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1、重难点03旋转综合题（4种题型）题型*：线段问题题型二：面积问题旋转综合题题型三：角度问题题我四：其他问题U技巧方法1.生活中的旋转现象注意：旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键.旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向.旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点.2 .旋转的性质注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.3 .旋转对称图形常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等.4 .坐标与图形变化-旋转（1）关于原点对称的点的坐标P（x,y）=P（X,-y）（2）旋转
2、图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30,45,60,90,180.5 .中心对称（1）中心对称的定义把一个图形绕着某个点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.（2）中心对称的性质关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.6 .中心对称图形注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区
3、分，它们性质相同，应用方法相同.7 .关于原点对称的点的坐标关于原点对称的点的坐标特点(1)两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点O的对称点是P(-X,-y).(2)关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.U能力拓展题型一：线段问题一、填空题1. (2022.四川省成都市七中育才学校八年级期末)已知直线4与直线4,若将4绕平面内一点尸顺时针旋转。后恰好能与4重合，则称点尸为4关于4的“。顺合点如图1，在平面直角坐标系Xay中，点耳(2,2),(-1J),A(-2,T)中是y轴关
4、于X轴的“90。顺合点”的是:如图2,已知直线4与直线4交于点A,点C,。是直线4上不重合的两点，AC=S,位于直线4右侧的一点P是4关于4的“60。顺合点“，AP=2,连接PC,PD.点B在L上,连接BP,若NBPC=60且BP=OP,则AB=.24【答案】P2-【分析】根据题目描述将)，轴绕某个点顺时针旋转90得到X轴，判断符合要求的点即“：由NBpC=60。可知8点旋转后落在点C处,作出A点旋转后落在点4处,得到BPC、AE4,都为等边三角形，得到Q4wACa,进而得到结论.【详解】解：根据定义，6绕平面内一点尸顺时针旋转。后恰好能与4重合，则称点P为4关于4的“。顺合点”，将y轴绕点已
5、顺时针旋转90。得到工轴，故y轴关于X轴的“90。顺介点”为点.点B绕点P旋转60后落在点C上，则BP=PC,又BP=DP,PC=PD,点P在C。的垂宜平分线上，又.点A在4上，则点A的对应点4在，2上，MPC、AR都为等边三角形.NBPA=NCPT,AC=DA,fVBP=PC,PA=PAtB4三C,：AB=CA!f设AC=2x,则Co=2x,DA,=2x,AA,=6x=2,X=,4.AB=CA=-.3【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的应用、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，理解题目描述的“。顺合点”是解题关键.二、解答题2. （2022.浙江湖州八年级期末）如图1,已
