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1、第九章整式第1节整式的概念【知识要点】1 .字母表示数:字母表示数具有简明、普遍的优越性。从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了从特殊到一般的抽象概括的思维方式。2 .列代数式:即用字母把数字和数量关系简明地表示出来。3 .代数式的值:列代数式解决问题时，往往要根据代数式里的字母的取值来确定代数式的值，因此求代数式的值是运用列代数式解决问题的一个重要方面。4 .整式:最简单、最根本的代数式(1)单项式：由数与字母的积或字母与字母的积组成的代数式叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。(2)多项式：几个单项式的和组成的代数式叫做多项式。把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做
2、把这个多项式按这个字母降累排列，反之按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升基排列。如：多项式5dy一寸一3肛3+2/丁7按y的降暴排列为一V-3盯3+2/+5/y-7,按y的升幕排列为一7+5x3y+2x2y2-3xy3-y4。【学习目标】1 .正确理解单项式、单项式系数、单项式的次数、多项式、多项式系数、多项式的次数、整式等含义;2 .会用抽象的数学语言描述实际问题：【典型例题】3 .用字母表示数【例1】黑板的长为2.5米，宽为人米，那么他的面积和周长分别是多少？【分析】此题是根据长方形的性质求解的，要熟记长方形的面积公式，周长公式。【解答】面积=2.5Xb=
3、2.5伏米2)周长=(2.5+6)2=2屹+2.5)(米)【点评】数字与字母或数字与括号相乘时，通常省略乘号，但要把数字写在字母或括号前面。【例2】请用字母表示已学过的四那么运算律，如加法结合律等。【解答】加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(4+8)+c=+S+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(4b)c=4gc)乘法分配律：(o+8)c=c+bc【点评】这里的“X”号，只是为了使表达清晰，实际做题时要注意书写标准。【例3】设某数为X米，用X表示以下各数：(1)某数的平方的相反数；(2)比某数的三倍大7；(3)7加上某数的和的三倍(4)某数与5的和除以某数；(5)某数的倍减去2的差3【
4、分析】解此题的关键是审清题意，审题时要抓住关键字，如和、差、积、商、多、少、几倍、几分之几等；要注意书写的标准；按“先读先写的规那么表示。【解答】(1)-x2;(2)3x+7；(3)3(7+x)；(4)；(5)-x-2；X3【点评】书写标准的通常约定(1)式中出现的乘号，通常乘号写作或省略不写。如6x4常写成6。或6。(2)数字与字母相乘，将数字写在字母前面(1省略不写)，如6。不写成6(3)数字与数字相乘，一般仍用“X”号。2(4)式中出现的除法运算，一般按照分数的写法书写，如2。通常写成一a131(5)表示字母与分数的积时,分数是带分数要化成假分数。如：1上。要写成巳，免得产生l三222的
5、误解。另外的一些约定在以后逐步了解。【例4】观察以下格式：第一式：Ix2x3x4+1;第二式：2345+4;第三式：3456+9:第四式：4567+16;用含字母的式子表示第个式子【分析】归纳一般性的规律，应从最根本、最简单的情形入手思考，此题观察前四个式子的特点，从变化中发现一般性的特点，这样便于发现其中的规律，也是一个从特殊到一般的过程，这也是常用的解题方法和策略。【解答】第个式子是X(+1)x(+2)x(+3)+J/【例5】如图94,边长为m的正方形卡片，四个角上分别剪去一个边长为的正方形机2，然后折成一个无盖的长方体盒子，如图9-1,试写出计算这个无盖长方形的体积和外表积的公式图9-1
