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1、几何综合题 1.如图，ABC中，AB=AC,ZBAC=at点。在，45C内部，且使得 ZABD=ZBD=-30o.则ZACO的度数为（）A.a-30o B.a-60o C.30o D.不能确定【答案】C【分析】如图，在ABC内作ZCAE=ZBAD,且使得AE=AD,连力ECE,证明一ABD三ACE,得到AACE为等腰三角形，再证明二ADE为等边三角形，推出.DCE为等腰三角形，由三角形外角的性质得出ZACD=IZAED即可.【详解】如图，在eABC内作Ne4E=N840,且使得AE=AD,连DE,CE,在AABZ）和MCE中，AB=AC 8厂可得QG=OF,进而可得QA=DE,进而SSS证明
2、AAD皿EDB,从而可得ZABD=NEBD,即可求得NABO的度数.【详解】如图，以AB为边作等边ZVWE,连接EC,/.ZABE=60o AB=AC.AB=AC=AE=BE.ZC=(180o-ZC)=90o-(ZE4C+60o)=60o-ZE4C ZACE=g(180。-NEAC)=900-TNEAC./BCE=ZACE-ZACB=30 NBCO=150。.NBCE+NBCD=180。E,C。三点共线，过点B分别作BF1DE,BG工DA,分别交DE,DA的延长线于点RG,08平分NAOC.BF=BG AB=AE:.RfAABG沿RfAEBF:.AG=EF 又BD=BD、BG=BF.RiADB
3、GRADBF.DG=DF:.DA=DE OB平分AQC,.ZADB=NEDB 又BD=BD,BA=BE.ADBAEDB ZABD=ZEBD:.ZABD=-ZABE=30 2 故答案为：30【点晴】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质，等边三角形的性质，添加条直线是解题的关键.3.如图，在AABe中，NABe=45。，AD9BE分别为DC,AC边上的高，连接OE,过点。作。尸_LOE交BE于点凡G为BE中点,连接AF,DG.则A尸，DG关系是 【答案】【答案】AF=IDG,【分析】延长OG至M,使GM=ZG,交A尸于“，连接8W,根据题意证明4E=D班,推出4)EF=NDFE=45。
4、,利用SAS证明MGMZA及2(SAS),得出 ZMBE=NFED=45。=ZEFD,BM=DE=DF,再利用&LS证明ABOMZDA(S4S),得出 DM=AF=2DG,ZFAD=BDM,证出NA，D=90。，即可得出结论.【详解】解：AF=2DGt且AZ7LOG;理由如下：如图，延长OG至M,使GM=G。，交AF于，连接8W,.ADt班:分别为8C,Ae边上的高，.ZBEA=ZADB=fXf,ZABC=45。，.43。是等腰直角三角形，.AD=BD,ZZMC+NC=ZDBE+NC=90,.ZDAC=ZDBEt HRaAE=NDBF,ZADB=NFDE=骄,.ZADB-ZADF=ZFDE-Z
5、ADF,即NBDF=ZADE,在AE和厂中，NDAE=NDBF AD=BD,ZADE=/BDF.M)AEDBF(ASA),.DE=DF,.AFI应是等腰直角三角形，DEF=NDFE=45,G为座中点，.BG=EG,在AeG何和E8中，BG=EG NBGM=NDGE,GM=GD:.BGM公EGD(SAS),:.ZMBE=ZDEF=45。=ZDFE,BM=DE=DF,ZDAC=ZDBE,:.ZMBD=ZMBE+ADBE=45+NDBE,/EFD=45=ZDBE+NBDF,.ZBDF=45o-ZDBE,ZADE=ZBDF,.ZADF=90。-ZBDF=45。+ZDBE=ZMBD,在DW和DA”中，B
6、M=DF、C、E三点共线，/.DE是等腰直角三角形，工NAoE=45。，/.ZADB=ZBDC-ZADE=45o,/.ZADB=ZADCf即AD平分NBOG 图3-1 如图3-2所示，将；ABC沿AC翻折得到AAA9,过点N作NH工CE于点H,过点C作 CG_LEA交E4延长线于G,连接NE,NG,VZGEC=450,NEGC=90,：NGCE=I800-NGEC-NEGC=45,：.ZGEC=ZGCEf：.GE=GC,:ABC中NABC=90。，AB=BC,：.AVC,AN=CN=AB=BC,NANC=90。，由前面所证可得NEGN=NCGM 在仆EGNffiCGN中,GE=GC NEGN=
