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1、第十二章推理与证明.算法初步与复敬第1节合情推理与演绎推理对应学生用书P318考试要求1 .了解合情推理的分类,了解演绛推理的模式.2 .能根据类比推理得到某些对象的类似特征与性质.3 .掌握.三段论”的原理及推理过程.知识结构基础全通关特点由部分至 体.由个别到 由 到类型定义根据一类事物的部分对象具有归纳某种特征,推出这类事物的推理对象都具有这种特征的推理由两类对象具有某些类似特征类比和其中一类对象的某些已知特推理征,推出另一类对象也具有这些特征的推理二.演绎推理1 .定义:从一般性的原理出发,推出在某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到上_的推理.2
2、 .=段论”是演绎推理的一般模式,包括：(1)大前提已知的;(2)小前提所研究的彳情况;(3)结论根据一般原理,对特殊情况作出的判断.应用三段论解决问题时,要明确什么是大前提、小前提,如果前提与推理形式是正确的,那么结论必定是正确的.若大前提或小前提错误,则尽管推理形式是正确的,但所得的结论是错误的.自我诊断1 .判断下面结论是否正确.（对的打,错的打?）（1）旧纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.（）（2）在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合造.（）（3）”所有3的倍数都是9的倍数,若数m是3的倍数,则6一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.（）（
3、4）在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正确.（）X（2）x（3）（4）*2 .对于任意正整数与广的大小关系为（）.A.当n2时,2曳加B.当3时,2喋广C.当4时,2承D.当5时,2bZD当/7=2时,2=;当=3时,2S2;当n=4时,2=元当n=5时,2点当n=6时,2虎归纳判断,当庇5时,2”加.故选D.3.在平面内,若两个正三角形的边长比为12则它们的面积比为14类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12则它们的体积比为.1.8因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方,所以它们的体积比
4、为184.在平面几何中有如下结论:正三角形46C的内切圆的面积为S,外接圆的面积为Sb则3弓，推广到空间可以得到类似结论:已知正524四面体Q/8C的内切球的体积为必,外接球的体积为心则空=v2答案（类比推理、类比规律错误致误）从平面图形类比到空间图形,从二维类比到三维,可得如下结论:正四面体的外接球和内切球的半径之比为31故正四面体243C的内切球体积IZi与外接球体积16之比等于母啕3啮5（2023陕西西安高三月考）在数学中,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2昼后,3Ji=居,4J=尺.按照以上规律,若m器=R则满足的关系式为（）.A./7=2/77-1B.=2(m-1)C./7=
5、(/77-1)2D.n=*-1rD解右由就可知,2Ji=居库,3Ji=居=F京4日=忌=后,则可归纳得碇=辰=F焉,所以e.突考点题型 命题全研透考点一归纳推理命题角度1数或式的归纳（2023四川成都七中高三考试）已知数列弘满足a13或“L店N：现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第/行有/个数庆N）,从左至右第/行第/个数记为国弧/庆M且户小则就21.20）.aza加金Sa由决aSiO315314513512511A.3*2209B,3*221C,3*2211D.3*2212C由题可知,第/行有/.个数,当/为奇数时,该行由右至左.逐渐增大，A2123表示第21行第20个数,即为第21行倒数第
