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1、初中几何等腰三解形性质及典型试题一.重点、难点：重点：理解和掌握等腰三角形以下性质：1 .等腰三角形轴对称性质；2 .等边对等角；3 .三线合一。难点：1 .推导性质。通过操作，观察、分析、归纳得出等腰三角形性质的过程。2 .应用性质。等腰三角形三线合一性质的运用，在解题思路上需要作一些转换。二.知识要点1 .等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三角形；其次，能够明确指出的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。如图，AABC中，假设AB、BC、AC三边中有其中两边相等，那么aABC称为等腰三角形。2图1中AB=AC,图2中AC=BC,图3中AB=BC。相等的两边称为等腰三角形的
2、腰，另一边称为等腰三角形的底边；两腰的夹角称为等腰三角形的顶角，另外两个角称为等腰三角形的底角。你能指出上述三幅图中的腰、底边，顶角和底角吗2 .等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线不是顶角平分线本身。根据轴对称图形的概念我们知道：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的局部能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形。如果在AABC中，AB=AC,我们画出顶角NBAC的平分线AD,沿着AD对折AABC会发现什么结论通过操作显示出等腰AABC是一个轴对称图形。它的对称轴就是角平分线AD所在的直线。这里要注意到对称轴
3、的概念直线，而AABC的顶角平分线是一条线段即这里的折痕，不能把它们混为一谈，同时也要把一般角的平分线射线与它们区别开3 .推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。因为等腰三角形是轴对称图形，而图形轴对称变换是全等变换中的一种基本变换，所以如以以下列图，AABC中，假设AB=AC,AD是AABC的NBAC的平分线，当我们沿AD折叠时，会发现AD两旁的ABD与AACD能够重合即AABD04ACD0再根据全等的性质可以得出一些对应相等的边、对应相等的角。ZB=ZC,ZBDA=ZCDA=90oBD=CD追根溯源来看这些相等的边和相等的角
4、是由什么条件带来的，就可以得出等腰三角形的性质。4 .掌握等腰三角形的以下性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一。我们把在上述图形中由等腰三角形AB=AC这个条件出发，得出的角相等NB=NC,这条性质称为等腰三角形的两个底角相等。也称为：同一个三角形中，等边对等角由等腰三角形AB=AC和顶角平分线ZBAD=ZDAC这两个条件出发，得出BD=CD,ZBDA=ZCDA=90o即ADLBC于D，这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为等腰三角形三线合一。5 .会利用等腰三角形的性质进展简单的推理、判断、计算和作图。利用等腰三角形的性质解题时，一定要注意
5、正确地表述性质的条件和结论。结合图形我们可以这样来表述：如以以下列图，AABC中，VAB=AC,AZB=ZCo等腰三角形的两底角相等。2VAB=AC,ZBAD=ZDAcBD=CDJLADBCo或AB=AC,BD=CDNBAD=NDAC且AD_LBC。或YAB=AC,ADBCZBAD=ZDAC且BD=CDo等腰三角形三线合一J三、【典型例题】例题1.如图D在AC上，AB=AC,AD=DB,请指出图中的等腰三角形，以及它们的腰、底边、顶角及底角。分析：这里要根据条件来说明图形的名称，而不是凭直观和想象。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，另外的两角叫底角。解：图中的等腰三角形有：AAB
6、C和4ADB它们的腰、底边、顶角、底角分别列表如下：腰底边顶甭底角ABCAB、ACBCZBACNCBA,NCADBAD、DBABZBDAZBAD,ZABD注意：在没有明确三角形的具体条件的情况下，关于等腰三角形的有关概念腰、顶角等有多种可能的结果存在。如：ZSABC是等腰三角形，就有可能AB、AC是腰或AB、BC是腰或AC、BC是腰，相应的底边、顶角、底角也都会发生变化。所以在表达等腰三角形时，一般要明确指出相等的两边是哪两边。例2.如以以下列图，在AABC中，AB=AC,D、E分别是AB、AC边上的点，且AD=AE,AP是aABC的角平分线。点D、E关于AP对称吗DE与BC平行吗说明理由。分
7、析：根据等腰三角形的轴对称性研究以下问题：1将等腰AABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗为什么边AB与AC呢2AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E,点B与点C分别有若何的位置关系3轴对称图形有什么性质由此可推出AP与DE,BC有若何的位置关系那么DE与BC呢解：点D、E关于AP对称，且DEBC。理由如下：因为AP是NBAC的平分线，AB=AC,AD=AE0那么当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，所以点B、C关于直线AP对称，点D、E也关于直线AP对称，所以BCJAP,DEAP,所以DEBC。注意：这里AB与AC重合以及AD与AE重合的理由是：
