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1、房山区2023-2024学年度第一学期期末检测试卷高三数学本试卷共6页，共150分,考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合A=H。，1，2,3=Hlr0,则ArB=()A.2B.1,2C.-2,0D.-2,0,1,2【答案】C【解析】【分析】计算出集合8后由交集定义运算可得.【详解】B=xl-x=xx23=4x8=32.故选：B.5 .已知。，Z?为非零实数，且b,则下列结论正确的是（）,11b
2、a11A.abB.-C.D.-7abababab【答案】D【解析】【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.【详解】对A：若0b,则/b0,则,Z?0,则/，ab0,左右同除。b,有:2,故错误；ba对D：由且b为非零实数，则一g-一7=0,即上,故正确.ababahabCrb故选：D.6 .已知直线Ly=2x+b与圆C：(工一1)2+()，+2)2=5相切，则实数6=()D. 1 或一 9A. 1或9B.T或9C.-1或一9【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径，可求得实数匕的值.【详解】圆C的圆心为C(L-2),半径为正,=琳,即M+4=5，解得b = l或
3、9.|2+2+4因为直线/：2x-y+b=0与圆C相切，则故选：D.7 .已知函数/(X)满足/(-X)/(x)=0,且在0,+8)上单调递减，对于实数。，江则“”是fci)f(b)w的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，可得函数/*)是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得.【详解】由函数/(幻满足/(一工)一/*)=。，得函数/CO是R上的偶函数，而/(%)在0,+)上单调递减，因此f(a)f(b)O/(Ia)/(III)Olaba2b2,所以“/于(b)”的充要条件.故选：
4、C8 .保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过渡后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：亳米/升)与过滤时间，(单位：小时)之间的函数关系为P=4e-(f0),其中&为常数，k0,玲为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%,那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的(参考数据：(1)o585)()A. 12%B. 10%C. 9%D. 6%【答案】A【解析】【分析】根据题意可得4e =玲，解得e=3 ,从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式
5、，再将f=12代入即可求得答案.【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉8。,所以外二皿=：兄，即e-”=(,所以再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为.e-, = (e)4 = 0.58512%故选：A.229 .已知双曲线C2=l(0,b0)的左、右焦点分别为6，工，尸为双曲线C左支上一动点，。为双曲线C的渐近线上一动点，且PQ+IPKl最小时，P耳与双曲线C的另一条渐近线平行，则双曲线C的方程可能是()2B. -/=13【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义确定PQ+*最小时，点。的位置，进而求出的关系即得.由对称性不妨令点尸在第二象限,由双曲线定义得PQ+P闾=IPQ
6、l+p+2埒2+2,当且仅当P为线段。与双曲线的交点时取等号，因此PQ+P周的最小值为16。1的最小值与2。的和，显然当匕。与渐近线法+ay=0垂直时，IKQl取得最小值，而P月平行于渐近线6-缈=0,于是双曲线的两条渐近线互相垂直，即2=1,a则双曲线一卫=1的渐近线方程为y=O,显然选项ABD不满足，C满足，Cb2所以双曲线C的方程可能是三-=1.22故选：C10 .数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”一与“密率”一.它们可用“调日法”得711334到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率.由于jV乃1，取3为弱率，4为强率，计算得4=*=
7、J,故/为强率，与上次的弱率3计算得出二岩=?，故的为强率，继续计算，.若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似25值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推.已知勺=r,则团=()OA.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】【分析】根据题意不断计算即可解出.3103+1013【详解】因为的为强率，141so?7p11头己品柒.UtlTlNJFT,Cllt131+34-13.1415927,5即为强率；41+4-13.1415927,6即为为强率；51+5-13.1415927,7即4强率；61+6-122可得，a1=3+22_25：=3.
