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1、四边形讲义知识脉络：一根本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.多边形：由假设干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。凸边形：一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的多边形叫做凸边形。1.四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360；(2)四边形的外角和等于360.AOBC2.多边形的内角和与外角和定理:(1)n边形的内角和等于(n-2)18(2)任意多边形的外角和等于360。；aAp
2、八2BC3.平行四边形：两组对边分别平行平行四边形的性质：因为四边形ABCD是平行四边形n的四边形叫做平行四边形。(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)两组对角分别相等；/(4)对角线互相平分：a-_(5)邻角互补.4.平行四边形的判定：两组对边分别平行(2)(4)两组对边分别相等两组对角分别相等一组对边平行且相等对角线互相平分ABCD是平行四边形.5.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离.平行线间的距离处处相等平行四边形的面积：Svbcd=BCAE=CDBF同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等:SABCD-SBC
3、FED中心对称图形，对称中心是对角线的交点。（6）假设一直线过平行四边形两对角线的交点，那么这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积.7.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：因为ABCD是菱形(1)具有平行四边形的所有通性;n四边形ABCD是菱形.(3)对角线垂直的平行四边形(4)菱形是轴对称、中心对称图形.(5)菱形面积=底Xi=对角线乘积的一半9.正方形：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。正方形的性质：因为ABCD是正方形(1)具有平行四边形的所有通性；=(2)四个边都相等，四个角都是直角；(3)对角线相等垂直且平
4、分对角.(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴.(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形.如上方右图。(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等.b2正方形的面积：假设正方形的边长为八对角线长为人那么5二/二510 .正方形的判定：(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角(2)菱形+一个直角=四边形ABCD是正方形.矩形+一组邻边等ABCD是矩形XVAD=AB，四边形ABCD是正方形(2)判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形(或矩形)；最后证明它是矩形(或菱形).11 .梯形：只有一组对边
5、平行，而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。等腰梯形的性质：(1)两底平行，两腰相等;因为ABCD是等腰梯形=12)同一底上的底角相等;(3)对角线相等.12 .等腰梯形的判定：梯形+两腰相等,(2)梯形+底角相等=四边形ABCD是等腰梯形(3)梯形+对角线相等ad(3)VABCD是梯形且AD/BC%RDZX7AABCD四边形是等腰梯形BC(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.(5) .梯形的面积(DS梯形.皿=；(8+AB)OE%F梯形中有关图形面积：/ExASSABD=SgAC*AEBABOC, SMoo= SBCD .气.梯形中常见的辅助线:14 .三
6、角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（三角形有三条中位线）三角形中位线定理：（性质）三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15 .梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线。（梯形的中位线有且只有一条）梯运中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.二.中心对称图形:（1）定义：在平面内，一个图形绕某个点旋转18（A如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.（2）中心对称图形的性质：中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分轴对称图形中心对称图形有一条对称轴直线有一个对称中心点沿对称
7、轴对折绕对称中心旋转180对折后与原图形重合旋转后与原图形重合如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的局部能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线对称(3)中心对称的有关定理匕关于中心对称的两个图形是全等形.X2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.X3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.三.常识：匕二zz73zTD匕假设n是多边形的边数，那么对角线条数公式是：皿亥二2,规那么图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.3 .如图：平行四边形、矩形、菱形、正方
8、形的附属关系.4 .常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形；仅是中心对称图形的有：weaP；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆夕挺冕妙段有两条对称轴.边形的的性质：B/N/dC(1)边形的内角和等于5-2)18(T.(2)任意多边形的外角和等于3600(3)边形共有必二工条对角线2(4)在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。(5)正多边形的每个内角等于犯臾n5 .四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角.6 .顺次连接任意四边形和平行四边形四边中点所得的是四边形是平行四边形。顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得的
