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1、+ ar + sin%+；）为偶函数，则 =【分析】利用偶函数的性质得到了从而求得 = 2,再检验即可得解.【解析】因为 y = (x) = (x-l)2+ar + sin(N + ) = (x-l)2+or+cosx 为偶函数，定义域第三章函数第二节函数的基本性质1.（2023全国甲卷理科13,文科14）若y=（1）2则=(+l)-1j=2,故=2,此时/(x)=(x-lf+2x+cos%=x2+l+cosx,所以/(T)=(T)*+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),又定义域为R,故/(可为偶函数，所以=2.故答案为2.2. (2023全国乙卷理科4,文科5)已知/(x)=+
2、-j是偶函数，则=()A.-2B.-lC.lD.2【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为/(x)=T-为偶函数，e1JVeK(-xq-xxexe-l则T)=T_(x)e=_LJ=o,jv7JI)er-lQax-ertv-l又因为X不恒为0,可得ex-二,即ex=e3,则x=(-l)x,即l=-l,解得=2.故选D.3. （2023新高考I卷11）已知函数/（戈）的定义域为R,f（）=y2/（X）+X2f（y）,则A./(O)=OB.(l)=0CJ(X)是偶函数D.=0为/(x)的极小值点【解析】选项A,令x=y=0,则/(0)=0,故A正确；选项B,令x=y=l,则/(1)=/(1)+
3、/(1),所以/(1)=0,故B正确；选项C,令x=y=-l,则=+因为/0)=0所以/(_)=()令y=T,则/(T)=*(x)+x2(-l)=(x),所以/(x)是偶函数，故C正确；99f(y)f()f(y)选项D,对式子两边同时除以Xy0,得到一2丁=91O-,xyxy0,x=0故可以设小)=1hHX”当x0时，/(x)=x2lnx,(x)=2xlnx+x2=x(21nx+l),X令r(x)0,解得e令r(x)0,解得OeVe春(-故/(x)在0,”单调递减，在e2,+单调递增.7/Jl(l又一(X)是偶函数，所以/(x)在W,0单调递增，在-8,一4单调递减./(x)的图像如图所示，所
4、以X=O为/(x)的极大值点，故D错误.故选ABC.7r-I4. (2023新高考11卷4)若f(x)=(x+)ln为偶函数，则。=()2x+1A. -IB. OC. - D. I22%-_1【解析】/(x)=(x+)ln-j-,x则/(一力=(-1+。)In=(-x+In4人14人1因为/（x）为偶函数，所以Fa）=f（r）,rt/12x1,x,2x+1zx,2x-即(x+In=(-X+a)In=(x-a)In2,x12x12,x+1所以有x+=x-,得4=0.故选B.5. （2023北京卷4）下列函数中，在区间（0,+）上单调递增的是（）AJ（X）=-InXB./（）=-CJ（X）=_-D
5、J（X）=【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.【解析】对于A,因为y=lnx在（0,+co）上单调递增，V=T在（0,+8）上单调递减,所以f（x）=TnX在（0,+8）上单调递减，故A错误；对于B,因为y=2在（0,+8）上单调递增，y=L在（0,+8）上单调递减，X所以f（）=，在（0,+8）上单调递减，故B错误；对于C,因为y=L在（0,+8）上单调递减，y=在（0,+8）上单调递减，X所以力=-，在（0,+8）上单调递增，故C正确；对于D,因为.U=3M=3T=6,/=3T=3=1J（2）=3RT=3,显然/（x）=3T在（0,+8）上不
6、单调，D错误.故选C.x+2,x0,t/（x）=Ja2-x2-aka,给出下列四个结论:-yfx-,xaf（x）在区间（-l,+oo）上单调递减;当“l时，f(x)存在最大值；设Maja)(%,),V(,(x2)(x2a)t则IMM1；设P(WJa)(3vf),Q(4j(xJ)(x4一。)，若归。|存在最小值，则。的取值范围是；其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析/(力图像，再逐一分析各结论；对于，取=g,结合图像即可判断；对于，分段讨论/(x)的取值范围，从而得以判断；对于，结合图像可知IMM的范围；对于，取。=，结合图像可知此时IPQl存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0,当x