6、2个数,则前20行共有些等=210个数,即第21行倒数第1个数为a2,所以a21.20)表示通项为a=2n-的数列的第212项,所以421.20)=/12=3*2211,故选C.数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.感悟实践观察下列等式：Si吟)争1*2;(Sinn2+(Sin,)+(sin朗)-2.(Sinm)2=23,(SinI)SinP2*(Sin与)+(Sin号)2三*3M;呜)(Sin与)+(sin等)#.+(Sin竽)W*4*5;照此规律，(Sin)-2Gin+(sin+.(si
7、n岂=2n+l2n+l2+l2n+l-石、4n(n+l)观察前4个等式,由归纳推理可知(Sin7L/sin7)Ksin碧)誓.2n+l2n+l2n+l3,3命题角度2图形的归纳分形几何学是数学家伯努瓦曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科,它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.按照如图0所示的分形规律可得如图所示的一个树形图.若记图中第/7行黑圈的个数为题则立021=答案32。2%第1行第2行第3行根据班图0所示的分形规律,可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈,1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈,把题图中的树形图的第1行记为(1,0),第2行记为(2,1),第3行记为(5
8、.4),第4行的白圈数为2对=14,黑圈数为52*4=13,所以第4行的“坐标为(14,13),同理可得第5行的“坐标为(41,40),第6行的-坐标“为(122,121),.各行黑圈数乘2,分别是0,2,8,26,80,即1-1,3-,vtl42O2OI1,9-1,27-1,81-1,所以可以归纳出第行的黑圈数品呈片(店N),所以金(三.()形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.感悟实践(2023超级全能生高三联考)如图,直角三角形的三边勾股弦的长分别为ahc,以边长为ab,c的三边分别向外作相似的图形,其面积分别为殳,
9、0,S试猜想这些图形的面积S,&,&满足的关系式为.&+Sj=Si因为a。,C为直角三角形三边勾股弦,所以&=蹙+匕.因为同)2相=)2,所以52/2：庐=I,所以所中二S考点二类比推理(2023河南南阳高三开学考试)我国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一直角边为股,斜边为弦.若a,b,c为直角三角形的三边,其中C为斜边,则于F2,称这个定理为勾股定理.现将这一定理推广到立体几何中:在四面体O-ABC中/4O8=80C=40C=9O,S为顶点0所对面的面积,S,S,S3分别为侧面aO48,aO4Ca08C的面积.则下列选项中对SS,4,&满足的关系描述正确的为().A.S-
10、SS?SjBSWgCS磴司D5C作四面体O-A8CO8=8OC=NAoC=Q0,作OdHC于点。,连接力2如图.S2=(BCAD)2即”叫8C2(Oi2+O%率OEfi+OCl-OF号8。叩=QOBgAy噌OCOA)2吗BCOD)2=S彳啰区,即楞图,故选C.(在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积等等;(2)找对应元素的对应关系,如两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.感悟实践已知命题:在平面直角坐标系中,椭圆的方程为3号K(aA0),A48C的顶点H在椭圆上
11、,顶点4C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e,则网黑更吃现将该命题类比到双曲线中,设双曲线的方程为y=1(aR,ZP0),“l8C的顶点8在双曲线上,顶点AC分别为双曲姣的左、右焦点,双曲线的离心率为e,则.sin-sinC-SinB-G在双曲线中,设&48C的外接圆的半径为尺则4S=2inCJACI=2%m8,8C=2in4则由双曲线的定义得4/-8C=2aMC=2G则双曲线的留心率吒讪胤Cn肃，即塔泮考点三演绎推理数列%的前项和记为S),已知a=1,a卓兔店N).证明：(1)数列学是等比数列；(2)S+=am：Zml=Sn*lSn,an*lSn,.：(+2)SO=ZXSzr*1-S?