8、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是对称轴。例3.在aABC中，AB=AC,ZA=50o,求NB,NC的度数分析：根据等腰三角形的性质：两底角相等。结合三角形的内角和等于180来计算。解：在aABC中，VAB=AC,AZB=ZC在一个三角形中等边对等角JVZA+ZB+ZC=180o,ZA=50o,NB=NC=65注意：此题也可以用代数的方法列方程来解，其解题依据仍然是：等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为180o例4.线段a,h如以以下列图用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h。分析：1假设图形已经作出，BC长，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC,
9、关键是要作出哪一个点2BC边上的高的长度为h,你能作出BC边上的高线吗等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系由此能确定顶点A的位置吗作法：如以以下列图。1 .作线段BC=a。2 .作线段BC的垂直平分线/,交BC于点D.3 .在直线/上截取DA=h,连结AB,ACo那么AABC就是所求的等腰三角形。注意：这里作图的依据是：等腰三角形三线合一的性质。更准确地理解三线合一的性质应该是“把等腰、底边上的高、底边上的中线、顶角平分线作为四个元素，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素作为结论。例5.在aABC中，AB=AC,直线AE交BC于点D,0是AE上一动点但不与A重合，且OB=OC
10、,试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由。猜想：AEBC,BD=CD说理：VAB=ACOOB=OC()AO=AO公共边AB0AC0SSSJZBAO=ZCAoAEBC,BD=CD等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合注意：等腰三角形的三线合一的性质其本质是等腰三角形是轴对称图形。而轴对称又是全等变换中的基本形式，因此常用全等来研究等腰三角形中的问题。例6.探索：等腰三角形两底角的平分线大小关系。:如图，在aABC中，AB=AC,BD、CE分别是两底角的平分线。猜想：BD=CE.解：VAB=ACX.ZABC=ZACb在一个三角形中等边对等角VBD.CE分别是两底角的平分线ZDB
11、C=ZABc,ZECB=ZACb角平分线的定义ZDBC=ZECb,在aDBC和AECB中NDBC=NECB,BC=CB公共边，ZABC=ZACB,DBCECB(ASAjBD=CE全等三角形对应边相等注意：等腰三角形除了顶角平分线、底边上的中线、底边上的高以外，还有其他一些相关的线段，探索它们之间的关系也属于等腰三角形性质的一局部，此例就是所做的一种探索，按照这种思路大家还可以对其他线段进展探索。课后反思：认识等腰三角形并不困难，但要正确表述却不容易。特别是等腰三角形三线合一的性质的应用，很容易只给出一个条件，就得出结论。应用等腰三角形性质进展说理正确的表述格式如下：在aABC中，如以以下列图，
12、VAB=ACAZB=ZC在一个三角形中等边对等角J在AABC中，如以以下列图(1JVAB=AC,Z1=Z2ADBC,BD=DC等腰三角形三线合一JVAB=AC,BD=DCADBC,N1=N2等腰三角形三线合一3VAB=AC,ADBCBD=DC,N1=N2等腰三角形三线合一【模拟试题】【答题时间：30分钟一.填空：在AABC中，AB=AC,D在BC上，1 .如果ADLBC,那么NBAD=N,BD=。2 .如果NBAD=NCAD,BC=6cm,那么NBDA=o,BD=cmo3 .如果BD=CD,那么NBAD=N,AD。4 .如果NB=80,那么NBAC=5 .在AABC中，AB=AC,ZBAC=4
13、0o,M是BC的中点，那么NAMC=,ZBAM=6 .如以以下列图，在aABC中，AB=AC,NDAC是AABC的外角。那么：ZBAC=180o-ZB,ZB=ZDAC=ZCo7 .如以以下列图，在AABC中，AB=AC,外角NDCA=I00,那么NB=8 .如果等腰三角形有两边的长分别为12cm,5cm,这个三角形的周长是cmo二.解答题1 .请写出周长为8cm,且边长均为整数的等腰三角形的各边长。2 .在等腰三角形ABC中，AB=AC,周长为14cm,AC边上的中线BD把AABC分成了周长差为4cm的两个三角形，求AABC各边长。3 .一个等腰三角形的两个内角度数之比为4：1,求这个三角形各
14、角度数。4 .如图AB=AC,BD=DC,AE平分NCAF,试判断AE与AD的位置关系，并说明理由。【试题答案】一.填空1. ZCAD,CD2. 90,33. ZCAD,BC4. 205. 90,20;6. 2180o-ZBAC27. 808. 29二.解答题1 .解：等腰三角形的三边长分别为：2,3,3Cm2 .解：如图，设AD=x,那么DC=x,AB=2xo设BC=y。由题意可以列方程：解之得：X=3,y=2或解之得：X=5/3,y=22/3显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边，所以舍去。所以AABC的三边长分别为：AB=AC=2x=6cm,BC=y=2cm.3 .解：AABC中AB=AC,所以NC=NB假设NBAC：NB=4:1那么：ZBAC+ZB+ZC=6ZB=180o所以NB=30=ZC,ZBAC=120o。假设NB：NBAC=4：1刃卜么：ZBAC+ZB+ZC=9ZBAC=I80所以NBAC=20,NB=NC=804 .解：AEADo说理如下：因为AB=AC,BD=DC所以ADLBC等腰三角形三线合一；NB=NC一个三角形中等边对等角。因为NCAF=NB+NC,所以NCAF=2NB;因为AE平分NCAF,所以NCAF=2NEAF;所以NEAF=NB,所以AEBC同位角相等，两直线平行所以NEAD=NBDA=90所以AEADo