6、知在平面直角坐标系Xoy中，AOQ的顶点A在4轴上，点A的坐标是（2）,点。的坐标是（、区1）,作点。关于X轴的对称点3,连接。8,AB,BD.(1)求点B的坐标和NHQD的度数；(2)如图2,将点A绕点。逆时针转动。度(OVaV90。)得到点P,点G是平面内一点，以P、B、。、G为顶点形成的四边形为平行四边形.当该平行四边形为菱形且8。是其一边时，求点G的坐标：当-88内部(包含边界)存在满足条件的点G时，直接写出点尸的横坐标的取值范围.【答案】(1)点3的坐标是(6-1)：NBQD=60。G的坐标是(5+l,6+l):(3-L3-l):丑誓,=2,所以OB=OD=BD=2,根据等边三角形的
7、性质，即可得到NBa)的度数.(2)分情况讨论，情况I：根据题意，得到8产=O产，得到,。射是等腰直角三角形，然后再过点B作BE_Ly轴于点E,过点P作PFLBE于点F,可得AOBEBPF且点、G、P尸共线，从而得到87=OE=1,PF=BE=5,即可得到点G的坐标；情况2：根据题意，得至IIO。?+。产=Op2,得到-OD尸是等腰直角三角形，记BD与X轴的交点为点F,过点P作PELBD于点E,可知AQD/7且PEn.点E、D、8共线，从而得到PE=DF=I,DE=OF=5即可得到点G的坐标；分情况讨论，情况1：当旋转开始时X轴上存在满足题意的点G,此时=2近.随后，点G落在OB上.如图3,B
8、D交X轴点E,过点P作尸产J-X轴广点尸，过点P作P”_LBD于点H,过点G作GK_L%点KfDH=x,则PH=瓜,HE=l-x,OF=OE+PH=6+瓜.在心ZXOP/中，可(3+3)2+(1-x)2=(22)2,解出X得值，从而得到点P的横坐标的取值范围.情况2：当点尸旋转至直线BO上时，xp=3.继续旋转，点G恰好存在于OD上，如图4.四边形PGBo是平行四边形，PG即，而_x轴，故PGJLX轴.延长PG交工轴于点K.设OK=x,则GK=立X,PG=BD=2,PK=2+-x,在RfOPK中,可得：33/+(2+乎xj=(22)2,解出X得值，从而得到点尸的横坐标的取值范围.(1)解点。、
9、8关于4轴对称，点B的坐标是(6-1).根据勾股定理：OB=J(可+f=2OB=OD=BD=2,，ZBQD=60。.(2)解：情况1(如图1)：四边形BQGP是菱形，PG/BDILPG=BP=BD=DG=I,又,：OB=2,OP=QA=2应，0产+BP2=0尸2,.,QHP是等腰直角三角形.过点8作8E_Ly轴于点E,过点尸作尸产于点F,*：OB=BP又：NOBE+/FBP=好ZFBP+ABPF=90o.AOBE=ZBPF又.：NOED=/BFP=90。OBEBPF(AAS)且点G、P、尸共线.丁点B的坐标是(6-1),.QE=1,BE=币.；BF=OE=I,PF=BE=6,：EF=BF+BE
10、=6+1,GF-OE=GP+PF-OE=2+6-=6+.：G的坐标是(6+,G+)图2情况2(如图2)：四边形8。PG是菱形，PGBDRPG=GB=BD=DP=2,：OD=OB=2,OP=OA=22.*OD2+DP2=OP2.，.ODP是等腰直角三角形.idBD与X轴的交点为点F,过点P作PE工BDf点E,：OD=DP,乂：NPDE+NODF=90。QPE+DE=帝：ZODF=NDPE乂.；/PED=ZODFAODWZXOPE(AAS)且点E、D、8共线.丁点。的坐标是(Gl),，。F=1,OF=G.PE=DF=XDE=OF=REF-PG=3+i-2=3-l,OF-PE=6-1.6的坐标是(如
11、一1，6一1)：旋转开始时X轴上存在满足题意的点G,此时与=2.随后，点G落在。8上.如图3,BD交X轴于点E,过点尸作尸尸J_X轴于点Ft过点尸作PHBD于点、H,过点G作GK_L8D于点、K.设O=x,贝JP=5x,HE=l,OF=OE+PH=0.在MZ0P/中，(+Jx)+(1-=(2应)化简得：X2+x-lOFf+小X=故%=AO,ZCDG=ZDE=90o,GD=ED,CDGADE(SAS),：.AE=CGx图1ZCGD=ZAEDf*：ZGAH=ZDAe,ZHGA+ZGAH=ZAED+ZDAE=90q,GHE=9G,：.AELCG-,(3)解：(2)中结论仍然成立.理由：如图2,设以与
