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1、第四章流体动力学根本定理及其应用4-1欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？答：(I)欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为:其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力外表力。(2)伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：+gz=C,从左至右方程每项分别表示单位质量理2P想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。4-2设进入汽化器的空气体积流量为Q=
2、0.15机3s,进气管最狭窄断面直径D=40mm,喷油嘴直径d=10mm试确定汽化器的真空度。又假设喷油嘴内径d=6mm,汽油液面距喷油嘴高度为50cm,试计算喷油量。汽油的重度/=7355Nz答：(1)求A点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为外,压力为Pl那么根据流管的连续方程可以得到：iD2-j2)v1=,因此：Vj=-7gTo,p2-d2)(2)求真空度入选一条流线，流线上一点在无穷远处F,一点为A点；并且：在F点：PF=PQ,vf=O;在A点：Pa=Pi=?,va=v1o将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：因此真空度为：假设取空气的密度为P=I.226A:g/m3,那么计
3、算得到:= 9.95103Po8xl.226xO.1523142x(0.042-0.012)2(3)求喷油量:设喷油嘴处汽油的速度为匕，并设空气的密度为0，重度为九，汽油的重度为力。选一条流线,流线上一点为上述的A点，另一点为汽油液面上的B点；并且：在A点：PA=Pl=Pova=v2=?,za=50cn=0.5/n；在B点：PB=P0,UB=0，Zb=O:代入到伯努利方程中，可以得到：Po-Pv2+*+0=庄+0+0；YiL/2g/2整理得到：=v12-Igh；因此汽油喷出速度为:%=U片-2g；其中空气重度% = qg = 1.226 9.81 =12N4。V1 = 7 71，并注意到喷油嘴
4、的直径是6mm,p2-d2)而不是原来的10mm,那么计算得到：因此汽油流量为：Q,=-d2v.=-3.140.00623.817=1.079104m3/5=107.9cn3/50-4244-3如下图，水流流入U形弯管的体积流量Q=0.01m3s,弯管截面由S=50cn减小到S2=IOcn?,流速Vl和V2均匀，假设S2截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。p=100Okg/W3e答：(1)求截面Sl和S?上的流速Vl和丫2：由连续方程可知:vI=2tn s,Q0.01zn35S-50104112V2Q 0.0bs另一 IoXloTm2= 0ms ；(2)求Sl上的
5、压力口：S2上的压力P2=1个工程大气压=0.981IO5PtI;由伯努利方程：得到：p1=p2+p(v12-v2)=0.981105+1000(100-4)=l,461105Pd.(3)求水流对弯管的作用力P：由动量定理可以得到：P-P1-P2=pvj2S1+pv1S2。其中PI和P2分别为在Sl和S2上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。因此：Sl截面上作用力为：=(-Po)i=(1.164XlO5-0.981105)50104=240/V,S2截面上作用力为：P?=(z72-Po)，2=。因此：(4)求作用力P的作用点：设作用点距Sl截面中心
6、线的距离为e,两管中心线之间的距离为L。由动量矩定理可以得到：Pe=pvS1L即：epvbS2IO3IO210104100八。1.P3603604-4如下图，弯管的直径由d=20cm减小到d2=15cm,偏转角为60。，设粗端表压力p=7840Nm2,流过弯管流体的体积流量Q=0.08m,求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。也就是说，Sl截面处压力Pl和利用伯努利方程得到的S2截面的压力P2的值，均为相对压力。又由于大气压力对弯管的作用力合力为0,因此在SI和S,截面上，均应以相对压力值计算。(1)利用连续方程求截面Sl和S?上的流速力和V2:vl=Q
7、=Q,V2=W=也.,S1成:2S2dt(2)利用伯努利方程求S2截面的相对压力p2：根据伯努利方程：可以得到：P2=P+(%2-E);(3)求管壁对流体的作用力工和尸v：人J求X方向作用力分量工.：由动量定理：其中E=P2S2为S?截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：求y方向作用力分量Fy：由动量定理：-Fy-Py-P2CoSa=p(-v1)v1S1+pv2v2CoSaS2,其中A=PISl为Sl截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：(4)求力的作用点：如下图，设流体对弯管的作用力FX和Fy与X轴和y轴的距离分别为和，由于Sl和S?上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知=