6、【分析】长方体体积等于它的长、宽、高三者之积，也等于它的底面积乘以高。由此题的条件可知：长方体盒子的高为“，而底面是一个正方形，关键是求出它的边长。要求这个无盖长方体的外表积，它既可以看成由底面正方形与四块侧面拼成，也可以看成一个大正方形剪去四个小正方形所得。【解答血法一：由图9-1可知，无盖长方体的底面为有阴影的正方形，它的边长为?-幼，所以长方体的底面积为(5-2)2,该长方形的高为，故长方体的体积公式为：无盖长方体的外表由一个正方形底面和四个矩形侧面所组成。每个矩形的长、宽分别为6-2和面积为(m-2)，而底面积为(m-所以其外表积的公式为：解法二：同一解法得V=伽一2鹿F,无盖长方体的
7、外表的实质可看成一个大正方形剪去四个小正方形，所以外表积等于大正方形的面积与四个小正方形的面积之差，即S=62-42。【例6】以下用字母表示的式子都有其特定的意义，请结合已学知识和经验对他们作出说明：(1) n+m=O;(2)nm0；(3)nm=0；(4)nm0；(5)nm=1；(6)nm=-；【解答】(1)+7%=0表示、相互为相反数(2)7bO2W-X4。+3O23-68机+2VO3【分析】、是典型的用运算符号将数或表示数的字母联结而成。、属于单独一个数或一个字母。是一个等式，、是不等式。【解答】、是代数式【点评】用等号或不等号联结的不是代数式!【例2】用代数式表示：(1)汽车每小时行驶6
8、0千米，小时行驶千米；(2)哥哥今年。岁，比妹妹大人岁，妹妹今年岁;(3)行树一共有机棵，平均每行数有棵；(4)某件商品原价X元，春节期间以8折出售,那么打折后售价方3X与y和的平方的倍;(6)如图正方形的边长为。，求阴影局部的面积S；图9-2【分析】此题考查用代数式表示几个比拟简单的数量关系。题11)关键掌握行程问题中三量的关系，即路程=时间X速度。题2)关键在于分清大数、小数的和差关系。题(3)在于区分份数。题(4)弄清打折的意义。题15)注意平方和与和平方的区别。此类题解题关键之一是抓住语句中的关键性词语，如I：”和、差、倍、份、倒数、积、商、平方”等，第二分清运算的顺序。题(6)阴影局
9、部面积可以看作两个以。为直径的圆的面积减去正方形的面积【解答】(1)60r；(2)a-bx(3)；(4)80%x；7/2(5)(x+y)2；(6)S=2-a2=-a2-a242【例3】请展开联想,结合你的实际生活,设计具体情境,解释代数式(1+20%卜可表示什么实际意义？代数式2x3又可代表什么实际意义？【解答】此题答案不唯，这里只给一个范例(1)假设。表示某工厂第一年的产值，第二年产值增加20%,那么(1+20%卜表示此工厂第二年的产值(2)假设X表示正方形的边长，那么/表示正方形的体积，那么2/表示2个边长为X正方形的体积;【例4】一个三位数，他的百位上的数字式1,十位上的数字比百位上的数
10、字的2倍多3,个位上的数2字比百位上的数字的土少2,那么这个三位数可表示多少？32【分析】先确定十位数字是2x+3,再确定个位数字是士1-2,从而这个三位数可以表达为3【点评】设百位上数字为小十位上数字为bt个位上数字为c,用代数式表示这个三位数不能表示为abc(因为林表示xxc),而应表示为100w+10/?+c。【例5】如图，一个长方形恰好被分成六个正方形，其中最小的正方形A的变长为1,求这个长方形的长和宽。【分析】仔细观察这个图形的结构可以看出C的边长是5的边长减去A的边长1；O的边长等于C的边长减去1；E和尸的边长等于。的边长减去1,所以只要求出8的边长，问题就迎刃而解了。图图9-3【
11、解答】设正方形B的边长工那么正方形G。、E、尸的边长分别为*一1)、。一2)、(x-3).(x-4)由长方形对边长相等，可得2(x-3)+(x-2)=x+(x-l)解得：x=7所以，长方形的长为7+(71)=13,宽为7+(73)=11答：所求长方形的长为13,宽为11。【例6】我国政府为解决人民群众看病难，决定下调药品价格。某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，那么这种药品在1999年涨价前的价格为元。【解答】因为该药品经过两次调价后的价格是4元，而所求的问题是第一次调价前的价格，可以用逆向思维的方法来解：因为2001年降价70%至a元，所以降价前的价格应为=,用同样