12、CG相交于点”，G。与AE交于G四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，.D=AD,ZCDA=ZCDG=90o,GD=ED,ZCDA+ZADG=ZCDCh-ZADG,ZCDG=ZADEf在CD=AD CDGllADE中，4CDG=NADE,：.CDGADE(SAS),：.ZCGD=ZAED,GD=ED ；NAMG=/DME,：.ZHGM+ZGMH=ZDME+ZDEM=90otZGHE=90o,AECG; ：EG=AE,SEG,Y四边形。七尸G是正方形，ZE=45o,ADEG, NAOG=GE=45,ZCGD=135o,TNEDG=90。,ZCDE=360o-135o-90o=l35=ZCDG
13、,CD=CD,DG=DE,CDEC(SAS),.CE=CG,CG=CE=EG,.ZCEG是等边三角形，/CEG=60。，延长CD交EG于点，,：ACDE9ACDG,：/ECH=/GCD,CG=CE,；GH=EH,CHLEGJ：DEf,：EG=2,：.DH=EH=EG=f；,CH=小EH=0,：.CD=CH-DH=y/5.即正方形ABCo的边长为3-l.【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.4. (2022重庆西南大学附中八年级期末)ABC是等边三角形
14、，在二SE中，CD=ED,ZCDE=120,连接4。，BE.(1)如图1,若E是线段AB上一点，SinNACO=T,CE=33,则A。长度为多少？(2)如图2,取中点为凡连接4尸，DF,OE与A尸的交点为G.若。E平分猜想并证明AG与。尸的数量关系；(3)如图3,若A8=2,E是线段AB上一点，点M是线段C。上一点，将aCBE绕点C顺时针旋转90。得到ACBE,连接。E,9M,EM,请直接写出当面积最大时，+的最大值.【答案】(1)4Q)DF=AG,见解析2【分析】(1)如图1中，延长DE交CA的延长线于点R,过点D作OMj_EC于点M,DN1.AB于点M设AD交CE于点0.证明NDAC=30
15、。，求出OM可得结论；(2)结论：DF=立AG.如图2中，延长。尸到J,使得FJ=DF,连接A/,EJ,AJ.将288绕。顺时针旋转60。得到连接EH.证明AAD/是等边三角形，可得结论；(3)在ZkOCE中，/OCE=30。+90。=120。，CB=CE=2,推出当CQ的长最大时，RDCE的面积中点，观察图象可知当点E与4重合时，CQ的值最大，如图4中，延长AQ交BC于点过点E作EQL8C交8C的延长线于点。，EPLCB于点P,过点M作MWi.CT于点W,MZj_。于点Z,交PC于点S,则四边形WCS例，四边形WMZQ,四边形CPEQ都是矩形.利用勾股定理构建方程，构建关系式，可得结论.(1
16、)解：如图1中，延长。E交CA的延长线于点R过点。作OM_LEC于点M,DN工AB于点N,设AD交CE于点0.tDE=DCfZCDE=120o,DMlCEf,EM=CM=空，NOEC=NOCE=30。，,CD=CE=-=3,.2A8C是等边三角2cos30形，ZEAC=60o,ZEAC+ZCDE=180,ZAEC+ZACD=180o,VZDEN+ZAED22=180,ZDEN=ZZADC,.sinNOEN=SinNCA。=(,J.DN=DE=2tVZR=R,ZEAR=ZCDR=20ot：.RAERDC,A=,A=,tZR=ZRfRDRCRERC：.XRADSXREC,：.NADR=NECA,/