9、是四边形是菱形，如矩形、等腰梯形或图二中图形等。顺次连接对角线垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是矩形，如菱形或图三中图形等。顺次连接对角线既相等又垂直的四边形的四边中点所得的是四边形是正方形，如正方形或图四中图形等。证明类题型：1、在口ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且AE=CF求证：BFDE。2、菱形ABCD的对角线交于。点,DEAC,CE/7BD,求证：四边形OCED是矩形。3、如图，梯形ABCD中，ADBC,MN、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。7 .：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F, G, H,求证：四边形
10、EFGH是矩形。画出aAOB平BCE移后的三8 .如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,(1),角形，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。(2)观察平移后的图形，除了矩形ABCD外还有哪一种特殊的平行四边形？并给出证明。9 .如下图，菱形ABCD中E在BC上，且B=E,ZBE=-ZED,AE交BD于M,试说明BE=AMo2D E 是 AB上一10 ：如图，ZABC中，NBAC的平分线交BC于点D,点,BD、求点，且AE=AC,EFBC交AD于点F,求证：四边形8如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分CDEF是菱形。线与AD、BC、AC分别交于点E、F、
11、0,求证：四边形AFCE是菱形。9 .：如图，C是线段BD上一点，ZXABC和aECD都是等求证：四边形RFGH是菱形。边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中10 .如图，在aABC中，B=C,ZB,ZC的平分线证：四边形MDNE是菱形。CE相交于点M,DFCE,EGBD,DF与EG交于N,11 .：如下图，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点AB、BC的垂线,与AB、BC,CD,DA分别相交于点E、F、G、H,求证：四边形EFGH为矩形。12 .如图，菱形力发力的边长为2,BD=2,E、6分别是边49,上的两个动点，且满足+CF=2.AZ于 BC平分(1)求证：舐陷比左(2)判
12、断颇的形状，并说明理由；(3)设颇的面积为S,求S的取值范围.13、如图，正方形ABCD中，过D做DEAC,ACE=30o,CE交AD于点F,求证：AE=AF；14、如图，在/ABC中,NBAC=90。，AD_LBCD,CE平分NACB,交AD于G,交AB于E,EF于F,求证：四边形AEFG是菱形；15、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AEZBAF,E为BC中点，求证：AF=BC+CFE16、AABC中，E、F分别为AB、AC的中点，CD平分ZBCA交EF于D,求证：ADDC17、如下图，以ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形aABD、BCE、ACF,猜测：四边形ADEF是什么
13、四边形，试证明你的结论.18、：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEDC,PFBC,E、F分别为垂足.求证：AP=EF.19、如图,ZABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边ADE.(1)求证：ZACD丝ZCBF.点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且NDEF=30.20、如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，AH_LBD于H,CG_LBD于G,AE为NBAD的平分线，交GC的延长线于E,求证：BD=CE；求值类，1.如图，矩形ABCD的对角线相交于点0,OFBC,CEBD,Ba太废00E：BE=1：3,0F=4,求NADB的度数和B
14、D的长。2 .如下图，矩形ABCD中，M是BC的中点，且MAMD,假设矩形的周长为36cm,求此矩形的面积。3 .如图，在矩形ABCD中，E是A。上一点，F是AB上一点，EF=CEf且EhCE,DE=2cm,形ABCO的周长为16c,求AE与。尸的长.4 .如下图，菱形ABCD中，E、F分别在Be和CD上，B=NEAF=60,ZBAE=15o,求NCEF的度数。,5.：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、且CE=CFo过点C作CG/7EA交AF于H,交AD6.ZBAE=25o,ZBCD=130o,求NAHC的度：如图，在矩形40中，E、夕分别是边点，且EF=ED,EFLED.求证：AE平
15、分乙BAD.7.如图，在AABC中，AB=BC,D、E、F分AC、AB上的中点，(1)求证四边形BDEF(2)假设AB=12cm,求菱形BDEF的周长？8、点M、N分别在正方形ABCD的边CD、BC上，等于正方形ABCD周长的一半，求NMAN的度数。9、如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,E为BCZAED的度数；CD上的点，于G,假设 数。BC、47上的别是BC、 是菱形。MCN的周长的中点，求AB到E,使 积 为10、如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边，延长AE=AC,以AE为一边作菱形AEFC,假设菱形的面9后，求正方形边长；11、：平行四边形ABCD中，AB+BC=llcm
16、,ZA=150o,平行四边形ABCD的面积是15cA求AB,BCo12、如图，在RtzIABC中，NC=90。，AC=BC,AB=30,矩形DEFG的一边DE在AB上，顶点G、F分别在AC、BC,假设DG：GF=1：4,求矩形DEFG的面积动点问题：1、如图，梯形ABCD中，AD=18cm,BC=21cm,点P从点A开始沿AD边向D以lns的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向B以2ms的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒，求:(1) t为何时，四边形ABQP为矩形？(2) t为何时，四边形PQCD为等腰梯形？2、如图，梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐
