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1、韦达定理：对于一元二次方程公2+云+c=o（a。0）,如果方程有两个实数根.，那么说明：（1）定理成立的条件A0（2）注意公式重入+/=-2的负号与b的符号的区别a根系关系的几大用处验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根;例如：方程2-5x+6=0,以下是它两根的是（）A.3,-2B.-2,3C.-2,-3D.3,2求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于Xi和X2的代数11式的值，如Xr巧；玉均求作新方程：方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式.求根及未知数系数：方程的一个根，可利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系
2、数.（后三种为主）Ix1-x21=y(xi+x2)2-4x12，x1x22+x12x2=xx2(xl+x2),x1W j 1x2 - -2007 2007(Xl- 5)(/ - 5) = XX2 - 5(x + Z) + 25 = 2007 5(-2) 25 = -1972+x23=(x1+电)3-3石马。+w)等等.韦达定理表达了整体思想.(2)构造新方程理论：以两个数勺、心为根的一元二次方程是,(Xl+4)工+再工2=。例解方程组+y=5xy=6解：显然，X,y是方程Z2-5z+6=0的两根由方程解得z1=2,z2=3，原方程组的解为x=2,yl=3X2=3,y2=2显然，此法比代入法要简
3、单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程2/-府+2=0的两根，第三边长为2,求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为2-以+2=0的两根，那么c=2由题意知=k2-4220,k24或kW-4.4分4、尼为所求。【典型例题】例1关于X的方程工2一(&+1)X+,&2+1=0,根据以下条件，分别求出女的值.4(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根%,%满足IMI=分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是玉二%20,二是一二/，所以要分类讨论.解：(1)V方程两实根的积为53k-,k = 42=-(r+l)2-4(一)t2+l
4、)04%x,=-k21=5.4所以，当k=4时，方程两实根的积为5.(2)由Ixll=X2得知：3当王0时，x1=x2,所以方程有两相等实数根，故A=OnZ=:当E0=-,故攵=T不合题意，舍去.23综上可得，Z=/时，方程的两实根看,冗2满足IXl=X2说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足A0例2x1,X2是一元二次方程4米2_4履+&+1=0的两个实数根.3(1)是否存在实数使(2玉一九2)(%一2/)=一耳成立？假设存在，求出欠的值；假设不存在，请您说明理由.(2)求使土十三-2的值为整数的实数%的整数值.WX解：(1)
5、假设存在实数上，使(2不一9)(玉一242)= -成立., 一元二次方程4收- 4依+ Z +1 = 0的两个实数根奴0/.、n % 0, = (-4&)2 -44k(k + l) = -160又凡是一元二次方程如义一4履+ % +1 = 0的两个实数根xl +X2 = Z +1 2 4k (2xl - x2)(x1 - 2x2) = 2(xi2 +x22)- 5xlx2 = 2(xl + x2 )2 - 9x1x2k+93,9八=n k =, 但 2 B.左 2,且上 Wl C. k2,且ZHl2.假设方,电是方程2/-6x + 3 = 0的两个根，那么 + J-的值为（）芭 KZCCC 1
6、9A. 2B. 2C. D.一223.菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点，且OA. OB的长分别是关于X的方程%2+（2加-1）工+62+3 = 0的根，那么相等于（）A. 3B. 5C. 5或-3D. -5或34.假设/是一元二次方程Or?+云+ c = o（ao）的根，那么判别式A =从一4。C和完全平方式M = （2点+ 8）2的关系是（）A. A = M B. MC. MD.大小关系不能确定5.假设实数“工人，且/满足/-8。+ 5 = 0,从一8人+ 5 = 0,那么代数式生的值为（） a- b-A. -20 B. 2C. 2或一20D. 2或206.如果方程S-C）X2+（
7、c-）x + （-。） = 0的两根相等，那么对瓦。之间的关系是 7. 一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2/-81 + 7 = 0的两个根，那么这个直角三角形的斜边 长是 .8.假设方程2/一（2 + 1 +k+ 3 = 0的两根之差为1,那么女的值是 .（2）%+，2=2=（）4=工4=一/-x2x1x1x2xix2&+1k+1要使其值是整数，只需氏+1能被4整除，故Z+l=l,2,七4,注意到左0,关于X的方程f一(加一2)x+m=0有两个相等的的正实数根，求一的值.4n13 .关于X的一元二次方程X2+(4w+l)x+2m-l=0.(1)求证：不管为任何实数，方程总有两个不相等的实
8、数根；(2)假设方程的两根为王,无，且满足,+-=-1,求用的值.-X1X2214.关于X的方程V一(k+l)+%2+=o的两根是一个矩形两边的长(1)A取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是正时，求A的值.B组1.关于X的方程也一l)f+(22-3)x+火+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求的取值范围;(2)是否存在实数Z,使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出A的值；如果不存在，请您说明理由.2 .关于X的方程d+3-m=0的两个实数根的平方和等于11.求证：关于X的方程(k-3)x2+kmx-m2+6机一4=0有实数根.3 .假设与是关于X的方程V一(24
9、+1)工+公+1=0的两个实数根，且AvW都大于L(1)求实数Z的取值范围；(2)假设五=,求女的值.X22（1）计算代数式的值例假设为,/2是方程/+2%-2007=0的两个根，试求以下各式的值:(1)x+(2)I；(3)(xl5)(x25)；(4)IX1x2I.解：由题意，根据根与系数的关系得：1+x2=-2,xlx2=-2007(1)X1*12*4+x22=(X,+x2)2-2x1x2=(-2)2-2(-2(X)7)=401811%22(4)Ix1-x2I=(x1-X2)2=(x,+x2)2-4x1x2=(-2)2-4(-2007)=2008说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：X+X,(+)22，1-,(X_%)2=(X+/)4x%2