12、),即nSm如M)Sd.:寤=2$又,=1*0,(小前提)故曰是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义,这里省略了)(2)由(1)可知汨庇2),11,r111lH(fH喏=4a4&2),(小前提)又a2=3S=3,S2=a1+a2=l+3N=4a,(小前提).:对于任意正整数,都有=4%.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)演绎推理的一般模式为三段论,三段论推理的依据:如果集合的所有元素都具有性质8S是用的子集,那么S中的所有元素都具有性质户.应用三段论解决问题时,首先应该明确什么是大前提,小前提,然后再找结论.感悟实践1 .下列三句话按
13、“三段论”模式排列顺序,正确的是().(Py=cosM杭R)是三角函数;三角函数是周期函数;y=8SM胀R)是周期函数.A.0(fB.(PC.。.B三角函数是周期函数是大前提,“如FoSM脏R)是三角函数”是小前提一包片cosM脏R)是周期函数-是结论.故选B.2 .某国家流传这样一个政治笑话:“鹤吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是据.”结论显然是错误的,是因为().A.大前提错误B.小前提错误C推理形式错误D.非以上错误C大前提“鹤吃白菜”本身正确,小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确,但不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比,所以不符合三段论推理形式,所以推理形式错误.q基础过
14、关1 .122343477451114115如图,这是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当实数a=7时力Y).A.20B.21C.22D.23C观察三角形数垒可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的数外,中间的数分别是其一两肩上相邻两个数的和,当a=7时力的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以=6*16=22.2 .图是美丽的1勾股树”,它由一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图是第1代“勾股树;重复图的作图方法,得到图为第2代“勾股树二以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代”勾股树“所有正方形的面积的和为().A.nB.三C.7-1D.7
15、1二二D因为最大的正方形面积为1,所以当n=1时油勾股定理知所有正方形面积的和为2,依次类推,可得第代勾股树”所有正方形面积的和为71.故选D.(3)(4)3 .我国的刺绣有着悠久的历史,图(I)(2)(3)(4)是刺绣中较简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成的,小正方形个数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含个小正方形,则力的表达式为().(1)(2)A*m=2,-1B.)=2/72C.()=2n2-2D.)=272-21D我们考虑2)/1)乂#3)2)=8,4)/3)=12结合图形不难得到外)Yal)=4(。1)黑加得人力-1)=2“。-1)
16、=2必2,故/(n)=2n2-2/7*1.4 .若一个带分数的算术平方根等于带分数的整数部分乘以分数部分的算术平方根,则称该带分数为“穿墙数”,例如屈=2J若一个“穿墙数”的整数部分等于Iogz8,则分数部分等于().AWBlC.|D.因为Iog28=3,所以可设这个“穿墙数”为5 .(2023陕西法门月考)勾股定理:在直角边长为斜边长为C的直角三角形中,有a2M三=d类比勾股定理可得,在长、宽、高分别为Bq/体对角线长为d的长方体中,有.炉呵2=d类比勾股定理可得,在长、宽、高分别为pq体对角线长为d的长方体中,有O2*?2+/2=.K彳能力提升6 .某煤气站对外输送煤气时,用1七号5个阀门
17、控制,且必须遵守以下操作规则：(1)若开启2号,则必须同时开启3号并且关闭1号；(2)若开启1号或3号,则关闭5号；(3)禁止同时关闭4号和5号.现要开启2号,则同时开启的另外2个阀门是.3号和4号由迎意.若开启2号,则关闭1号,开启3号,开启4号,关闭5号.R彳思维拓展7 .观察下列各式3=12,13+23=32,132333=62,1323+33M3h02,归纳得到第个等式为13.23#33”.“3=(见代N)若不等式才止2n-160恒成立,则实数的取值范围是.(Y由近意可得,m1+2+3+不喏2:yVb2m16R恒成立，.J7n(7*1)16,fi.r?X),.J71咛恒成立，.J(n1
