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1、两位数除以一位数的笔算除法教学设计与实践反思教学内容二年级下册除法竖式计算P62-63教学基础100以内加减法口算及竖式计算；表内乘除法平均分；有余数除法口算意义的理解；解决除法的多样性策略及多种表征方式教学目标知识性目标理解除法竖式的算理熟练掌握除法竖式的算法，并形成良好的答题规范了解除法竖式的相关数学文化历史，充盈数学涵泳掌握除法竖式模型应用的规律及运算特点把握除法竖式余数和除数的大小关系能够熟练运用除法竖式解决生活中的实际问题，并能对结果的实际意义做出解释过程性目标在经历观察，操作，交流，互动中经历探索除法计算策略的多样性经历与他人交流各自算法的过程在合作探究中经历操作除法竖式的形成及体
2、验感受不断优化过程在了解数学史知识过程中加深对除法竖式的理解在数学文化融入教学中体验数学创作的数学精神和文化魅力拓展视野借助名人名言等感受数学的简约美，提升数学境界。教学重点理解除反竖式的算理，掌握并熟练运用除法竖式的算法。教学难点探究理解除法竖式的形成过程教学关键点除法竖式的书写的认同和意义的理解数学史引入深化对除法竖式形成过程的理解除法竖式创造技术摆放形式的抽象，操作程序的优化，操作程序的抽象概括教学两层次：直观感知构建除法竖式模型；解释应用模型归纳竖式运算规律教学特色教学中考虑采用探索发现的构架通过数学文化的引入（数学符号和除法竖式）加深对于除法竖式形成过程的理解。教学过程（一）旧知回顾
3、，激活学习经验课前出示习题（包含：加减乘除口算，加减法竖式）（1）口算32+30=?35+6=?（2）笔算（列出加法，减法竖式）师：结合这些题目思考一下：口算和笔算有什么不同呢？预设1：口算直接写出答案，笔算又要写过程又要写答案预设2：笔算虽然麻烦，但是不容易错情境引入：出示13个苹果问：老师今天拿了13个苹果，想每4个苹果放一盘，这该如何解决呢？出示算式：134=?师：怎么计算，你有好主意吗？预设1：动手分一分（上台展示）预设2：借助画图，列减法算式：1344-4=1（师：这里的力”是商的意思吗？）师：你能说说你这样列式的理由吗？生：13个苹果4个4个分这样的3次还剩1个不够分。师：谁听懂了
4、，谁能再次复述把话说清楚？引导：13,4,1分别表示什么意思？（3又在哪里？）13表示苹果总数；4表示每份4个；1表示还剩1个不够平均分；3即式子中4的个数表示能平均分3盘所以横式可以写成：13：4二3（盘）.1（个），注意单位！师：还有其他不同的想法吗？预设3：乘法口诀，想3x4=12,13-12=1（想乘做除）师：你是说你想4和几相乘的积接近13,而且比13小对吗师：还有其他的吗？今天咱们就来认识一种新的办法板书课题两位数除以一位数的笔算算法（二）沟通类比建构模型名言呈现如果一个人能把除法做好，那么其他的运算对他来说轻而易举，因为加减乘除都包含在除法运算中。一-帕乔利（意大利数学家，149
5、4年）师：为什么说加减乘除都包括在除法运算中了呢？既然竖式体现过程本节课就借竖式来验证一下吧问：对于除法竖式你想知道什么？预设1：除法算式又是怎么来的？预设2：如何列除法算式？预设3：为什么要列除法算式？师：首先咱们解决第一个问题：怎么来的。来当一回小小数学家吧！小组合作自主探究思考：大数学家帕乔利的观点如何在竖式中呈现出来？教师选取典型结果呈现于黑板预设1：除法竖式（如图1）师：同学们这种形式你们觉得怎么样？这是他心中的除法算式，老师有两个思考问题：都说笔算既要写过程又要写答案，为的是计算更准确，这里有过程吗？问题：帕乔利说的观点在这个算式中印证了吗？小结：这种形式不能说错，但是也许有更好的
6、办法。预设2：连减的笔算形式（如图2）师:同样思考老师的以上两个问题生：计算体现了过程，但是不简便生：这是减法竖式不是除法竖式，也没有把加减乘除包括在内。小结：的确。但一点值得表扬：能类比减法推导除法横式的办法用在竖式上。师：在创造的道路上注定会遇到各种困难。只要齐心努力相信一定可以战胜它们！除法竖式的创造在之前的课程中，我们学会用减法推导解释除法口算算法思考：（1）能否借助减法竖式类比解释除法竖式呢？（2）帕乔利的话合理性何在？师：连减能体现过程但是不属于除法范畴引导：减法竖式中诸如减数，被减数，减号等元素均具备，所以属于减法范畴师：怎样变就可以转化成除法？体现除：134=3（次）1（个）生
