,已知项数为用且无重复项的数对序列A：(玉,),(%,%)，一，(为“，：)满足如下三个性质：4y1,2,N,且个y(i=l
20、,2,机)；和=y(i=l,2,-1)；(P，)与(q,)不同时在数对序列A中.(1)当N=3,m=3时，写出所有满足玉=1的数对序列A；(2)当N=6时，证明：n13;(3)当N为奇数时，记?的最大值为T(N),求T(N).【答案】4:(1,2),(2,3),(3,1)或4:(1,3),(3,2),(2,1)(2)证明详见解析(3)r(N)=；N(N-I)【解析】【分析】(1)利用列举法求得正确答案.(2)利用组合数公式求得团的一个大致范围，然后根据序列A满足的性质证得加13.(3)先证明T(N+2)=7(N)+2N+1,然后利用累加法求得T(N).【小问1详解】依题意，当N=3,m=3时有
21、：4:(1,2),(2,3),(3,1)或4:(1,3),(3,2),(2,1).【小问2详解】当N=6时，因为(P，夕)与(夕，)不同时在数对序列A中，所以mC;=15,所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次，又因为苦+=(z=l,2,m-),所以只有E,yn对应的数可以出现5次，所以ng(4x4+2x5)=13.【小问3详解】当N为奇数时，先证明7(N+2)=T(N)+2N+1.因(p,g)与(夕,p)不同时在数对序列A中，所以T(N)Cj=gN(N-l),当N=3时，构造A(l,2),(2,3),(3,1)恰有亡项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为L对奇数N,如果和可以构造
22、一个恰有Cj项的序列a,且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么多奇数N+2而言，可按如下方式构造满足条件的序列4：首先，对于如下2N+1个数对集合：(1,N+1),(N+U),(1,N+2),(N+2,1),(2,N+l),(N+l,2),(2,N+2),(N+2,2),(N,N+1),(N+1,N),(N,N+2),(N+2,N),(N+1,N+2),(N+2,N+1),每个集合中都至多有一个数对出现在序列A中，所以T(N+2)T(N)+2N+1,其次，对每个不大于N偶数i2,4,6,N-1,将如下4个数对并为一组：(N+l,z),(i,N+2),(N+2,i+l),(i+l,N+
23、l),共得到与二组，将这巨U组对数以及(LN+1),(N+1,N+2),(N+2,1),按如下方式补充到A的后面，即A(I,N+1),(N+1,2),(2,N+2),(N+2,3),(3,+1),(N+l,N-l),(N-l,N+2),(N+2,N),(N,N+1),(N+1,N+2),(N+2,1).此时恰有T(N)+2N+1项，所以T(N+2)=T(N)+2N+1综上，当N为奇数时，T(N)=(T(N)-T(N2)+(T(N-2)-T(N4)+(T(5)-T(3)+T(3)=(2(N-2)+l)+(2(N-4)+1)+(23+l)+3=(2(N-2)+l)+(2(N-4)+l)+(23+l)+(2l+l)=(2N-3)+(2N-7)+73=维43I=I222v7【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤：U)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