18、+),min吗2代=8,当且仅当方竺,即乂时取等号,nn.：出的最小值为8,.乂QBP=QC.PQ.3 .利用反证法证明“若*#修0,则0,则x且y（对含有述辑联结词1且”或的结论否定出错）若x+yO,则XX且y1.4 .已知48为18C的内角,则Z8是sin4sin8的（）.A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C曦喘？48为三角形的内角,即Sin力X),SinSX),.sin4sinB2RsnA2RsinBabAB.考点题型命题全研透考点一综合法在弘HC中,设a,b,c分别是内角48,C所对的边,且直线xcos4cosS=O与azcosScos4=0平行.求
19、证C是直角三角形.(法一)由两直线平行可知teosB-acos利用综合法证明的策略:用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论.练合法的适用范围:(1)定义明确的问题;(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.如图,在直三棱柱力8C-48G中分别为8C/C的中点8=8C.求证:(IMI81平面DEC.(2)SECE(1)因为分别为BCdC的中点,所以EDiAB.在直三棱柱ABC-AsByCy中Ma481,所以AB4ED.又因为ZX平面OEG,43是等差数列吗？为什么？假设&是等比数列,则望=S8即a：(IY2=卅.&(+q可)令*0,.:(1坳2+g+y解得r,这与#0
20、相矛盾.故假设不成立,数列Sa不是等比数列.(2)当q?时,S,是等差数列.当TI时,S不是等差数列.理由:当q=时,S”=/谕,故$是等差数列.假设Tl时,S,%,&成等差数列,即2&=S&,2向(1)和1炀(1+0可).卅=0,.2(1+)=2+g+*即g=#./1,.g=0,这与小0相矛盾.故当1时,S不是等差数列.综上可知,当g=1时,的是等差数列;当用反证法证明数学命题需把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论方向进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实
21、矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的.感悟实践直线/过抛物线y=2p*0)的焦点,且与抛物线相交于48两点,求证:对于抛物线任意给定的一条弦CO直姣/不可能是。的垂直平分线.设则y*5,fiy1=2px,yj=2px.假设直线/是CD的垂直平分线,则由焦点FSiW得IFCl=IFDk即(y92号；必*)2.:(M为列(小丑又该-*=24越为户0，.-.x+Xi=-P,Na筮#M)=-2P2n(neN).显然Qy=2X),=32,a=73,au=464.设当=MA3)时,有akk,则a/=-(r*1)A2-(r1)3Ar-(A1)=2Ar-1A-1,这就是说,当n=k+时,不等式也成立.于是,对
22、任意正整数n,an.S用数学归纳法证明不等式的关键是由当。4时不等式成立,推证当n=k+时不等式也成立,在归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.感悟实践用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式(1+)(1+).(1+土)中巴均成立.当n=Q.时,左边=1号寺右边专:左边右边不等式成立.假设当n=k2且依N)时,不等式成立，即S+D(1+D(1+册)等1则当n=k+1时，(+9(+aQ)J,2E112A+2_24+2=j4+8k+422fc+l-2fff27I+TJfe2+8k+32+3l,2(+l)+l22FPT2ZF+T2.当n=k+时,不等式也成立.由。
23、知对于一切大于1的自然数,不等式都成立.逐点排查素养快提升对应高效训练P130它基础过关1 .（2023陕西韩城期中）用分析法证明115时,正确的步骤是（）.A.2l5,2125,B.2l2125C.欲证T5,只需证2125”D.因为2125,所以须5C用分析法证明“五5”时,正确的步骤是欲证T5,只需证212;T若工则义=2或x=2时,可假设“2成於2”.以下结论正确的是（）.A.与的假设都错误B.0与的假设都正确C。的假设正确,的假设错误D.的假设错误,的假设正确Cp+q2的否定为p+g2,故的假设正确.x=2或x=2”的否定应是“胫-2且有2,故的假设错误.故选C.3 .若要证a2加-1
24、-/加40,只要证明（）.A.2aZ-1存80B.a三2-10C.吟必-邛0D.（a2-1）（2-1）OD因为*+N2ab,所以2ab1/ZHMj2l7240,故选项A错误；因为亨之后必力,所以步lQSs*拓Mw0,故选项B错误；因为例答M2）=粤匕0,所以怨匕/杉,誓匕1WN+-160,故选项C错误；因为印-172勿=521）（勿1）,所以要证印+81220,只要证明1,求证Unl+nHnl-nX).nn(1)假设存在neN,使工,二一,一L成等差数列,即二一JJ_,ann+lan+20n+ian0n+2.3卫3,又数列%为等差数列，0n+lanan+2.;2=2nil：若+=%加乙即(az