7、：将除法中的除数，被除数，除号等都加入师：谁愿意上台尝试，其他有想法同学也可以申请上台修改引导：减法竖式中12是被除数，如何在此基础上添加等号，除号，除数？文化点：u,t）”,=”一“”的修改（除号形式的纠正）师：咱们扮演数学家的角色，自然也要进入当时的社会环境在那个时候，除号仍未诞生，1544年德国数学家斯蒂菲尔（M.stifel）在他出版的整数算术中以一个或者一对括号作为除号，例如“8）24”表示“248”小结：所以我们将“”改写成“）”师：除此而外，从15世纪起数学家们陆续创作了自己的数学符号，等号也包括在内。比如阿拉伯人盖拉萨迪用“伊表示等号，德国人缪勒（1436-1476）和意大利数
8、学家帕乔利（2-1517）用一条长长的破折号“”表示等号。在经历了诸多变化之后，才最终定下了英国数学家雷科德的在“一”上加一线，即用两条平行直线表示相等的“=”。师：同学们，帕乔利用了什么符号？（作为等号）小结：所以我们需要对“=”也做出修改为“”形式体现“加”师：借助减法算理细化理解3（在等号上以3个“1”呈现）表明连续减去3次4问：如何体现加？（三个1相加）那现在属于除法竖式了吗？生：有过程，有结果，有乘法的所有元素了，所以属于除法竖式。问：大数学家帕乔利的话印证了吗？生：有减，有加，有除，但是乘在哪里？学生思考自主探索师：连减部分的三个4能不能改进？预设：3个4就是3x4=12,可以将下
9、半部分简化为12师：不错，不仅体现乘，还把数学竖式的简约美充分展现出来了总结：同学们真是太厉害了，除法竖式已被我们创造出了！（三）科学性数学文化的印证力量环节一：切实感受重走数学家的道路师：我们借助已有经验创造出了除法竖式，那个年代的人是怎么样创造的好奇嘛？师：其实在2000多年前古人和我们也有类似的思考（出示中国的办法：“直除法”，如图1）师：熟悉吗？（连减）师：这种方法怎么样？生：好理解，但数字大的时候麻烦，要写好几个5师：于是100O多年后人们想出了一个类似的除法竖式（右图2）师：熟悉吗？生：类似我们创造的第三步，和简化之前的除法开始类似了。师：看来我们同学都拥有数学家的智慧！环节二：体
10、验数学的简洁美笫四步图7，御制数理精蕴除法详解示意图其中第一步是把被除数64写在下面.除数8写在上面。因为除数8大于被除数最高位6,所以要退一位写.这实际上是运用乘法计算除法，相当于思考”8乘多少等于64”。第二步是看被除数最多包含了除数的儿倍,可以看出最多包含8倍，所以在除数上面写8。第三步是将得数8与除数8相乘得64,写在被除数64下面。第四步是与被除数相减恰好得0。说明除法的结果就是8.御制数理精蕴中对于比较复杂：清朝时期康熙皇帝下诏编制御制数理精蕴一书里有这样的除法竖式（出示PPT）你能理解他的意思吗？生：用乘法计算除法引导看着怪怪的，体现的是乘法。没有凸显除法本质师：康熙帝也是这么认
11、为的，又是改成了以下形式。师：以6713=5为例于是变成了我们的现在竖式，这样的竖式给你什么感觉？（简便）师：康熙皇帝也是这样认为的，于是对方法进行了改良。仔细看，它是怎么变的呢？（课件演示，如图8）实在是太奇妙啦，由复杂的“直除法”到简洁的除法竖式，你觉得哪个方法更好？（现在的方法）19世纪的大数学家高斯说过：数学是科学中的皇后，它具有简洁美师：现在的除法竖式美吗？回顾完善134=?的书写格式，（板书计算步骤对应）（四）解释应用巩固模型师：除法竖式诞生了，你们会用吗？余数为。的整除竖式问题如果老师在原来基础上拿走一个苹果，每盘四个能分成几盘，怎样列式？出示124=?学生自主列出除法算式，教师