17、标分别为(14,0)、(14,3)、(4,3)。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿0C、CB以每秒2个单位向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动。设从出发起运动了X秒,且X2.5时,Q点的坐标；当X等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？四边形OPQC能否成为等腰梯形？说明理由。设四边形OPQC的面积为y,求出当x2.5时y与X的函数关系式；并求出y的最大值；3、等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,ZC=30o.M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动.(1)设ND为X,用X表示出
18、点N到AB的距离，并写出X的取值范围.(2)设t=10-,用t表示aAMN的面积.(3)求aAMN的面积的最大值，并判断取最大值时aAMN的形状.4、如图(1),P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE_LBC于点E,PFCD于点F.第10题图1 第10题图2(1)求证：BP=DP;(2)如图47(2),假设四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?假设是，请证明之；假设不是，请举出反例；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.5.如图，ABCD中,ABLAC,AB=If
19、BC=6对角线作，龙相交于点0,将直线47绕点。顺时针旋转，分别交比；AD于点、E,F.(D证明：当旋转角为90时，四边形力颇是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段力/与宏总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形班如可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时4C绕点。顺时针旋转的度6.如图1,正方形ABCD边长为1,G为CD一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交长线于点Ho(1)求证：4BCG名ZDCE；BH_LDEo(2)当点G运动到什么位置时，BH垂直平DE?请说明理由。折叠问题：1、如图，有一块面积为1的正方形ABCD
20、,M、N分别为AD、BCB图IOCE边的中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ,连结PQ.于，角线点E求MP的长度；求证：以PQ为边长的正方形的面积等2.折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对BD重合，得折痕DG,如图,假设AB=2,BC=I,求AG。3、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在处,求证：EF=DF.常见辅助线的作法有以下几种：D遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3）遇
21、到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）
22、，如图4ABC中，B=5,C=3,那么中线AD的取值范围是.例2、如图，AABC中,E、F分别在AB、AC上，DEDF,D是中点,试弟BE+CF与EF的大小./TV例3、如图，ZXABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证：DW.Z三CBEXC应肪,z1、（09崇文二模）以MBC的两边/瓜腰分别向外但空腰RtAy等ACE,NBAO=NCAE=90。,连接阳M粉别是必分的中点.探究：4西频位置关系及数量关系.（1）如图当MBC为直角三角形时，4西瑜勺位置关系是，线段4修比的数量关系是；(2)将图中的等腰RtA%绕点A沿逆时针方向旋转e(0e90)后，如图所示，(1)问中得到的两个结论是否发
23、生改变？并说明理由.二、截长补短1、如图，A8C中，AB=2AC,AD平分NBAC,且AD=BD,求证：CDAC2、如图,ACBD,EA,EB分别平分NCAB,NDBA,CD过点E,求证;AB=AC+BD3、如图，在-ABC内，NBAC=6()”,ZC=40,P,VQ分别在BC,CA,并且AP,BQ分别是N84C,NABC的角平分线。求证：BQ+Q=B+BPBA,AD=CD,BD平分NABa求证：ZA+ZC=180/J5、如图在aABC中，ABAC,N1=N2,P为AD/zzY上任意一点，求证；AB-ACPB-PCB-C三、平移变换A.E 为 MN例1AD为AABC的角平分线，直线MNAD于上
24、一点，ZABC周长记为心，EBC周长记为心.例2如图，在aABC的边上取两点D、E,且BD=CE,AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，在aABC中，ZB=60o,ZABC的角平分线人口，相交于点0,求证：OE=ODA2、如图，ZABC中，AD平分NBAC,DGBC且平分BC,DEZAB于E,DF_LAC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=,AC=Z?,求/AAE、BE的:接中考：1. (2010山东莱芜)在平行四边形/5口中，AC.BL论C切交于点0,过点。作直线/GH,分别交平行四边形的四条Af边于反G、F、四点，连结GF、FH、HE.、(1)如图，试判断四边
25、形灰方的形状，并说明理由；(2)如图，当所工团时，四边形0月的形状是；(3)如图，在(2)的条件下，假设彳自物，四边形制的形状是；E(4)M暨)，在的条件假设曾仪 上暨四赞H/7F C 图F C图IOB 1F C图EGIG图并说明理由.2. （09成都）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，假设NCBA=30那么NBEA二.3. （08成都）：在梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC,E、F分别是AB和BC边上的点.（1）如图，以EF为对称轴翻折梯形ABCD,使点B与点D重合，且DF_LBC.假设AD=4,BO8,求梯形ABCD的面积Swabcd的值；（2）如图，连接EF并延长与DC的延长线交于点G
26、,如果FG=kEF（k为正数），试猜测BE与CG有何数量关系？写出你的结论并证明之.4. （2010成都）.：在菱形A3CQ中，。是对角线BD上的一动点.（1）如图甲，尸为线段BC上一点，连接Po并延长交A。于点。，当。是8力的中点时，求证：OP=OQ;（2）如图乙，连结AO并延长，与DC交于点R,与BC的延长线交于点S假设AD=4fZDCB=60,BS=10,求AS和OR的长.5. （2010湖南湘潭）如图，在直角梯形/1腼中，/DC,N分90,ACLBC5.（09年广东）如下图，在矩形ABCD中，AB=12,AC=20,两条对角线相交于点0.以0B、OC为邻边作第1个平行四边形0880,对角线相交于点4；再以4用、AC为邻边作第2个平行四边形HBCC,对角线相交于点。I；再以o与、OlG为邻边作第3个平行四边形。出IBC依此类推.A（1）求矩形ABCD的面积；（2）求第1个平行四边形033（、第2个平行四边形ABCC和第6个平行四边形的面积。