7、时，/()=-7-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；显然，当xc(-1,+8),即-g,+oo)时，/(x)在卜g,)上单调递增，故错误;对于，当l时，当xv-时，f(x)=x+2-a+2“时，/(力=x_1以)的距离最小,当 X=。时，y = (xl) = O ,当 且接近于 X =。处，y2 =(x2) y-%6+1 1，故正确；因为尸（毛，/（毛）（毛 一。），。（七 J （X4）（ZN-。），结合图像可知,要使IpQl取得最小值，则点尸在可（力= x+2xa上，点。在小）同时IPQl的最小值为点O到/（x） = x2;x4的距离减去半圆的半径。，此时，因为/（力=），=
8、工+2（工1）的斜率为1,则ZQp=-1,故直线QP的方程为y=r,联立,解得,则PTl,yx+21y=l显然P（T,1）在f（x）=x+2（xabB.cbaC.abcD.bac【分析】根据对应球、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由y=L01在R上单调递增,则=1.015c=O.605.所以Z?C.故选D.第四节指数与指数函数1. （2023天津卷3）若=1.015,b=1.016,c=0.65,则,b,c的大小关系为（）A.cabB.cbaC.abcD.bac【分析】根据对应球、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解析】由y=1.0F在R上单调递增，则=1.015Vb=LOI6,由
9、y=x5在O,-）上单调递增，则=i.01s=0.65.所以6c.故选D.2. (2023全国甲卷文科11)已知函数/()=e-(f.记=A.bcaB.bacC.cbaD.cab【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解析】令g()=-a-1)?,则g)开口向下，对称轴为X=1,因为一；,而（G+5y4?=9+6V76=6-70,42因为当由二次函数性质知而（G+）2-4?=84-16=43-8=4（3-2）0,也：I-/27 以 6上， 即 综以 又y=e为增函数，故acca.故选A.3. (2023新高考I卷4)设函数/(力=2#引在区间(0,
10、1)单调递减，则。的取值范围是()A.(o,-2B.-2,0)C.(0,2D.2,-kx)【解析】令=x(-a),要使得/(力=2#引在区间(0,1)单调递减，需要满足I=MX-)在区间()单调递减，所以1,所以Q的取值范围是2,同.故选D.4. (2023北京卷11)已知函数/(x)=4+IogzX,Mfl=.【分析】根据给定条件，把X=L代入，利用指数、对数运算计算作答.2【解析】t(x)=4x+log2x,所以/(；)=43+log2；=2l=l.故答案为I.第五节对数与对数函数1. (2023北京卷U)已知函数/(x)=4+匾工，则吗)【分析】根据给定条件，把X=L代入，利用指数、对数
11、运算计算作答.2【解析】函数/(x)=4+log2X,所以f(g)故答案为1.2. (2023新高考I卷10)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级4=2OXlg上,其中常数R)(PO0)是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不PO同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级dB燃油汽车1060-90混合动力汽车1050-60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车IOm处测得实际声压分别为,p2,P3t则()A.p1p1B2lP3C.P3=l0P0D.P1100P2(解析选项A,L1_乙=20Xlga_20XIg上=20xIg-Ig-=20lg-0,PO
12、POIPOPO)Pl所以pP2,所以A正确;选项B,L2-L3=20lg-10,所以lg2g,所以匹M,故B错误;“332p3选项c,L3=20xlg21=40,所以lg%=2,所以9=100,故C正确;PoPOPo选项D,L-L,=20xlg且90-50=40,所以lg八2,所以且100,故D正确.PiP2Pz故选ACD.第六节函数的图像及应用1. （2023全国甲卷理科10,文科12）已知/（%）为函数y=cos（2x+制向左平移2个单位所得函数，则y=（x）与y=交点个数为（）A.lB.2C.3D.4【解析】因为函数y=cos（2x+）向左平移看个单位可得/（X）=-Sin2尤而）=；不
