《概率论与数理统计-习题答案(浙大四版-盛骤编).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计-习题答案(浙大四版-盛骤编).docx（67页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、1 .写出以下随机试验的样本空间：(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。(2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。(3)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解解(1)高该小班有n个人，每个人数学考试的分数的可能取值为0,1,2,100,n解解01100n个人分数这和的可能取值为0,1,2,，100n,平均分数的可能取值为，,，那么nnn样本空间为kS=k=0,1,2,JOOnn(2)样本空间S=10,11,S中
2、含有可数无限多个样本点。(3)设1表示正品，0有示次品，那么样本空间为S=(0,0),(1,0,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0),(1,1,1,1)例如(1,1,0,0)表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品。(4)设任取一点的坐标为(x,y),那么样本空间为22S(x,y)x+y12 .设A,B,C为三个事件，用A,B,C的运算关系表示以下事件。(1) A发生，B与C不发生；(2) A与B都发生，而C不发生；(3) A,B,
3、C中至少有一个发生；(4)A,B,C都发生；(5) A,B,C都不发生；(6) A,B,C中不多于一个发生；(7) A,B,C中不多于两个发生；(8) A,B,C中至少有两个发生。解解此题关键词：“与，”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并&”不多解解于”表示“交”和“并”的联合运算。(1) ABCo(2) ABCAB-Co(3) AUBUCo(4ABCo(5)ABCo(6)A,B,C中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生，即ABCUABCUABCUABC,A,B,C中不多于一个发生，也说明A,B,C中至少有两个发生，即ABUBCUACUABC。(7) A,B,C中不多于两
4、个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生，或都不发生，即表示为ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC而ABC表示三个事件都发生，其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABC=AUBUC。(8) A,B,C中至少有两个发生为A,B,C中仅有两个发生或都发生，即为ABCUABCUABCUABC也可以表示为ABBCACoUU第第3.3.1(11)、)、6、6、88、99、I(HO题题概率的定义概率的定义、概率的性质、概率的性质、古典概型、古典概型第第33.(11)、)、66、88、99、Iolo题题概率的定义概率的定义、概率的性质概率的性质、古典概型古典概型113.(1)设A,
5、B,C是三件，且P（八）=P(B)=P(C)=,P(AB)=P(BC)=OF(AC)=,48求A,B,C至少有一个生的概率。解解利用概率的加法公式解解315P(AUBUC)=P（八）+P（八）+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=-=488其中由P(AB)=P(BC)=0,而ABCCAB得P(ABC)二O。6.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。求(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率。解解利用组合法计数根本领件数。从10人中任取3人组合数为C3,即样本空间解解10S=C3=120个根本领件。(10)(1)令事件A
6、=最小号码为5)o最小号码为5,意味着其余号码是从6,7,8,9,10的5个号码中取出的，有C2种取法，故A=C2=10个根本领件，所求概率为555!C22!3!101P（八）=5=C310!12012103!7!(2)令事件B=最大号码为5),最大号码为5,其余两个号码是从1,2,3,4的4个号码22种取法，即B二C个根本领件，那么4(4)4!C22!2!61P(B)=4=C310!1202010中取出的，有C3!7!8.在1500个产品中有400个次品，1100个正品。从中任取200个。求(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率。解解(1)利用组合法计数根本领件数。令事件A=
7、恰有90个次品,那么解解C90CllOP（八）=4001100C2001500=什合(2)利用概率的性质。令事件B=至少有2个次品,AI有i个次品,那么B=AUAUA,AiAi=WiWj)23200所求概率为200P(B)=P(AUAU-U,A)=EP（八）23200ii=2显然,这种解法太麻烦，用对立事件求解就很简单。4事件B=恰有0个次品或恰有1个次品,即B=AUA,而01P(B)=P(AUA)=P(A)+P（八）=C200ClC199HOO+40011000101200200故C200PBPB1100()=1-()=1-200-CC15001500ClC1994001100200C150
