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1、课堂导学三点剖析一，复数的点表示【例1】设复数Z满足z=5,且(3+4i)z在复平面上对应点在第二四象限的角平分线上,l2z-m=52(InWR),求Z和m的值.解，设z=a+bi(a,bR),Vz=5,/.a2+b5.而(3+4i)z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i又.(3+4i)z在复平面上对应点在第二、四象限角平分线上，3a-4b+4a+3b=0得b=7a.2.72.a=,b=,22272三Pz=(-+-i),22V2z=(l+7i).当Vz=l+7i时，有l+7i-m=5V,即(I-In)2+72=50.得m=0,m=2.当J5z二一(l+7i)时，同理可得
2、11fO,m=-2.温馨提示由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决.二、复数的向量表示【例2】平行四边形OABC的三个项点0、A、C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i.试求：(1)而表示的复数；(2)3表示的复数；(3)B点对应的复数.解：A=OA,二.AO表示的复数为-(3+2i)即-3-2i.(2)CA=0A-0C,.,.CA表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)OB=OA+AB=OA+OC,，丽表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,即B点对应的复数为l+6
3、i.温馨提示此题给出了几何图形及一些点对应的复数.因此，借助加法、减法的几何意义求解.三、复数模的几何意义【例3】设zC,满足以下条件的点Z的集合是什么图形？(1)IzI=4；(2)2IzI2.不等式IzIV4的解集是圆IzI=4内部所有的点组成的集合，不等式IZI2的解集是圆IZI=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2VIzIV4的点Z的集合.容易看出，点Z的集合是以原点0为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.温馨提示满足条件IZI=r(r为正常数)的点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆.把代数问题转化为几何问题，这是数形
4、转化的一种形态，是常用的数学思维方法之一.各个击破类题演练1复数2-6x+5+(-2)i在复平面内对应的点在第三象限，求实数X的范围.解：.为实数，.-6x+5和-2都是实数.V复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第三象限，解得1VxV2,即1VxV2为所求实数X的范围.变式提升1复数zi、Z2在复平面内对应的点关于原点对称，且3z+(z2-2)i=2z2-(l+z)i,求Zl和Z2.解：由于Z1、Z2在复平面内的对应点关于原点对称，有Z2=-Zi,代入等式，得3z+(-Z-2)i=-2z-(l+z)i.解得5z=i.z=-i,Z2=一1i.55类题演练2向量豆表示的复数为3+
5、2i,将向量苏向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到向量O7Af,分别写出：(1)向量示对应的复数；(2)点0对应的复数；(3)向量初对应的复数.解：如下图，0为原点，点A的坐标为(3,2),向上平移3个单位长度再向左平移2个单位后，点0的坐标为(-2,3),点A的坐标为(1,5),坐标平移不改变苏的方向和模.(1)向量5q对应的复数为3+2i.(2)点0对应的复数为-2+3i.(3)向量柘对应的复数为-3-2i.变式提升2两个向量a、b对应的复数是z=3和Z2=-5+5i,求向量a与b的夹角.解:a=(3,0),b=(-5,5),所以ab=T5Ta=3b|=5V2.设a与b的夹
6、角为0,所以CoSo=a=T5力ab35223乃因为00Wn,所以O=L.4类题演练3z=3+ai,且Iz-212,求实数a的取值范围.解法1:利用模的定义.从两个条件中消去z.z=3+ai(aR).由z-22,得3+ai-22,即IHaik2,l2+a22,解之-3a3.解法2:利用复数的几何意义.由条件z-22可知.z在复平面内对应的点Z,在以(2,0)为圆心.2为半径的圆内(不包括边界)，如右图，由z=3+ai可知Z对应的点Z在直线x=3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图知：-V3a3.变式提升3点集D=zz+l+3i=l,zC,试求IZl的最小值和最大值.解：点集D的图象为以点C(T,-3)为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为Z,那么IOPl=Iz.由图知，当OP过圆心C(-l,-3)时，与圆交于A、B,那么IZl的最小值是OAl=IOCl-I=a(-1)2+)(-3)2-1=2-1=1,即IZlnM=1；IZ的最大值是IoBl=IoCI+1=2+1=3,即ZIgX=3.