13、一；过（一）与（1）两点，分别作出“）与y=g-g的图像如图所示,4._37t_3t_7Ttrt3t3Tt7t./.11,.,.-考虑2x=-,2x=-,2x=-,即X=-x=-,x=-处/（x）与丁=4-的大小关系,结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.x+2,x0,函数/（x）=必二P,一成Wa,给出下列四个结论：-yx-,xa/（X）在区间（。一1,+8）上单调递减；当a.l时,f（x）存在最大值;设MaJaD（M,a）,N（X2,/（）（9。），则IMM1；设P(WJa)(3vf),Q(4J(X4)(X4一。)，若归。|存在最小
14、值，则。的取值范围是；其中所有正确结论的序号是.【分析】先分析/(力图像，再逐一分析各结论；对于，取=g,结合图像即可判断；对于，分段讨论/(x)的取值范围，从而得以判断；对于，结合图像可知IMM的范围；对于，取结合图像可知此时IPQl存在最小值，从而得以判断.【解析】依题意，0,当x时，/()=-7-l,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；显然，当xc(-1,+8),即-g,+oo)时，/(x)在卜g,)上单调递增，故错误;对于，当l时，当xv-时，f(x)=x+2-a+2a时，=-yf-以)的距离最小,当玉= 时，y = (xl) = O ,当 且接近于 X =。处，J2 =(x
15、2) y-%6+1 1，故正确;因为尸（毛，/（毛）（毛 一。），。（七 J （X4）（ZN-。），结合图像可知,要使IPQl取得最小值，则点尸在f（x） = x+2x-上，点。在小）同时IPQl的最小值为点O到/（x） = x2;4 x5的距离减去半圆的半径。，此时，因为f(K)=y=x+2(x1)的斜率为1,则ZQp=-1,故直线QP的方程为y=r,V=-X(X=-I/、联立,解得,则PTl,yx+2y=1显然尸(T,l)在/(x)=x+2(x-1)上，满足IpQl取得最小值,即。二也满足归Ql存在最小值，故。的取值范围不仅仅是(,g,故错误.故答案为：.【评注】本题解决的关键是分析得/(
16、K)的图像，特别是当x时，f()=Ja2-x2的图像为半圆，解决命题时，可取特殊值进行排除即可.3.(2023天津卷4)函数“力的图象如下图所示，则的解析式可能为()c 5(一+丁) X2+25 cos XD. -2 T X +1【分析】由图知函数为偶函数，先判断函数的奇偶性排除选项；再判断函数在(0,3)上的函数符号排除选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=(2)0时，5(e；+eJ。,即C中(0,伏)上函数值为正，排除选项C；JT+2故选D.第七节函数与方程1.(2023全国甲卷理科10,文科12)已知/(力为函数y=cos(2x+制向左平移2个单
17、位所得函数，则y=(x)与y=gx-g交点个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数y=cos(2x+.J向左平移专个单位可得/(x)=-sin2x.结合图像可知有3个交点.故选C.【评注】本题考查了三角函数的图像与性质，画出图像，不难得到答案.2.(2023天津卷15)若函数力=2-2%-卜2-0+1|有且仅有两个零点，则的取值范围为.【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断。的取值范围.【解析】(1)当2方+l0时，/(x)=0a-l)x2+(a-2)x-l=0,即(T)xT(x+l)=0,若a=l时，X=-I,此时X2-0x+lO成立；若4W1时
18、，X=!或=-1,a-若方程有一根为户一1,则l+i+lO,即-2且1:若方程有一根为X=一,BJII-a-+l0,解得：a2a;a-Ia-IJa-1若X=!二一1时，a=0,此时l+l0成立.a-(2)当2-av+o时，/(x)=0(+1)x2-(2:若方程有一根为x=一,f-1-a-+l0,解得：-2;+l+l)4+1若x=!=1时，a=0,显然X2-v+lO不成立.a+l综上，当a2时，零点为1,一1.所以，当函数有两个零点时，O0且l.故答案为：(-oo,0)U(0,l)l(1,+8).【评注】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根(或零点)的个数，从而解出.