12、引导书写顺序师：你发现了什么？分了几盘？还剩几个？（正好分完没有剩余）关键问：你能说竖式中几个数的具体含义嘛？小结：可见整除就是有余数除法中余数为O的特殊情况。师：现在大家掌握了吗？学会怎样书写两位数除一位数的除法算式了嘛？总结计算步骤：老师总结了这么一句话，谁看懂了？PPT出示：一商二乘三减为除（乘：商和除数相乘，求已经去掉的分数，减：计算余数）常规练习问题：如果一共13个，每5颗一盘？（分了几盘，还剩几个？）问题：纠一纠（出示错误的笔算形式）问题：想一想，算一算，比一比（整除和有余数除法，被除数的变化）出示164=4,243=8,184=4.2,233=7.2提问：你是怎样思考的？（想除数
13、和几乘的积比被除数小或者等于被除数）提问：你发现余数和除数的关系了？（余数要比除数小）（五）总结反思同学们，本节课的内容学习很快就要结束了老师想要给你们三次掌声第一次：为能够突破重重困难创造除法竖式而刮目相看，你们都是小小数学家！第二次：为能够在互动中积极思考并熟练应用总结规律，你们都是小小思想家！第三次：为你们能在数学文化中增长了数学涵养而鼓掌，你们都是数学文化人！（六）课外拓展：一根绳子长39米,做一根长跳绳要用7米,这根绳子可以做多少根长跳绳？还剩多少米？（七）教学板书课题两位数除以一位数的笔算算法（八）教学反思相比已经学过的加法和减法竖式以及后续的乘法竖式学习，无论从形式还是计算的起始
14、位值上都是很大不同，笔者认为这是唯一一种不是从个位开始计算的标准算法。二年级下册的“除法的竖式计算是学生第一次接触表内的竖式计算，本节课教学的除法竖式的题目全部都能借助口算完成，显而易见教学旨在要求学生掌握除法竖式的呈现形式。而根据前期经验学生只能依据加法和减法的竖式形式照猫画虎，如何基于学生己有的竖式计算经验构建除数竖式形式，让学生理解和认同除法竖式形式成为教学关键点。但是教学中注意学生容易进入借助口算写笔算的误区要注意引导。本节课教学设计点：采用探索发现式架构引导学生自主经历建模过程借助人文学科性数学文化完善修正建模借科学性数学文化印证竖式发展深化理解竖式解释应用模型中不断总结规律发现特点
15、课堂小结方式别出心裁一、学生在笔算除法中的两个困惑除法竖式步骤多、书写繁杂，学生计算正确率往往不太高，是小学阶段笔算教学的重难点。其中，北师大版教材三年级下册”两位数除以一位数”内容是学生第一次接触多层记录的除法，理解起来有一定难度，因而学生通常会出现两个典型的困惑。困惑一：除法竖式为什么要写“两层”？教学682的笔算时，教师通常先引导学生进行直观操作，再通过分物过程与竖式记录的对接，帮助学生理解算理。但事实上，教师教的过程与学生想的内容并不一致，学生存在困惑。教师教的：把68根小棒平均分成2份，先分6捆，把6个“十”平均分成2份，每份30根，即602=30（根）；再把8根平均分成2份，每份4
16、根，即82=4（根）；最后相加，即30+4=34（根）。两次分的过程用两层竖式进行记录（如图1）。Cb0图1学生想的：“把68根小棒平均分成2份，6捆（6个十）和8根一起分，一次就能分好，写一层竖式更简单！”“二年级时学的除法竖式也只写一层。”“写两层太复杂了，直接写一层就能算出得数J（如图2）图2教师在课后访谈中发现，学生心里一直存有这样一个困惑：明明可以用一层竖式来记录，为什么还要写两层呢？可见，学生心里并不认同两层竖式的写法。这说明上述教学方式并没有体现两层竖式记录的必要性。困惑二：除法竖式为什么要从高位算起？教学682的笔算时，教师一再强调：要先分6捆（6个“十”）小棒，再分8根小棒。
17、试图让学生明白从十位算起的必要性。然而，在分小棒时，仍有学生直接把68根小棒一起分，不存在先高位再低位的过程；甚至还有学生先分8根小棒，再分6捆（6个“十”）小棒。这是因为682这个例子比较简单、特殊，对帮助学生归纳“先分什么，再分什么”的过程的作用并不明显，所以才导致学生在应用竖式计算时不禁疑惑：加法、减法和乘法竖式都是从个位算起的，除法竖式为什么要从高位算起？二、学生两个困惑产生的原因分析从学生角度看，既然二年级时笔算183用“一层”竖式来表示，那么三年级时笔算483也可以用“一层”竖式来表示（如图3）。而学生之所以会这么认为，主要有两方面原因。616183j481848OO图3原因一：学