25、+o)2=an(a2),an+lnn2展开化简得dR,即/0,与已知心0矛盾,因此假设不成立,故原命题得证.(2)由nQ及上巴1,可知工1Jx,、mnmn.0711O,只需证In(l+nm)ln1,只需证1+nl-m1,即证1+n-m-mnt,只需证n-m-mrQ,只需证51,而这是已知条件原不等式得证.第3节算法初步对应学生用书P325考试要求1 .了解算法语句和基本逻辑结构.2 .能读懂程序框图并进行相关计算.理清/知识结构 基础全通关算法与框图1 .算法:通常是指按照一定的规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.五种基本算法语句:、和.2 .程序框图(1)程序框图又称流程图,是一种用、及文
26、字说明来表示算法的图形.(2)基本的程序推有终端框(起止框)、框、福、程(执行框)和框.二、算法的基本遗管结构循环结构倾序结构条件结构定义 程序框图由若干个依次 执行的步骤组 成,这是任何一 个算法都离不 开的基本结构步骤算法的流程根据条件是否成立而从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,反复执行的步骤称为选择执行不同的盗流向的结构形式(1)直到型循环结构(2)当型循环结构W w自我诊断1 .判断下面结论是否正确.(对的打错的打炉)(1) 一个程序框图一定包含顺序结构,也包含条件结构(选择结构)和循环结构.(2)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止.(3
27、)在算法语句中,X=XX是错误的.(4)输入语句可以同时给多个变量赋值.三安(I)X(2)x(3)x(4)2 .执行如图所示的算法框图,若输出的S为4,则输入的X应为().零/输出S/A.-2B.16C.-2或8D.-2或16D该算法框图的功能是求函数sJ%2X)的函数值,当SN时,x=2或XK6故选D.(2XrX13 .阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S为().ltoes血A.5B.8C.24D.29B(忽视算法框图的意义与功能导致错误)*1,S=O,/不是偶数:第一次循环,Sf/=24;第二次循环,/是偶数尸1,S=5,Q=805时,输出的a=().,|求aMt以;的疝7fA
28、.7B.11C.23D.47C模拟程序框图的运行过程如下：a1081,=805,执行循环体=276,a405,b=276,不满足退出循环的条件,执行循环体=253,a=276Q=253,不满足退出循环的条件,执行锯环体=23n=253力=23,不满足退出循环的条件,执行循环体W),a=23,6W),此时,满足退出循环的条件,退出循环,输出a,此时a的值为23.5.(2022年全国乙卷)执行如图所示的程序框图,输出的n=)./输出n/fSA.3B.4C.5D.6执行第一次循环力=1+2=3,a=3-1=2,n=2,LI/*.。;执行第二次循环,b=3M=7,a=7-2=5,=3,-2lJ-20.
29、01;执行第三次循环/=7+10=17,a=17=12,=l,解决程序框图推理结果问题要注意几个常用变量:（1）计数变,用来记录某个事件发生的次数,如/=1；（2）累加变,用来计算数据之和,如S=S*（3）累乘变量,用来计算数据之积,如p=pi.感悟实践（2023江西景德镇检测）执行如图所示的程序框图,则输出的数值为（）.A.31B.32C.63D.64C模抵程序的运行，SRJ=O,S=0+20K,满足条件 /5,1,SW +21 =3,满足条件 02S4+22=7,满足条件/5,3,S=7+23K5,满足条件 /5,/=4,S=15+24=31,满足条件 /5,/=6,S=31 +25=63
30、.此时,不满足条件/5,退出循环,输出S的值为63.故选C.命题角度2完善程序框图(2019年全国倦)如图,这是求十的程序框图,则图中空白框中应填入(A*iB/2占Df4=3,否,输出,故A正确.故选A.感悟总纯程序框图的补全及逆向求解问题:(1)先假设参数的判断条件满足或不满足;(2)运行循环结构,一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止;(3)根据此时各个变量的值,补全程序框图.感悟实践（2023贵州贵阳高三月考）如图所示的程序框图所给出的运行结果为S=28,则判断程中应填入的条件是（）.A.7?B.7?D在循环结构中,每一次循环的情况如下:S=I1,。=9;5=20,=8;$=28,=7,退出循环时,=7,即n=Q满足循环条件,但n=7不满足条件,所以条件为。7?,故选D.逐点排查量养快提升对应高效