8、1250、x0,故x。，因此COSA=正，又OO)【解析】【分析】设出点M的坐标，利用已知列出方程化简即得.【详解】设点May),依题意，MF=y+2,即不百=Iyl+2,整理得/=4(y-y),所以M轨迹方程是V=-8y(y0)或x=O(y0).故答案为：犬2=_8武0)或工=0(0)15 .如图，在棱长为。的正方体ABCo-4AG。中，点尸是线段BC上的动点.给出下列结论：A尸_L8R；AP/平面AG。；直线AP与直线AA所成角的范围是点P到平面ACQ的距离是且.3【解析】【分析】建立空间直角坐标系后逐个分析即可得.【详解】以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则有Z)(0,0,0)、4
9、(,0,0)、A(a，。，。)、8(,0)、A(0,0,)、B1(a,a,a)、C(OM,0)、G(O,),则3Q=(-,0,-a)、BD=(-a,-a,a)、AG=(一，)、A1D=(-a,0,a)Ag=(,a,4)、AA=(-a,0,0)、AA1=(0,0,a),设BP=O,1,则AP=Ag+gP=(-IaMM而)，APBD1=Aa2-a2+a2-a2=0,故AP_LB,故正确；设平面AG。的法向量为n=(x,y,z),AC1n=0(-ax+y=O/、则有,即1八，取X=1,则后=(11,一1),A.Dn=O-ax-az=0,I有AP=-U+a-a+4=0,故AP_L，又APL4,CD.L
10、AD,PNAPu平面f),PAryAD=A,故CQJ平面04。，又U平面RAO,故CD_LP),故P。、CD.AO两两垂直，故可以力为原点，建立如图所示空间直角坐标系,有Z)(0,0,0)P(0,0,2)3(2,2,0)、C(0,2,0)、M(0,0,1)、N(l,2,0),则MN=(1,2,1)、Pfi=(2,2,-2).PC=(0,2,-2),令平面PBC的法向量为n=(x,y,z),PBn=O,即PCn = O2x+2y-2z=0.、2-2z=0令A】则=(/),故MN与平面PBC所成角的正弦值为3.MN n2-1IMNM - l+4 + l+T=B6,6条件：PB=23由PDd.AD且
11、4PAD为等腰三角形,故PD=AD,又尸4=2应，故O=AO=也x2=2,有PD=AD=AB=BC=CD=2,2由P8=2JJ,则PB?=2+A2,故抬_LA又ABllCD,故C_LP4,又CO_L4。，PA、ADU平面DAO，PArAD=A,故CD_L平面240,又U平面RAO,故C)_LP，故尸。、CD、AO两两垂直，故可以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系,有D(O,0,0)、P(OQ,2)、3(220)、C(0,2,0)、M(0,0,1)、N(1,2,0),则MN=(1,2,1)、PB=(2,2,-2).PC=(0,2,-2),令平面PBC的法向量为n=(x,y,z),PBn=OPC
12、n = O2x + 2y-2z = 0 2y-2z=0，令y = l,则 =（0,1）,则92-1371+4 + 1 1 + 16故MN与平面PBC所成角的正弦值为立.617.已知函数/（X）= JSin（2x + ）网 Jr的图象上所有点向右平移了个单位长度，所得函数图象关O于原点对称.(1)求。的值；设g(x)=/(X)-2cos2+J,若g()在区间(0,上有且只有一个零点，求”的取值范围.【答案】(1)=34【解析】【分析】(1)求出平移后所得函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性，结合夕的取值范围可求得。的值;(2)利用三角恒等变换化简得出g(%)=sin2x-/,由OVXVm可得02
13、xv2m,结合题意可得出关于加的不等式，解之即可.【小问1详解】Z解：将函数/(x)=sin(2x+e)网的图象上所有点向右平移J个单位长度，28可得到函数y二由题意可知，函数y=J2sin2x+-为奇函数，则Q-E=E仅wZ),4可得9=：+E(ZWZ),又因为|同曰，则8=:.【小问2详解】解：由(1)可知，/(x)=V2sin2x+-=sin2x+cos2x,则g(x)=/(x)-2cos2x+g=sin2x+cos2x-(l+cos2x)+=sin2x-因为0冗加，则02x2,由g()=0,可得sin2x=g,TT5TrSjr因为g(H在区间(0,机)上有且只有一个零点，则z2m,解得
14、Fs；=s【解析】【分析】(1)利用古典概型计算公式进行求解即可；(2)利用古典概型计算公式，结合数学期望公式进行求解即可.(3)根据数据的集中趋势进行判断即可.【小问1详解】由图可知，七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，所以该天乙获得流量大于丙获得流量概率为【小问2详解】由(1)可知七天中只有1日、2日乙获得流量大于丙获得流量，尸gin因此X=0,1,2,1021C2111,P(X=2)=-,P(X=I)=721f2121所以X的分布列如下图所示:X012P10211021121E(X)S择唱+24*【小问3详解】根据图中数据信息，甲、乙七天的数据相同，都是1个50,2个30,1个
15、10,3个5；而且丙的的数据最分散，所以，2219.设椭圆C：T+/=l(q60)的左、右顶点分别为A，A2,右焦点为尸，已知IAq=3,离心率为g(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点P是椭圆C上的一个动点(不与顶点重合)，直线&尸交y轴于点0,若A1PQ的面积是&EP面积的4倍，求直线的方程.YV2【答案】19.+2-=l4320.3x2y-6=0【解析】【分析】(1)由题意计算即可得；(2)设出直线，联立曲线，得到尸、。两点的纵坐标，结合面积公式计算即可得.【小问1详解】由IAFl=+c=3,e=,解得=2,c=l,故=夜一c=3，即椭圆C的标准方程为工+匕=1；43【小问2详解】由椭圆