12、的方法可列出第一次调价前的价格为W2q(1+3O%),整理得1-70%3030100a39【点评】逆向思维是一种常用数学思想。3.代数式的值Wl1求代数式2+3/T的值=2a=，=1.52【分析】求代数式的值分两步进行：(1)代入；(2)计算【解答】(1)29(2)-2当=L5时,23+32+-1=21.53+31.52+1.5-1=14【点评】(1)代入数值时，原来的运算符号和数字不能改变；数字间相乘，原来省略的乘号要重新填上；如果数值是负数或分数时，应该主动添括号。(2)计算中遇到小数的乘法，通常将小数转化为分数的形式再计算。结果是分数的话应是最简分数。【例2】当=2,b=-l,c=-3时
13、，求以下各代数式的值(1)b2-4ac；(2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac(3)(a+b+c)2【解答】当=2,Z?=1,C=3时(1)b2-4dr=(-l)2-42x(-3)=1+24=256f2+Z?2+c2+2ab+2bc+fIac=22+(-1)2+(-3)2+22(-l)+2(-l)(-3)+22(-3)=4(.+He)?=(2-1-3)2=4【例3】挖一条长为K的水渠，渠道的截断面是等腰梯形，如图9-4,梯形的底分别为4、S,水渠深力，假设X=200m,a=6m,b=4w,h=1.5mo求挖这条水渠的土方量【分析】求水渠的土方量，即求体积，体积=底面积X高。这里即是等腰
14、梯形的面积X水渠的长度。图9-4【解答】水渠的土方量V=L伍+。)/Lr2当X=200/?,a=6m,b=4m,h=1.5n时，答：求挖这条水渠的土方量为1500?【例4】某企业去年的年产值是。亿元，今年比去年增长了10%,如果明年还能按照这个速度增长，请你预测一下，该企业明年的年产值将能到达多少亿元？如果去年的年产值是2亿元，那么明年的年产值是多少亿元？【分析】这是一道应用题，首先应该搞清楚其中的数据的数量关系。【解答】由题意可得，今年的年产值为(l+10%)亿元，于是明年的年产值为(l+10%)(l+10%)=1.2%(亿元).假设去年的年产值为2亿元，即=2亿元时，那么明年的年产值为1.
15、2Ia=I.21x2=2.42(亿元)答：该企业明年的年产值能到达1.21。亿元，由去年的年产值是2亿元，可以预计明年的年产值是2.42亿元【点评】(1)代数式的值是由代数式里字母所取值确实定而确定的；(2)代数式在取值时，应当使代数式所表示的实际数量有意义。【例5】生2=4,求代数式的值X-yX-yx+y【分析】此题由于无法知道K,)，的值是多少，所以只能用整体代入，与二2互为倒数,X-yx+y所以上U=L,再将它们一起代入就可以求出代数式的值。x+y4心田&x+yX-y1C【解答】-4-=4-4-=3X-yx+y4【点评】遇到条件中没有告诉每个字母的值，就可以考虑整体代入求值，这是求代数式
16、值的常见方法。【例6】当X=I时，代数式PX+/+1的值是2001,那么当X=T时，代数式PX+/+1的值为()A.1999B.2000C.2001D.1999【分析】当=1时，px3+qx=p+qi当X=1时，px3+qx=-p-qt两者互为相反数当X=I时，代数式PX3+g+=p+q+=200i,所以+g=2000,当=1时，代数式p/+x+l=-p-,+l=-2000+1=-1999【解答】选A。【点评】要灵活运用整体代入的方法。4.整式【例1】以下代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？3,ci-vb132y,cbc,3b”,2+l,-,3x*2x1,53223X【解答】单项
17、式有：3/,32y,abc,-52多项式有：一+力，-3b2t2tzl,32-2x+3233整式：除一外，其余都是整式。X【点评】3不是单项式，因为单项式只含有乘法以及以数字为除数的除法运算。网必可以写X3,2。hEU2a-b一八成，因此TE多项式。333【例2】指出以下各单项式的系数和次数：【分析】根据单项式的次数和系数的意义来确定【解答】V的系数是一,，次数是2；55N2的系数是-3,次数是3；77。的系数是1,次数是1；5=S的系数是红,次数是7；99【点评】此类练习需注意几点：（1）单个字母的次数是1而不是O次。（2）单独一个数的单项式是零次单项式。（3）*是分数，乃是无限不循环小数，