17、DOE=/AOC,NOEo=NCAo=30。，ZDAN=30o,D=2ON=4;(2)解：结论：DF=AG.理由：如图2中，延长。尸到J,使得E=OF,连接8/,2EJtAJ.将ABCO绕C顺时针旋转60。得到ZkAC”,连接EH.fQy/YEF=FB,FD=FJ,：四边形BDEZ是平行四边形，,A/图2=DE,BJ/DEf.NABJ=NAKE,：NCOK+NC4K=180,ZAKD+ZACD=180,YNAKE+NAKO=180。，ZAKE=ZACDfZABG=ZACD,CD=CH,/CDH=60,.CDE+DCH=80,：DECH：DE=CD,，BJ=DE=CH=CD,YAB=CA,BAC
18、AD(SAS),：.AG=AD,ZBAJ=ZCAD,ZDJA=ZBAC=60,MDJA是等边三角形，LFG=DF,ZDF=60oAFDF,VDEZADF,ZADG=ZEDF=ZDAG=30,：.GA=GD,VcosZFDG=-=,：.DG=好DG=BAG,：.DFDG2=Tg(3)解：在ADCE中,VZDCE,=30o+90=120o,CB=CE=2,二当CD的长最大时，Z)C的面积中点，观察图象可知当点E与A重合时，CO的值最大，如图4中，延长AO交BC于点T,过点E作。_LBC交BC的延长线于点,EfPLCS于点P,过点M作MWCT于点W,MZ_LE。于点Z,交PC于点S,则四边形WCSM
19、,四边形WMZQ,四边形CPEQ图4MS2+B,S2+E,Z2+MZ2=WC2+(B,C-SC)2+(CP-MW)2+(WC+E,P)2=WC2+(2-立We)2+(WC+6)2+(_巫We)2=gwc2+8,.wcCr=.夕”+”的最大值=2+83333=32T【点晴】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型.5. (2022陕西渭南.八年级期末)数学探究课上老师出了这样一道题：“如图，等边一ABC中有一点尸，且PA=3,PB=4,PC=5,试求NAPB
20、的度数.”小明和小军探讨时发现了一种求NAPB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断.在图中画出AAPC绕点A顺时旋转60。后的4A3,并判断?/的形状是(2)试判断的形状，并说明理由；(3)由(1)、(2)两问可知：ZAPB=,【答案】(1)见解析(2)ABPP为直角三角形,理由见解析(3) ZAPB=150【分析】(1)利用旋转的定义，画出AABB;连接PP/,根据旋转的性质得AP=AP,ZPAP1=60,则利用等边三角形的判定方法可判断AAB尸为等边三角形；根据旋转的性质得8P=PC=5,再利用AAP/为等边三角形得到PP=AP=3,然后根据勾股定理的逆定理
21、可证明BP/P为直角三角形,ZBPPf=90；(3)由APP为等边三角形得到乙“尸/二60。，由得NBPP尸90。，则NAPB=NAPP/+NBPP,即可求解.(1)如图，ZkAPjB为所作:连接PP/,为等边三角形理由如下：ZUPC绕点A顺时针旋转60。后得AABB,.P/=,PAP1=60。，AAPP为等边三角形；(2) ZkABP为等边三角形；，PB=Ap=3,又根据旋转的性质得BB=PC=5,PP12+PB2=32+42=25fBP2=cp2=52=25,.PP2+pb2=BP21ABPF为直角三角形,ZBPP1=90；(3) ZXAPB为等边三角形，JNAPP/=60。，lfffZB
22、PP/=90；.,.ZAPB=900+60=150,故答案为：150。.【点睛】本题考查了作图一旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图膨，也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理.6.(2022重庆大渡口八年级期末)在二48C中，AC=BCtNAC8=90。，点。在直线AB上，连接Cd将线段CO绕点C逆时针旋转90。得到线段CE连接OE,点尸是线段OE的中点，连接AF.DE图1图2图3(1)如图1,当点。在B4的延长线上时，连接AE,若OE=4,求线段A尸的长度；