8、0C15009.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解解令事件A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双。用3种方法求P(A)。解解A的对立事件A=4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双,从5又鞋中任取4从10只鞋中任取4只,个根本领件,现考虑有所有可能组合数为C4只，即,样本空间S=C41010利于A的根本领件数。从5双鞋中任取4双,再从每双中任取一只，Wc44种取法，即5A=C4425个根本领件,那么PAPA()=1-()=1-4A4是不放回的44C254=1-C10只接452210只的取1321出，所有可,即样本空间S=A41010个根本领件。取，从其余8个
9、根本领件。现考虑有利于A的根本领件,从10只鞋中任取一只，与它配成双的一只不只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取,于是依此类推，那么A=10X8X6X4P（八）=I-P（八）=1-108644=1-A1010864=1-1098721利用组合法计数根本领件数。考虑有利于事件A的根本领件数，任取的4只鞋配成13212双的取法有CCA=(CCC25种，能配成两双的取法有CC)种，于是5242个根本领件,那么P（八）=1CC5222213013C41021021此题的第1种方法和第2种方法是利用概率性质:P（八）+P（八）=I首先求P（八）,然后求P（八）o第3种方法是直接求P（八）o读者还可以用更
10、多方法求P（八）。10.在11张卡片上分别写上Probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解解令事件A=排列结果为ability),利用排列法计数根本领件数。不放回的从中一次抽1解解张的连抽7张，要排成单词，因此用排列法。样本空间=A7个根本领件。排列结果111为ability,实际收入字母b的卡片有两张，写字母i的卡片有两张，取b有C种取法，21 11取i有C种取法，其余字母都只有1种取法，故A=CC个根本领件,于是2 22I 1CC4P（八）=22=O0000024A7Ilx10x9x8x7x6x5II这是个小概率事件。第第1144(22)、)
11、、1515、1919、1818题题条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式、概率的加法公式和乘法公式第第114.4.1(22)、)、1155、1919、1818题题条件概率条件概率、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式1 1114. (2)P（八）=,P(BA)=,P(AB)=,求P(AUB)。432解解利用概率加法公式和概率乘法公式。解解P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)解此题的关键是求P(B)和P(AB)o由概率乘法公式，得111P(AB)=P（八）P(BA)=4312又P(AB)=P(B)P(AB),解得1P(AB)121P(B)=P(AB)162于是所求概率为I
12、lllP(AUB)=+-=46123此题的关键是利用P（八）P(BA)=P(B)P(AB),求出P(AB)和P(B),再求P(AUB)就迎刃而解了。15.掷两颗骰子，两颗骰子点数和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。解解令事件A=两颗骰子点数之和为7,B=有一颗为1点。此题是求条件概率P(BA)o解解两种方法如下：考虑整个样本空间。随机试验：掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数都是6个，即样本空间S=62个根本领件。事件AB=两颗骰子点数之间和为7,且有一颗为1点,两颗骰子点数之和为7的可能结果为6个，即A=(1,6),(2,5),(3,4),(6,1),(5,2),(4,3)而AB=
13、(1,6),(6,1)h由条件概率公式，得2()21PAB36()=PBAP（八）66336事件A发生后，将A作为样本空间，其中有两个结果(1,6)和(6,1)只有一颗骰子出现1点，那么在缩减的样本空间中求事件B发生的条件概率为21P(BA)=6318.某人忘记了号码的最后一个数，因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需的概率。假设最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？解利用概率性质解(有限可加性)和概率乘法公式。解解令事件Ai=第i次拨通,“到第i次拨通”这个事件为AA-AA(i=l12i-1i2,3)。事件B=不超过三次而拨通),那么B=AUAAUAAA112123该事件表示第一次拨
14、通，或者第一次未拨通，第二拨通(到第二次拨通)，或者第一、二次未拨通，第三次拨通(到第三次拨通)。右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算，得P(B)=P(AUAAUAAA)112123PAPAAPAAA=(1)+(12)+(123)=P（八）+P(A)P(AA)+P(A)P(AA)P(AAA)11211213121919813=+X+XX=101091098101拨号是从0,1,2,，9的10个数字中任取一个，有10种取法，第一次拨通的概率9第一次未拨通的概率为1019率为，到第二次拨通的概率为 是，910,第二次拨号时，是从其余9个数字中任取一个，所以拨通的概111=,依此类推，到