18、生的思维仍然停留在物的等分上二年级时学习除法竖式183是学生第一次接触除法竖式。教材中，不论是把18根小棒平均分成3份，还是把18个苹果平均分成3份，其实都是对物的一次等分，即把18个一平均分成3份，每份是6个一，相应地用一层竖式来记录。到了三年级学习除法竖式483时，教材一般呈现4捆（40根）小棒和8根小棒，学生自然会把它看成一个整体，即48根小棒。把48根小棒平均分成3份，每份就是16根小棒，即16个一（由于数据比较小，学生能直接得出答案）。这一过程，学生是一次完成的，不需要转换计数单位，因此就用一层竖式来表示，导致学生很难体会“先分几个十，再分几个一”的除法竖式分层记录和“要从高位算起”
19、的道理。事实上，整数除法的核心在于“计数单位的等分:在等分的过程中，先等分大的计数单位，有余时再与更小的计数单位合起来继续等分；在继续等分的过程中，先将大的计数单位转换成更小的计数单位，再与更小的计数单位合起来，使计数单位的数量增加，从而能继续等分下去。从二年级的“表内除法”到三年级的“两、三位数除以一位数的笔算除法”，等分过程变得更加复杂。两位数除以一位数对应以十、一为计数单位的两次等分，相应地用两层竖式来表示；三、四位数除以一位数乃至多位数除法，不能通过口算直接得到商，需要多次等分，通过多层竖式依次记录才能得到正确答案。可见，要让学生理解“除法竖式写两层”“要从高位算起”的道理，教师的教学
20、就要由物的等分上升到计数单位的等分。原因二：教学未能帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分为什么经过三年级的学习之后，很多学生仍然停留在物的等分，而对“除法竖式写两层”“要从高位算起”心存困惑呢？这可能与教师的教学设计有关。对于这一内容，教师通常会采用以下环节进行教学。【环节一】经历平均分物的过程教师呈现学习材料：把68个桃子平均分给2只猴子，每只猴子分到多少个桃子？1 .让学生先列出算式682,再用小棒替代桃子进行分物活动：先分6捆小棒，再分8根小棒（如图4）。图42 .抽象出口算过程：602=30,82=4,30+4=34。【环节二】用除法竖式记录分物的过程1 .学生尝试用竖式记录分小棒的
21、过程。2 .交流展示学生写的不同的竖式。3 .对比交流：将“先分6捆小棒，再分8根小棒”这两次均分小棒的过程与竖式的两层记录对接起来，再用分小棒的过程来解释竖式每一层记录所表示的意思。4 .学生规范书写除法竖式，并小结除法竖式的计算方法。从上面的教学环节看，学生对算理的理解，与直观形象的“分”紧密结合。教师让学生先用小棒代替实物来操作，再将两次分小棒的过程与除法竖式的两层记录对应起来。在这一过程中，教师强化的是用除法竖式记录两次分物过程的表面现象，而没有分析其实质是计数单位的等分。试想，当学生将6捆小棒和8根小棒平均分成2份时，他们看到的是分物，还是分计数单位“十”和“一”？答案显而易见。学生
22、用小棒进行操作活动，体验的自然是小棒的等分。当把成捆的小棒拆分开来，学生看见的直接就是“10个一”，并不需要“把1个十转换成10个一”，因此很难理解“先分几个十，再分几个一”的道理。从以上分析中可以看出，学生产生这两个学习困惑的原因，是分小棒没有帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分。三、解决学生两个困惑的关键如何解决学生的两个学习困惑，帮助学生从物的等分上升到计数单位的等分呢？关键是要凸显计数单位的转换。教学中，教师应借助适合的学具（磁扣）来体现计数单位的转换过程。以笔算423为例,教师可以用4个大磁扣和2个小磁扣来表示42（如图5）,引导学生联想到计数单位“十”和“一二把4个大磁扣和2个小