7、NCGN,GN=GN:4EGN9ACGN(SAS),：.EN=CNt：NHl.EC,：.CH=-CE=9,2 VZECA+ZBAO=45o,ZECA+ANCH=ZCN=45o：.ZBAO=NCHt，在t84O和二NNC”中，NAOB=NCHN=9。NBAo=/NCH,AB=CN BAO=ZNCH(AAS),：OA=CH=9,BD=CM=OA=9,：.MD=OD=CM+CD=9+5=14,点M坐标为(14,14),Y点尸为OM中点，JF点坐标为(美至，&1加)，即尸(等，竽)，F(7,7).【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质，坐标与图形等腰三角形的性质
8、与判定等等，综合性强，较难.正确的作出辅助线是解答本题的关键.5.等腰RtAABe中，NACB=90。，CA=CBt点A、C分别在X轴、Iy轴的正半轴上.(1)如图1,求证：ZBCO=ZCAOI(2)如图2,若。4=5,0C=2t求8点的坐标；(3)如图3,点C(0,3),Q94两点均在轴上，且SACai=18,分别以AC,CQ为腰在第一、第二象限作等腰RtCAN、等腰RtQCM9连接MN交轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出。P的值；若变化，求。尸的取值范围.【答案】【答案】(I)见解析；(2)(-2,-3)；(3)不变，9【分析】(1)根据同角的余角相等得出结论即可；(2)先过点
9、8作BQ_Ly轴于CDBAOC(AAS),求得8D=C0=2,CD=AO=5t进而得出。A5-2=3,即可得到B点的坐标；(3)先过N作NH/CMi交)，轴于H,再4HCNgZQAC(ASA),得出CH=AQ,HN=QC,然后根据点C(0,3),SCA=18,求得AQ=I2,最后判定PN0ZPMC(A4S),得出Cp=PH=gc=6,即可求得OP=3+6=9(定值).【详解】解：(1)如图1,VZCfi=90o,NAOC=90,.*.NBCO+NACO=900=NCAO+NACO,(2)如图2,过点3作8Q_Ly轴于。，则NCO8=NAOC=90。,在4CDB和AAOC中，ZCDB=ZAOC
10、NBCO=ZCAO,BC=AC,C。跆ZXAOC(AAS),：BD=CO=2,CD=A0=5,OD=5-2=3,又点8在第三象限,：B(-2,-3)；理由：如图3,过N作NHCM,交y轴于H,等腰RmCAN、等腰RtQCM,ZC+ZCV=180,.,.ZCQ+ZCV=360o-180=180,NCNH=NACQ,XVZHCN+ZACO=90o=ZQAC+ZACO,：NHCN=NQAC,在4HaV和QAC中，NCTVH=ZACQCN=AC,/.HCN=ZQAC:HCN9AQAC(ASA),：.CH=AQiHN=QC,；QC=MC,：.HN=CM,Y点C(O,3),SC(M=18,JgxAQxCO
11、=18,即gxAQx3=18,Q=I2,：CH=T2,VNH/CMf：,NPNH=NPMC,，在PNH和PMC中，AHPN=NCPMZPNH=ZPMC,HN=CM：APNH边APMC(AAS)f：CP=PH=gcH=6,又.C0=3,OP=3+6=9(定值)，即OP的长度始终是9.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算.解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.6.如图，四边形MNPO中,MP
12、与NQ交于点O,N。MP=I8。，NMNQ=42。,NMON=H4。,NMPN=78。.(1)求证：MQ=NQ;(2)求NMP。的度数；度数；(3)若尸GlO,V是线段MP上的一动点，求。V的最的最小值.M NM N 备用图【答案】【答案】(I)见解析；(2)30；(3)5【分析】(1)通过角度的计算可得NQMN=QNM,进而根据等角对等边即可证明QM=QN；(2)计算NMQN=96。，将QP绕点。旋转96。，得到QS,连接SN,SM,证明AQMgAQNS,可得NQPM=NQSN,计算证明/MVP=NA/7W,可得MP=M/V,4MNS=/QNM+NQVS=60,进而可得JMSN是等边三角形，
