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1、.wd.食饵捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建设模型，解释参数的意义，然后进展稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进展相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。二者共同组成食饵捕食者系统。一食饵捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设/为食饵(食用鱼)在时刻的数量
2、，/为捕食者(鲨鱼)在时刻的数量，为食饵(食用鱼)的相对增长率，为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，为单位数量捕食者相对于提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于)消耗的供养甲实物量的倍；为单位数量食饵相对于提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于)消耗的供养食饵实物量的倍；为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者鲨鱼离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建设食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为，即，而捕食者的存
3、在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是满足方程(1)比例系数反映捕食者掠取食饵的能力。由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为，即，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。设这种作用与食饵数量成正比，于是满足 (2)比例系数反映食饵对捕食者的供养能力。方程(1)、(2)是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，这里没有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。结果如下。不考虑自身阻滞作用:数值解令x(0)=x0,y(0)=0,设r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x0=25,y0=2 使用Mat
4、lab求解 求解如下1先建设M文件function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);2)在命令窗口输入如下命令：ts=0:0.1:15; x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x, ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x,ans =省略 plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), pause plot(x(:,1),x(:,2),grid,可以猜测，x(t),y
5、(t)是周期函数,与此相应地相轨线y(x)封闭曲线，从数值解近似定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3，2.0，y的最大，最小值分别为28.4和2.0，容易算出x(t),y(t)再一个周期的平均值为25，10.考虑阻滞作用前面我们没有考虑种群自身的阻滞作用，接下来我们考虑种群自身的阻滞作用，在上面1，2两式中参加Logistic项，即建设以下数学模型： (3) (4)四平衡点进展理论分析下面对34进展平衡点稳定性分析：由微分方程(3)、(4)令f(x1,x2)=0,g(x1,x2)=0得到如下平衡点:, 因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时()才有意义，所以，对而言要求0。按照判
6、断平衡点稳定性的方法计算：根据等于主对角线元素之和的相反数，而为其行列式的值，我们得到下表：平衡点稳定条件1 不稳定五模型分析与检验1.平衡点稳定性的分析及其实际意义：1) 对而言，有=，=，故当1时，平衡点是稳定的。意义：如果稳定，那么两物种恒稳开展，会互相依存生长下去。3)对而言，由于， ，又有题知0,0,故 x0 =3000 60x0 = 3000 60 t,x=ode45(fun,0,20,3000,60)t =省略 plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t)图1.数值解，的图形 plot(x(:,1),x(:,2),grid,图2.相轨线图形从数值解及，的图形可以看出他们的数量变化情况，随着时间的推移，都趋于一个稳定的值，从数值解中可以近似的得到稳定值为：(750,150)。参考文献：数学模型教材，第三版P192-P196