15、第n次拨通的概率都91010与顺序无关。3,5,7,9 为的五个数字中任取一个，有 5,到第二次拨通1种取法，第一次拨通的概率4 1的概率为5 4 式相同，所以1 4P(C)= + X5 54 3,到第三次拨通的概率为5 4,与上述分析方法和用的概率公第第 21、21、2222、3535、3838 题 件的独立性、事件的独立性第第 2121、2222、3535、3838 题题 的独立性事件的独立性题 全概率公式全概率公式、贝叶斯公式、贝叶斯公式、事全概率公式全概率公式、贝叶斯公式贝叶斯公式、事件21.男人中有500是色盲患者，女人中有0.2500是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选
16、一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解解 令事件A=随机地选一人是女性,对立事件A=随机地选人是男性。因为人群中 解解1男女人数相等，所以P(A) = P(A) =2 地挑选一人恰好是色盲。0.255P(C A)= ,P(C A)= 100100由全概率公式，得P(C ) = P(A)P(C A) + P(A)P(C A) 1 0.2515=+ = 0.0262521002 100由贝叶斯公式，得,且A, A是样本空间的一个划分。事件C;随机P(AC) P(A)P(C A)2100最后一个数字是奇数时，令事件C=拨号不超过三次而接通。拨号是从1,0.9524P AC =P(C)P(
17、C)0.0262522.一学生接连参加同一课程的两次考试。第次及格的概率为P,假设第次及格那么第二次及格的概率也为P;假设第一次不及格那么第二次及格的概率为P2(1)假设至少有一次及格那么他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)假设他第二次已经及格，求他第-次及格的概率。解令事件解Ai=一学生第i次考试及格(i=l,2),解解PP（八）=P,P（八）=1-P,P(AA)P(AA)=1121212(1)由概率加法公式，得P(AUA)=P（八）+P(A)-P(AA)1212=P（八）+P(A)-P（八）P(AA)1212)=1-P(A UA )= 1-P(A A )1 22利用对立事件求概率
18、P(AUA121=I-P（八）P(AA)121=1-P(A)1-P(AA)112P3=1-(1-P)(1-)=P-22显然用后者求解简单。P(A )P(A A)121P(A ) 22PP 1(2)利用条件概率公式。P(AA)P(AA)=1221P(A)P2 +P(I-P)22P235.如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且假设至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关联联接，它们每个具有0.96的可靠性(即在情况C发生时闭合的概率)，问这时系统的可靠性(即电路闭合的概率)，是多少？如果需要有一个可靠
19、性至少为0.9999的系统,那么至少需要用多少只开关并联?设各开关闭合与否是相互独立的。解利用事件的独立性解。解解令事件A=第i只开关闭合。P（八）=P(A)=0.96o令事件B=(电路闭合。i12两只开关并联联接，那么B=AUA,即至少有一只开关闭合，电路就闭合。而A与A相互112独立，所以电路闭合的概率为P(B)=P(AUA)=P（八）+P(A)-P(AA)121212=P（八）+P(A)-P(A)P(A)1212=0.96+0.96-(0.96)2=0.9984这种解题思路是读者容易想到的.另种解法是利用对立事件,计算此较简单.=U=1 P(AP(B)P(AA)12=1-P(AA)12=
20、1-P(A)P(A)12=1-0.04=0.9984设需要n只开关并联,才保证系统可靠性为0.9999。令事件A=第i只开关闭合(i=l,U -A o如果用概率加法公式表示P : (C)2,，n)o令事件C=电路闭合),那么C=AUA12n将是相当麻烦的,不妨表示为12P(C)=P(AUAU-A)nn=P（八）-P(AA)+P(AAA)+(-l)n-lP(A)iijKii=llijn1ij3= 1-PX 2 4=1- C5k=4 4=1- C5(0.1)(0.1)k (0.9)5-k4(0.9)45+ C55 (0.1) 550(0.9)=l-5 0.1 0.9+ 0.1 =1- 0.0004
21、5+ 0.0001 =0.99954后者计算比前者简单。(4) 当5-k ,显然计算过程比拟麻烦，但用对立事件求解相PXC5k=l(0.1) (0.9)简单。PX=1-C52 1= 1-PX00(0.1) (0.9) 1= 1-PX =055=1-0.9=1-0.59049=0.409517.设事件A在每-次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号。(1)进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。解 解解事件解A次重复独立试验中发生的次数X服从二项分布b (n, 0.3),分布律为PX 当事件X=k Cnk n-
22、k(0.3) (0.7)(k=0,l,2,.,n)2 3发生时,指示灯发出信号。当n=5时，那么PX 3)=33=C5 (0.3) (0.7)5 k C5 k=32 + C5k (03)4 (0.3)5-k (0.7)45(0.7) + C5 (0.3)=10 0.027 0.49+ 5 0.0081 0.7+ 0.00243= 0.16308(2)事件A在7次重复独立试验中发生的次数Y服从二项分布b 7, 0, 3),那么PY 3= 1-PY 3)=PX 403204=0.5665 k=4k !k=0k !17.设X服从(Oj)分布，其分布律为PX =k=P1,求X的分布函数，并作出其图形；