13、证明ASQM且ZXSQN,进而可得/MPQ=NNSQ=30 (3)过点。作QVLMP,当QV_LMP时，QV最小，根据含30度角的直角三角形的性质即可求得答案.【详解】(1)NMoN=II4。,NMNQ=42。,./OMN=24。NQMP=I 8。，.NQMN=NQMP+ZPMN=42,:.NQMN=NQNM,.QM=QNf _ P 一 M N(2)NQMN=NQNM=42。，./MQN=180o-42 -42 =96,如图，将QP绕点。旋转96。，得到QS,连接SN,SM,P :.SQ=PQ 4MQP=NMQN+ZNQP=96o+乙NQP,NNQS=ANQP+/PQS=96o+NNQP,MQ
14、P=4NQS,又QQM=QN,.AQMgAQNS,.NQMP=NQNS=18。,MP=NS,4QPM=4QSN,./QNM=42。,:./MNS=/.QNM+NQNS=60,ZOMN=2华ZMPN=78,:.ZMNP=I800-NoMN-ZMPN=78,:.ZMP=ZLMPN,:.MP=MN,MP=NS,NS=MN,.MSN是等边三角形，：.SM=SN,ZMSN=60,在ASQM和ASQN中(SQ=SQ(SM=SN QM=QN.ASQM且ASQN,.NQSN=NQSM=ZMSN=30,.NMPQ=NNSQ=30。,(3)如图，过点。作QVLP,当QV_LMP时，QV最小,.QV=BPQ=TXl
15、o=5,。丫的最小值为5.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键.(1)如图1,求点C的纵坐标.(2)如图2,点E在线段AC上，点/:横坐标为/,ZXABE的面积为S,求S与/的关系式(不要求写出/的取值范围)(3)如图3,在(2)的条件下，延长AE交),轴于点G,点尸在EG的延长线上，连 接RF,GH平分ZAGo交I轴于点H,ZAFB=45。，CA=FBt求点的坐标.【答案】【答案】(1)4；(2)S=4-4r;(3)(-1,0)【分析】(1)如图1中，过点C作。_L
16、A8于.利用等腰直角三角形的性质求出CH即可解决问题.(2)如图2中，过点E作TJ_A8于T,连接AE.用，表示ET,利用三角形面积公式计算即可.(3)如图3中，过点8作8兀LA尸于T,BUBF交AF于J,过点C作CMJ_87交37的延长线于M,CML4产于N,过点乍JKLAB于K.利用全等三角形的性质证明AJ=UKt推出NGAo=30。，即可解决问题.APQV是直角三角形，NMPQ=30,7.如图，在ABC中，点A,点3在K轴上，NACB=90。，CA=CB9 BC交y轴于点 D9点。的坐标为/)，点的横坐标为 图1 图2 图3【详解】解：(1)如图1中，过点C作CJ_A8于凡 图1 点。的
17、横坐标为-3,：.OH=3,YCA=CB,ZACB=90：.NCB4=45。，VNDOB=90。,/.OD=OB,VD(0,1),；OD=OB=I,:CH.LAB,IAH=HB=A,CH=AH=BH=%点。的纵坐标为4.(2)如图2中，过点E作ETUAB于丁，连接 点E的横坐标为f,：.T(/,0),V(1,0),NEBT=450,ZE7,=90o,.ET=BT=I-/,S=ABET=8(1)=4-4r./.S=4-4.(3)如图3中，过点8作8714尸于T,A/J_8产交A尸于J,过点。作CMJ_87交BT的延长线于M,CNtAF于N,过点J作，KJ_AB于K.VCM BM,BTLAFtCN
18、lAFf：NM=/MTN=NCNT=900,，四边形CMnW是矩形，NMCN=NACB=9。,NACN=NBCM,在ZkACN和BCM中，INACN=NBCMi.NANe=NM,CA=CB CVBC(AAS),：.CN=CM,AN=BM,四边形CNTM是正方形，设CM=MT=NT=CN=a,VZFB=90o,NF=45。,：NF=NBJF=45,：.BJ=BF1：AC=CB=BF,IBJ=BC,BT1JF,BJ=BF,NJBF=90,.ZJBT=ZFBT=450,JT=TFt：.BT=TJi设BT=JT=b,/.NABC=NJBT=45,：.NJBK=CBM,在ZkJBK和CBM中，NJBK=
19、NCBMNJKB=NM,BJ=BC:JBdACBM(AAS)f IJK=CM=Ci,VAN=BMf*.AJ+b-a=a+bf*AJ=2a,：.AJ=UKi NGAK=30。，VNAoG=90。，NAGo=60。，TG平分NAG0,NHGO=NAGH=gNAGo=30。，：NHAG=NAGH,J-AH=GH=IOHi 1 7*OH=OA=一,3 3 H(,0).3【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(