23、磁扣平均分成3份，应先分4个大磁扣，平均分成3份，每份1个大磁扣，余下1个大磁扣；再根据“退一作十”，将余下的1个大磁扣转换成10个小磁扣。这种“把1个十换成10个一”的大小磁扣转换过程，促使学生用两层竖式表示等分过程，帮助学生完成等分中的升级，即先分十位上的几个十，将余下的1个十转换成10个一，和个位上的几个一合起来再分，从而让学生理解“除法竖式写两层”和“要从十位算起”的道理，同时也为后续学习三位数除以一位数和小数除法奠定基础。图5具体而言，教师可以设计以下两个教学活动。教学活动一：磁扣操作，体验计数单位的等分这一学习内容教材安排了2个课时，先学习682（首位能除尽），再学习483（首位不
24、能除尽）。教师设计教学活动时，将2个课时整合为1个课时，并将483改为423,作为例题进行教学。这样设计主要有两方面原因：一方面,首位不能除尽的除法更具有一般性，易于迁移到首位能除尽的除法；另一方面，423比483更方便学生操作学具。1 .任务驱动：423的竖式怎么写？自己先试一试。2 .教学反馈：预设学生主要有两种不同的竖式写法（如图6）。竖式AH3用年2O图63 .比较分析：如果这两种写法都对，你喜欢哪一种？大部分学生喜欢竖式A,因为竖式A和他们之前学习表内除法时的写法一样。而竖式B要写两层，比较复杂。4 .教师提问：既然我们都认为竖式A比较好，为什么书上会选用竖式B呢？这个提问是学生最困
25、惑的问题。学生因为在二年级有学习除法竖式123的经历，所以会从除法的意义进行思考。5 .回顾除法的意义：423表示什么意思？表示把42平均分成3份，每份是几。6 .直观操作。教师出示4个大磁扣和2个小磁扣（如图7）,提问：这是42吗？你是怎么知道的？图7学生思考：如何把4个大磁扣和2个小磁扣平均分成3份。教师提问：先分什么？余下的1个十不够分怎么办？再分什么？交流：刚才我们分了两次。第一次分4个十，将其平均分成3份，每份分到1个十，分掉3个十，还剩1个十。余下1个十不够分，转换成10个一。第二次分12个一，平均分成3份，每份分到4个一，分掉12个一，正好分完。教师直接让学生尝试不同的算法，呈现
26、学生的两种不同竖式，直面学生的疑问，而这疑问恰恰指向背后的算理，指向基于意义的操作明理。然后引导学生将教材中的操作学具小棒替换为大小磁扣，在平均分的过程中突出计数单位的转换。学生第1次先分4个十，剩下1个十不够分，发现必须把1个十换成10个-O由此，将两次平均分的过程呈现在学生面前。教学活动二：体会记录，将除法竖式与两次等分过程进行关联1.问题讨论：根据分的过程，你觉得这两种竖式写法，哪一种比较合理？很多学生认为竖式B比较合理。2 .教师追问：为什么竖式B比较合理呢？很多学生认为竖式B很好地记录了两次平均分的过程。3 .教师继续追问：你能在竖式B中找到两次平均分的过程吗？先分的4个十对应什么？
27、要转换的1个大磁扣呢？在竖式A中能找到吗？4 .规范写法：用课件动态演示两次平均分的过程，学生用竖式记录。教师示范写法，并说一说计算过程。5 .比较：同样是两位数除以一位数，为什么123的竖式只需用一层来表示,而423的竖式却要用两层？6 .结论：123平均分了一次，所以是一层竖式。423平均分了两次，所以是两层竖式。在充分体验计数单位的等分后，学生马上能将两次等分过程与两层竖式一一对应起来。这不仅体现了竖式分步记录的合理性，还将学具操作与口头表述、竖式书写之间进行多向沟通，从而使学生深刻理解除法竖式就是对两次等分过程的记录。学生在笔算除法中的“惑”自然就解了。回顾整个教学过程，教师基于学生学
28、习笔算除法的典型困惑，分析困惑产生的主要原因，依惑而教，将操作学具从小棒变为磁扣，在计数单位的转换中凸显两次等分记录，最终解决学生的困惑。在小学阶段，学生一定还有不少类似的学习困惑。俞正强老师在种子课2.0：如何教对数学课一书中写道：为什么那么多学生对数学学习感到困惑，继而感到困难？这一定是有原因的。这个原因不是知识本身的对与否，而是教师“教”的这一行为的对与否。很多学生出现的学习困惑，与教师对教材和学情分析不到位，导致教学内容逻辑失序、学习素材选择失当、教学设计定位不准等有很大的关联。因此，教师应直面学生的学习困惑，认真解读教材，合理选择学习素材，精心设计教学预案，朝着正确的方向，上好每一节数学课。