16、C的标准方程为则4(一2,0)、4(2,0)、尸(1,0),由题意可得直线A?p斜率存在且不为0,设l2px=my+2f令X = 0,则y =故qo,-2, m m）X=my+2X2V2,消去X得（3/+4）y2+2冲=O,F-=143即（3机2+4）y+12机y=0,故y=0或y=-2rn3m2+4由4(2,。)，故力=A,则 5 APQTS AtA2Q-S 2P|=|，4同-gx4y =2卜QH)T ,又 S.AFP =5 X(2T)IyPl=甲,即2瓦HyPII=4x苧=2IyPl,若IM43,则%=2%,三Pi=25142即3m2+4=12机工即7?=g,则加=,若IyQlVlyPI,
17、则IyPITyQlTyPI,即网=o,不符，故舍去,22即加=,故/八.：x=-y+2,323即直线4尸的方程为3x2y-6=0.(1)当=O时，求曲线y=G)在点(1,F(I)处的切线方程；(2)当。=1时，求函数的单调递增区间；(3)若函数/(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求。的取值范围.【答案】(1)y=e(3)(O,+oo)【解析】【分析】(1)当Q=O时，求出/(1)、f(l)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；(2)当=l时，求出尸(力，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数“元)的单调递增区间；(3)令g(x)=02+x-1,分析可知，函数g(x)在(0,1)上
18、有且只有一个异号零点，对实数。的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数。的不等式，综合可得出实数。的取值范围.【小问1详解】解：当=0时，/(x)=,则(X)二所以，/(l)=e,(l)=0,故当=0时，曲线y=()在点(1,f(1)处的切线方程为y-e=O,即y=e.【小问2详解】解：当=l时,/G)=g+卜,该函数的定义域为卜,工0,f3=(x* 2 +x-l)ev2Jr(x+2)xc-(x+l)e由0,即d+o,解得一噌或x铝,因此,=1时，函数犬)的单调递增区间为【小问3详解】解：因为/(x) = j, + e则/(%)= _ + 一白卜(r2 +x-l)er2Jr令g(x)=办2+
19、X-,因为函数“X)在(0,1)上有且只有一个极值点,则函数g(x)在(0,1)上有一个异号零点,当=0时，对任意的x(0,l),g(x)=x-l0时，函数g(%)=+xT在(M)上单调递增,因为g(0)=-l0,合乎题意；当v时，函数g(x)的图象开口向下，对称轴为直线X=2。因为g(0)=-lO,不合乎题意，舍去.综上所述，实数。取值范围是(0,+).21.若无穷数列可满足：wN对于D%(oN*),都有联=夕(其中g为常数)，则称4具有性质“Q(n%q)”(1)若qr具有性质”Q(4,2,3)”,且3=1，%=2，6+a9+a11=20,求出；(2)若无穷数列2是等差数列，无穷数列q是公比
20、为2的等比数列，=c3=4,+ci=c2,all=bll+cnf判断%是否具有性质“Q(2,l,3)”，并说明理由；(3)设4既具有性质w(,l,)w，又具有性质“。(川,)”，其中i，yNij,求证：，上P4具有性质iiQ7-,Z+17”./【答案】(1)-3(2) 4不具有性质“Q(2,l,3)”,理由见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)由%具有性质“。(4,2,3)”，可得当z2时，贤=3,结合题意计算即可得；(2)由题意计算出凡通项公式后，检验管是否恒等于3即可得；(3)借助4既具有性质“。亿1q)”，又具有性质“。(兀%)”，则当1时，有誓=%,-=72,则有也xx-=/,%
21、x包xx3.=4,通过运算得到*=*,从而可验a11qa2ajqa2aia+.H证对任意的i+时，是否有S=%即可得.%【小问1详解】由3具有性质“。(4,2,3)”，则当2时，=3,故。6=3/，%=3%,11=3a7=903,又6=1,%=2,故4+为+41=3%+3%+9%=3/+32+9l=20,即2=|5【小问2详解】4不具有性质“Q(2,l,3)”，理由如下： + J = 4c. = 4解得设“=伪+(-l)d,cn=cl2,1,由4二。3=4,bi+c1=c2,b.=cl=I.，故a=3-2，cn=2n,d=3吐=2*3+4 an 2z,-,3n-2则4=btt+clj=2T+3
22、-2,有a”+?=2+2,+3(n+2)-2=2+1+3z+4,不恒等于3,故4不具有性质“。(2,1,3)”；【小问3详解】由5既具有性质Q(i,l,)”,又具有性质Q。4,%)”，即当1时，有&L=%,S=%,64则有-x%LXM=如,L1L乜=必aa2aj%a2aiflLL.fi由故一!=J=Z-=2+?L=fauja+jai+jq,24+14+2aj4a2ai故端=q；，即一/,由ii2i=1，-L=%则一4一%4%a,l+i4a,+j%_宁当li+l,即一il时，有；;-=7-=7=F=%,an-Man7a . 且即对任意的“i + l时，有S = %(H，即%具有性质“。/-i,i + l,% ”【点睛】关键点睛：本题关键点在于通过对数列新定义的分析，从而得到%l=1,色乜=%,并由此得6丁5J-=1-=从而得出=4.cia2ajqa2ai2Jr