20、m0)、B(-bf0)且。、满足Jo+A4+-2H2=0.(1)求证：ZOAB=ZOBAi(2)如图1,若8及LA,求NAEO的度数；(3)如图2,若。是Ao的中点，DE/BO9户在AB的延长线上，NEoF=45,连接EFt试探究OE和EF的的数量数量和位置关系.【答案】【答案】(1)见解析；(2)45；(3)FE=EOFElEO【分析】a+b-4=0 根据非负数的性质得到叫加2=。,解之确定A)、凤2。)，得到。所以AAOB为等腰直角三角形，即可解答；(2)如图1,过点。作。r-LOE交AE于尸,利用已知条件证明OBE040AHAS4),得到。K=OR即AOEF为等腰直角三角形，即可解答；(
21、3)过点尸作尸G_L。尸交OE的延长线于G,过点尸作W_LP8交X轴于H,延长DE交HG于/,利用已知条件证明“PG02BFO(SAS),得到GH=O8=04,再证明 EIGEDO(AAS)得到EG=0,进而尸E=E。且尸EJ_Eo(三线合一).【详解】解：(1)J/+b-4+*2H2=0,又Ja+/-4K),a-2b+20,：.A(0,2)、B(-2,0),：.OA=OH,:XXOB为等腰直角三角形,.NOA8=NOHA=45,(2)如图1,过点。作。尸_LOE交AE于尸,a+b-4=0 a-2b+2=0，解得:a=2 b2f VZOF+ZOF=90o,N5OE+BOF=90,ZAOF=ZB
22、OEt VBEl.AE,：.NAEB=90。，又YNAO8=90。，ZOBE=ZOAFt 在4OBE和OA尸中，NOBE=NOAF B=OA,BOE=AAOF/.OBEOF(ASA)t：.OE=OFi。石尸为等腰直角三角形，：NAEO=45。；(3)过点尸作尸G_LO交。上的延长线于G,过点尸作尸”Jr8交X轴于从延长。E交HG于/,.EOF=45,NBP=NA8O=45,:、XOFG、/7B为等腰直角三角形,VZHFG+ZGFB=90o,NBFO+NGFB=90,.*.NHFG=NBFO,在4HFG和A8F。中，HF=FB NHFG=NBFo,FG=FO AHFGWABFO(SAS),：.G
23、H=OB=OAi 又VZGHF=ZOBF=135,：.NGHo=90。,IHl=OD=IG,在476和4EQO中，ZEIG=ZEDO(2)的结论还成立吗？请画出图形并证明 【答案】【答案】(I)见解析；(2)见解析；(3)见解析【分析】(1)由O8C可得ZkAQE是等边三角形，可证NADG=/OEC,AD=DEtGD=CE,从而AAOGgZCEQ,即可得到证明；(2)由AAOGgZiCEO,可得 N。CE=N4GO,AG=DC,三DE/BC,GF/DC,可得：GF=DC,ZDGF=ZDCF,AG=GF,ZAGF=60o,即可得证；(3)画出图形，依(1)思路，可证明AAQGgAOEC,从而可证
24、明AG=QC,AGF是等边三角形.【详解】解：(1)证明：二等边AABG：.AB=ACfNABC=NACB=60,*：DE/BC,，NAOE=NABC=60。，Z4ED=ZACB=60o,AOE是等边三角形，NAOG=NoEC=I20。，IAD=DE=AE,：.AB-Aiy=AC-AE,即CE=BDt*JGD=BDt：.GD=CE,itADG和CED中,AD=DE ZADG=ZDEC,GD=CE ADGCED(SAS)t：.AG=DC；(2)如图：A ZDCE=ZAGDtAG=DC,*：DE/BC,GF/DC,由阅读材料可得：四边形OGFC是平行四边形，WGF=DC,NDGF=NDCF,：.A
25、G=GFi TNACB=NDCE+NDCF=60,：.NAGD+NOG尸=60,即/AGr=60,：ZXAG尸是等边三角形；(3)如图：(1)(2)的结论还成立，理由如下:*ZXABC是等边三角形，：.AB=AC,NABC=NACB=600,*：DE/BC,：.ADE=ABC=ZAED=ZCB=60o,*ZkAOE是等边三角形，：.AD=AE=DEi：.AB+AD=AC+AE,即BD=CEt*：GD=BDt IGD=CE,在AAQG和OEC中，AD=DEZADE=ZAED,GD=CE：AADGqADEC(SAS),：.AG=DC,4AGD=ZDCE,：DEBC,GF/DC,由阅读材料可得：四边形。GFC是平行四边形，有GF=DC,NDGF=NDCF,：.AG=GFi*：NACB=NDCF-NDCE=60。,：.NDGF-NAGD=60,即ZGF=60o,ZXAG尸是等边三角形.【点睛】本题考查等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定，解题的关键是证明XADGWADEC.