23、(2)求第1题中的随机变量的分布函数。解解(I)X的分布函数为解解I-K(I-P) ,k = 0 ,F(x) = PX x)= Pk(I-P)I-KO,k xx 0O x 1I-P1,(2)第1题中随机变量X的分布律为X345133Pk10105x)，求法如下。X的分布函数为F(X)=PX当X3时，那么F(x) = PX 当3 W X 4时, x)=0 那么F(x) = PX x) =PX 当4 W X 5时，那么F(x) = PX x) =PX当X 2 5时，那么F(x) = PX x) =PX= 3)=0.1= 3)+PX =4 =0.1+03=0.4= 3+PX =4)+PX =5 =
24、1综合表示为0,X33 X 44 X 5 X 510F(x)=134+=10101013310+10+5=1,第第1199、2121、2727、3434、3535、3636题题随机变量的分布函数随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度、连续型随机变量的概率密度第第1199、2121、2727、3434、3535、3636题题随机变量的分布函数随机变量的分布函数、连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度19.以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间(以分计)，X的分布函数是-0.4xx 0Fxx=()O,求下述概率：(1) P至多3分钟；(2)P至少4分钟；(3)P
25、3分钟至4分钟之间；(4)P至多3分钟或至少4分钟；(5)P恰好2.5分钟。解解(1)PX3=P(3)=l-e-0.43=1-e-l.2=0.6988解解X(2) PX4=1-PX4=1-FX(4)=e-0.44=0.2019P3X4)=PX4)-PX3=FX(4)-FX(3)=l-e-0.44-(l-e-0.43)=0.0993(4)PX3)+PX4=l-e-0.43+(l-e-0.44)=0.6988+0.2019=0.9007(5) PX=0.25)=Oo21.设随机变量X的概率密度为21X22(1-1X),(1) f(X)=0,其它X,OX1(2) f(x)=2-x,1X20,其它求X
26、的分布函数F(X),并画出(2)中的f(X)及F(X)的图形。解解(1)当XVl时，F(x)=0；当IWxv2时，那么解解X1X1F(x)=f-f(t)dt=J-8ojt+f12(1-12)dtX11=2(1-)dt=2(t+)xT1t2t12=2x+-4X当X22时，F(x)=Io综合表示为0,2F(x)=2x+-4,1x2xx221,(2)当x0时，F(x)=O；当OX1时，那么X0X12F(x)=J-8f(t)dt=f-oOdt+fOtdt=2X当IWx2时，那么XF(x)=f-8f(t)dtO1X=fOdt+ftdt+f(2-t)dt-OOO11X112XJtdt+f(2-t)dt=(
27、2t-t)!O122112112+2x-X-2+=X+2x-12222当X22时，F(x)=Io综合表示为12x02Ox1F(X)=121x2-X+2x-12X227.某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mmHg计)服从N(110,12在该地区任选-18岁的女青年,测量她的血压X。(1)求PX105),P100x)0.05。2解设女青年的血压为X,那么XN(110,12),由此得X-IlO12(1)X-IlO105-110PX105)=P)121255=(-)=1-()1212=1-(0.4167)=1-0.6628=0.3372100-HOX-110120-110P(100XP120)=PP
28、1212125 X-HO5=P(-x0.05,用对立事件得1-PXx)0.05,PXx)0.95X-110X-IlOP)0.951212X-IlO查表得1.645,解出X2129.74,那么X的最小值为129.74。12第第33、33、题题随机变量的函数分布随机变量的函数分布第第3333、题题随机变量的函数分布随机变量的函数分布33.设随机变量X的分布律为X-2-1013111111Pk5651530求Y=X2的分布律。解Y=X2的所有可能取值为0,1,4,9,取各个值的概率分别为PY=O)=PX=0=PX=O)=5=1PY=1=PX2=1=PX=-1+PX11715302PY =4=PX=4
29、=PX =-2+PX = 11= PX =-2= 5PY =9=PX2 =9=PX =-3+PX =311= PX =3)=30于是丫的分布律为Y 0117Pk530491 11530此题Y与X不一一对应，X取值为1对应Y取值为1,这时PY=1等于PX =-1与PX =1之和。用表格表示丫在的分布律时，通常丫取值从小到大排序，看起来比拟整齐。34.设随机变量X在(0, 1)上服人均匀分布。(1)求Y = eX 的概率密度；(2)求丫 = -2InX的概率密度。解 X的概率密度为1,0 X 1fX (X)0,其它首先求Y的分布函数，然后求Y的概率密度。(1)设F (y)为丫的分布函数，F (y)为YYY的概率密度。当y 1时，F (y) =0；当IW y e时，那么YXInyF (y) = PY y) = e y=PX lny) = dx = InyY/0当y 2e时，F (y)=l综合表示为Y0, y 1F (y) =YIn y,IWyVeye于是丫的概率密度为1dF(y),1yeYfY(y)=ydy其它0,时，那么(2)当时，=0；当y0F(y)y20YF(y)=PYy=P-21nXy)Yy=PXe2)y12=/ydx=1-e2e综合表示为0,y0F(y