23、如图2,当点。在AB的延长线上时,若点G是线段AD的中点,连接尸G,求证：BD=2FG;(3)如图3,连接b和8E,若BC=2,当线段b取最小值时，请直接写出8CE的面积.【答案】(I)AG2证明见解析(3BCE的面积为2【分析】(1)根据旋转性质和全等三角形的判定证明ACEgABCQ得到NCAE二C4再根据等腰直角三角形的性质证得NDAE=NB4E=90,然后直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；(2)连接AE,证明ACAEgACBD得到AE=3。，利用三角形的中位线性质得到AE=2产G即可证的结论；(3)由等腰直角三角形的性质知当。最小时，C尸最小，根据垂线段最短知当COj_A6时
24、,CD最小，即b最小，证明OE利用等高模型得到SBCE=S诙即可求解.(1)解：由旋转性质得：/OCE=90。，CE=CD,VZACB=90o,AC=BC,ZDCE+ZDCA=ZACB+ZDCAfNcAB=NCBA=45。，ZACE=ZBCD,ACEfllAC=BCBCD,NAeE=NBCD,/.ACEABCD(SAS/.NCAE=ZCBD=45。，CE=CD：.NBAE=NeAE+NCA8=90。，NOAE=90。，I/为线段OE的中点，OE=4,A尸=ToE=2；(2)证明：连接AE,VZACB=ZDCE=90o,；NACB-NBCE=/DCE-NBCE,：.NACE=NBCD,XAC=B
25、C,CE=CDt.MACEWABCD(SAS),BD=AEf:尸为线段QE的中点，点G是线段A。的中点，G/为的中位线，AE=2尸G,8O=2AG;(3)解：VZDCf=90o,CE=CD,JZXOCE为等腰直角三角形，NCDE=NCED=45,又尸为斜边OE的中点，：CF=WDE=昱CD,NDCF=NECF=45,上当CO最小时，C尸最22小，根据垂线段最短知当CD-LAB时，CO最小，即CF最小，如图，VZCM=45o,CDkAB,：NBCD=45,CDE=NBCD,DE/BCt：.SBCE=SAbcd=;SABC=；xgx2近义2a=2.【点睛】本题属于几何旋转综合题型，考查了旋转性质、
26、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、垂线段最短、等高等底等面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，寻找全等三角形解决问题是解答的关键.(2021江西景德镇八年级期末)7 .方法探索1如图1,在等边aABC中，点尸在JABC内，且=2,PC=4,NAPC=I50。，求M的长.小敏在解决这个问题时，想到了以下思路：如图1,把AAPC绕着点A顺时针旋转60。得到VAPB,连接尸P,分别证明ZMPQ和出乎是特殊三角形，从而得解.请在此思路提示下，求出尸8的长.解：把绕着点A顺时针旋转60得到ZMPB,连接PP.接着写下去：8 .方法应用
27、请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题：如图2,点P在等边工ABC外，且QA=依=3,NAP8=120。，若AB=3L求NPBC度数.如图3,在aA8C中，ZEAC=90o,AB=AC二质，P是-48C外一点，连接出、PB、PC.已知NAPB=45。，PB=2.求尸C的长.【答案】7.PB=2小8. NPBC=90；PC=210【分析】（1）把的（?绕着点A顺时针旋转60。得到VA尸4,连接PP,易证明AA尸尸是等边三角形，ABPP是自角三角形，根据勾股定理即可求出82（2）把绕着点A逆时针旋转60。得到.APC,连接PP,易证明AAP尸是等边三角形，AB尸尸是等边，8PC是直角三角形，则