18、之、乃数字因数，所以且是单项式999空区的系数.9【例3】多项式5丁4一一+3/,一3个2一5/丫3是几次几项式？并按字母X的降塞排列和字母的升嘉排列。【解答】5/-X4+3x3y-xy2-5x2y3是五次五项式。按字母X的降基排列：一丁+3x3-5x2/-xy2+5/按字母y的升哥排列。-X4+3x3y-xy2-5x2y3+5/【点评】（1）不含有视为常数项，因此5y4是关于X的最低此项；类似地是关于），的最低次项。（2）多项式中的项是包括它前面的符号的。变更项的位置时连同他前面的符号一起移动。如果原来的第一项省略“+”号，移到后面时就应补上+”号，如果原来中间项移到第一项而性质符号是“+”
19、，也可以省略“+”，但性质符号“一”不能省略。含有两个（或多个）字母的多项式，按某一字母排列时，只按这个字母的指数排列，没有这个字母的项，当成那么个字母的常数项，即指数为0。【例4】1=2时，多项式Or3一次+1的值等于一U,那么当X=T时，多项式120r-33+5的值等于多少？为什么？【解答】因为x=2时，多项式Or-汝+1的值等于一17,所以“x23-Ax2+l=-17,即4。一6=9。当x=-l时，120r-3笈3+5=-1勿+36+5=3(4。一)+5=27+5=32【点评】单个字母求不出时，常考虑整体代入。【例5】假设多项式6炉+2一-+2是三次二项式，求代数式2一2+1的值。【分析
20、】多项式6x“+2-jv2-+2是三次二项式，但最高次项有两种可能，可能是6x”+2也可能是所以此题要分情况讨论。【解答】(1)当6*+2是最高次项，那么+2=3,=1,那么，n2-2n+l=0(2)当一/-是最高次项，那么2=3,=一1,那么2-2+1=4【例6当abc,xyz时，下面4个代数式的值的最大值()。（八）ax+by+cz(B)ax+cy+bz(C)bx+ay+cz(D)bx+cy+az【分析】条件和结论的联系不明显，题目本身很抽象，如何变抽象为具体，根据题目所给的条件，用一些特殊值代替抽象的字母进行计算，从而选择出正确的答案。【解答】取=x=-l,b=y=0,C=z=1,比拟可
21、得（八）选项是最大的。【点评】特殊值法是一种化抽象为具体的数学方法。【根底训练】1 .汽车每4小时行。千米，它的速度是千米/小时。2 .教室里原有?个同学，走出去4人，那么教室剩下的同学人数是人。3 .某商品现价。元，比原价降低了25%,那么原价为元4 .买单价X元的球拍个，应找回的钱用代数式表示是元。5 .实验中学初一年级12个班级中共有团员。人，那么幺表示的实际意义是126 .如图，用代数式表示图中阴影局部的面积题6图7 .商场为了促销，常用打折的方法，某商品原零售价为加元，先后两次打折，第一次打八折，第二次打七折，两次打折后零售价为元。8 .当x=2时，代数式,/一3的值是29 .当=2
22、,y=3时，代数式x(y+1)的值是10 .当2一7=3时，代数式/一。+1的值是IL多项式53y-V+2肛3一/+；132一的次数是，常数项是12 .将多项式3孙一2y+3-y+(按X的降寒排列是13 .假设；加肛是关于字母x、y的单项式，其系数为-5,次数是5,那么用=14 .用代数式表示：。的2倍与b的一半之和的平方15 .小明从家出发去五角场，如骑车每小时行。千米，那么/小时可到达五角场。现乘公共汽车，每小时比骑自行车多行b千米。(1)试求乘公共汽车多少小时可到达五角场(2)当=15,6=25/=4时，乘公共汽车到五角场所花时间是多少？【能力提高】1. 有一个两位数，十位上数字是X,个位上的数字是乃如果把它们的位置交换，得到的新的两位数是，这两个两位数差多少。2. /+32+2+5是七次多项式，那么修3. 设是正整数，用含的代数式表示：(1)比大且与2相邻的奇数；(2)能被5整除的偶数。4. x+2y2+5=9,求代数式4x+8)产+55. x+y=3,求5(x+yF+x+y+2的值x+y6. m+2+(n-3)2=0,求代数式痴，-/+5的值