28、可得到NPBC=90。.将A4PC绕点A逆时针旋转90。得到ABP,连接2P,过B点做BM垂直于AP于M点，易证明河是等腰直角三角形，PPB是Il角三角形，用勾股定理即可求出PC7.ZXAPB由仆APC旋转60。得到.AP=AP1=2fPC=BP=4,ZP,=60o.PAP为等边三角形AP=P,=PP=2,ZAP,P=60oNAPC=I50。.zP,P=90o在用8尸JP中，由勾股定理可得：BP=yBP2+PP,2=22+42=25把ZAP3绕着点B顺时针旋转60。得到-8PC,连接P尸BPC由APB逆时针旋转60。得到AP=PC=3,PB=Bp=3,NPBP=60。,ZAPB=N8尸C=12
29、0。P8P为等边三角形，/.PP=PB=3ZP,C=120o,ZBP,P=60o.ZCPP=180o,即C、PL尸三点共线.，PC=CP+PP=6在APBC中，PC=6,PB=3,BC=3y3PB2+BC2=33+(33)2=36=PC2二ZiPBC是直角三角形，故/依C=90。.将AAPC绕点A顺时针旋转90。得到ABP,连接PP,过8点做垂直于APrM点NApB=45。，BM.LAP,PB=2：.PM=BM=近AB=10在心AAMB中，AM=yAB2-BM2=10-2=22.AP=P+A=32A8P由APC旋转90所得AP=AP=3，ZP=90o,NPPA=45。在M/P中，PPrAP2+
30、ApR=6ZPPA=45o,ZAPB=45.PPB=哪在.RSPPB中,P,B=y/p,P2+PB2=2K）PC=PBdM【点睛】本题主要考查了旋转和直角三角形相关内容，注意旋转后的图形要能够和原图构造出特殊的三角形才有利于解题，正确的做出旋转后的图形和辅助线是解题的关键.9. （2022广东深圳八年级期末）ZkABC和OEC是等腰直角三角形，NAa=NQCE=90。，AC=BC,CD=CE.AB(1)【观察猜想】当AABC和AOEC按如图1所示的位置摆放，连接8。、AE,延长8。交AE于点F,猜想线段6。和AE有怎样的数量关系和位置关系.(2)【探究证明】如图2,将AQCE绕着点C顺时针旋转
31、一定角度(001CD2+CH2=1J(2)2+()2=2,：ZACB=/DCH=时，：,ZACBZACH=DCH+ZACH,即NACD=/BCH,在ACQ和，BC”中，VAC=BC,ZACD=BCH,CD=CH,.*.ACDBCH,BH=AD=4.NCBH=NDAC,.,.ZCBHZl=ZDAC+Z2,VZACB=90o,ZCB/+Zl=9(),JZmC+/2=90。，ZM=90o,3HLAD,：4BHD足直角三角形，在RBDH中,BD=BH2+DH2=42+22=25【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键.10.(2
32、022重庆市育才中学八年级期中)已知-48C为等边三角形，边长为4,点。、E分别是BC、AC边上一点，连接A。、BE.AE=CD.如图1,若AE=2,求的的长度；(2)如图2,点尸为AO延长线上一点，连接防、CF,AD.BE相交于点G,连接CG,己知NEB尸=60。,CE=CG,求证：BF+GE=2CF;(3)如图3,点尸是JABC内部一动点，顺次连接24、PB.PC,请直接写出-JlPA+瓜PB+22PC的最小值.【答案】(1)2G(2)证明见解析(3)414【分析】(1)先根据等边三角形性质得三角形ABE为直角三角形，再利用勾股定理求解即可：(2)延长8尸交AC延长线于H,先证明ABECA
33、Dt得到BGF为等边三角形,BF+GE=BE,再证明AABGWZiCBF,得CFBE,再证明”(?/，得C是EH中点，结合等量代换，完成证明；(3)先将原式变形为(hA+5尸8+2尸C),将三角形BPC绕8顺时针旋转60。得三角形BDE,延长8。至尸，使DF=BD,延长3E至G,使EG=BE,连接AG,构造出来PA+6PB+2PC,利用两点之间线段最短判断出其最小值为4G的长度，再利用勾股定理进一步求解即可.解：YqABC为等边三角形，边长为4,AE=2, E为AC中点，：,EBLACf即/的=90。，由勾股定理得：BE=y42-22=23.(2)证明：延长8尸交AC延长线于H, ABC为等边
34、三角形，/.AB=BC=ACtZABC=ZACB=ZBAC=60of ：AE=CD,：,ABECAD,：/ABE=NCAD,由三角形外角性质知，NBGF=ZABE+ZBAG=ZCZXZBAG=60o, NGM=60。，工ABGF为等边三角形,：.BF=GF=BG,：.BF+GE=BG+GE=BE,：.ZABG=60o-NDBG,NCBF=60。-NDBG,：.NABG=/CBF,：ABGCBF,：ZfiFC=ZAGB=120,：NCFH=60。=NGBF,ZGFC=60o,CFBEfZ.ZFCh=ZCEG,NEGC=NGCF,YCE=CG,ZCEG=ZCGEf /GCF=/FCH,Agcfta
35、hcf,：.CG=CH=CE,GF=FH=BK即。是EH中点，F是BH中点,：.BE=2CF,故BF+GE=2CF.解：原式变形为(PA+舟B+2PC),将三角形BPC绕8顺时针旋转60。得三角形BDE,延长BD至F,使DF=BD,延长BE至G,使EG=BE,连接PRGF,如图所示，由旋转性质知，ABPD为等边三角形,：.ZPDB=60o,：BD=DF=PD, NPFB=30,：,ZFBP=90o,：PF=6PB，由辅助线知：OE为三角形BFG的中位线，：.FG=IDE=IPCf(PA+3PB+2PC)=2(PA+PF+FG),故当4、P、F、G共线时，取最小值，最小值为4G,过G作于，在直角
36、三角形中，BG=2BC=8,NG8=60,：BH=4,GH=43, AG=(43)2+82=47，2AG=4L4即2PA+PB+22PC的最小值为4JJZ.【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、旋转、勾股定理、三角形的中位线等知识点，解决问题的关键是作出辅助线，构造全等三角形.11.(2022.重庆实验外国语学校八年级阶段练习)菱形ABCO的对角线交于点。.图a(1)如图1,过菱形ABCQ的顶点A作AE_L3C于点七，交OB于点H,若AB=AC=6,求四边形EC的面积；如图2,过菱形ABCQ的顶点A作AF_LAD,KAD=AF,线段AF交06于点“，交BC于点E,若
37、D、C、F三点共线，求证：OH+OC=aBH;2如图3,菱形ABCQ中，ZABC=45,AB=6,点尸为射线AD上一动点，连接外，将吩绕点3逆时针旋转60到时,连接AQ,直接写出线段AQ的最小值.【答案】(1)3L(2)见解析:(3)2【分析】(1)先证明是等边三角形，再求出OC、OB、BE、E”的长，利用S四边形CWEC=BOC-SzsEH即可求得答案：(2)先证明AAO尸是等腰宜角三角形，AABE是等腰直角三角形，再证明ABEH/AAEC(ASA),得到B”=AC连接C”，设CE=EH=m,利用勾股定理进行证明即可；(3)如图4,以AB为边向下做等边aA8K,连接尸K,在PK上取一点T,使
38、得AT=7K,再证明ZUBQgKBR可得AQ=PK,然后根据垂线段最短可知，当KPLAO时，PK的值最小，最后解直角三角形求出PK即可.(1)解：Y四边形ABCO是菱形AB=BC=CD=AD,AC与BD互相垂直平分,:AB=AC：.RABC是等边三角形ZABC=ZACB=ZJAC=60o,AB=BC=AC=6NCBO=TABC=300,0C=AC=3在mZkBOC中，由勾股定理得OB=yJBC2-OC2=62-32=33/AELBC：.BEWBC=3设EH=X,BH2x,在R38E”中，由勾股定理得BE2+EH2=BH2即32+x2=(2x)2解得x=J：.EH=W*S四边形OHEC=S&BOCSABEH=-OB.OC-BE.EH22=-33-3322=33 四边形OHEC的面积是33(2)证明：4尺L4。，ZMZ)=90o,:AD=AF ZXAO尸是等腰直角三角形/.NAQC=/尸=45。 四边形A8C。是菱形/.ZAC=ZADC=45oAD=CD=AB=BCAC垂直平分8。AD/BC/.ZCAD=ZACD=(I