8、Cy=0,即合力作用点通过坐标原点。4-5如下图，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v0=30ms,水柱的体积流量Q=294m3s,分流量Q=118m3s试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角。设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。答：(1)由伯努利方程可知匕=眩二%：(2)设流束宽度分别为外,仇和。2,那么有=Q%,b=Q1v1=Q1v0:又由连续方程可知：因此：=(Q-Q1)Zv2=(Q-Q1)Zv0:13)应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角:求偏转角度：在y方向，平板对流体的作用力FY=O,即:O=pv1(-v1必+v2(y2sina)b2；整理得到：将匕
9、=匕=%代入，可以得到：Sina= 0.67瓦=QJVO=Ql=118(-1)v0-1294-118即:=41.8oo求X方向作用力分量工.：由动量定理得到：整理得到：4-6图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱I中的水位高度为%,水箱2中的水位高度为h2,两孔口中心重合，而且直径山=d22假设射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。当h和水的密度时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h?最大值。答：(1)求水箱1出口处速度匕：在水箱1的自由液面上选取A点，在出口
10、截面上选取B点：A点：PA=P0，匕=0，7a=%,其中PO为大气压力：B点：PB=P0，%=?，8=0。由过A、B两点的伯努利方程：得到：-0+-+1=-2-+0;2P2p因此：%=2g%,K=师；(2)求水流对封板的作用力P：由动量定理，沿垂直于封板的方向:P=O-(-v)pv:血卯片,=1pd2gh=2用g%d；4442(3)求水箱2的最大高度力max：在封板右侧，水箱2形心处的静压力为p=pgania,因此封板受到水箱2的静水压力：P=p;=；中ghmM；。当封板左右两侧压力相同时，即P=尸时：注意到4=g2,整理可得：max=-1.即水箱2液面最大高度为，4。max22I4-7工程中
11、常用文丘里(Venturi)管测量管路中水的流量。管路和收缩管段截面积分别为SkS2,水的密度和U形测压计中液体的密度分别为0、pm9且夕夕,。假设不计水的粘性,试导出图示倾斜管路中水的流量Q与测压计中液体的高度差读数h之间的关系式。答：设正常管路截面1-1和收缩段截面2-2的流速分别为片和匕，那么由连续方程可知:vlS1=V2S2;又设管路的流量为。，那么：v1=Q/S,v2=S2;选取沿管路轴线的流线，由伯努利方程可得到：+1+(Zl-Z2)=+2,P2P2整理得到：(p1-p2)=p(q-)-Z(2-);取U形测压计内液体的左侧A点处水平面为等压面，那么有：PA=PI+用(Zl-4)，P
12、b=Pz+PgS-h-h)+Pmgh；由于PA=P5,那么可得到：P+PgQi-hj=P?+pg(z?-h-)+Ptngk整理可得:(P1一。2)=一见(Zl-Z2)+gh(ptn-p);将(2)代入到(1)中，可得：-pg(zl-z2)+gh(pm-p)=IP-i-22);2I2J再经整理得到：Q2_2m-p)ghSjs;2(pm-p)ghQ一府T)QF/寸S2。4-8圆管内不可压缩定常流动如下图。入口处流速U均匀，在某截面处为抛物形速度分布：Mr)=CG)2-)7,其中为离管轴的径向距离，(为一未知常数。入口处和X处管截面压力均匀分布,分别为/%和x，流体密度为，不计重力。(1)试确定常数
13、(2)证明作用在至X间，管壁上总的摩擦阻力D=：(po-px一;。U?Jo答：(1)入口处流量为：Q=屁U；由连续方程可知，X处截面的流量也是Q=/2。又由于通过X截面半径r处环形微元面积ds=2rdr上的流量为：对其积分可得到：Q=2rurdr=C、(4-r2Tdr=2;ZrU俗-产诉二crU；即：因此得到：2C=;zo那么速度分布为：Mr)=(婷/,=2小一qO7OrQ)(2)入口处流体的动量为：*UU=*J2;X截面上，通过半径为处的环形面积流体的动量为：dM=2Prdru(r)u(r)=2中r6(r)dr；将上式积分得到:M=*2pru2(r)dr=27ipr4U2I_IJJr=9t/
14、2；由动量定理可知，动量的变化量等于外力的合力，因此：3叫U?一中加2=po.标一亿.标_Q；其中。为圆管对流体的摩擦阻力，整理得到：D=PO戏-PX汨-7ipU2=成p0-px-pU2.、Q三点的诱导速度。(CoSa2 -COstz1);4-9一马蹄形旋涡如下图，两端向右延伸至无穷远处。试分别计算R、答：由毕奥-沙伐尔定律可知，涡线对空间一点的诱导速度为：V=-4;(1)求涡线对R点的诱导速度：诱导速度由3局部涡线产生，即涡线1、2和3：涡线1：方向垂直纸面向外：VRl=看CoSa2-cosa1);其中QS=0,cos,=1；cos%=-Id.Jl2+d2因此：vfdy闻炉3J涡线2：方向垂
15、直纸面向内：cosa2=JJ、,cosal=cos(-a2)=cosa2=-=匕?2 =那么:、Jl2+d2涡线3：方向垂直纸面向外:那么对R点总诱导速度为:(2)求涡线对Q点的诱导速度:涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外:cosa2=l,%=%二卷（COSa2-CoSaJ=&1-涡线2方向垂直纸面向外：%2成那么对Q点总诱导速度为：K=2Kl+p=-fl,dK-QqQ-2RV/2+./2;2%（3）求涡线对P点的诱导速度：涡线1、3作用相同，方向垂直纸面向外：COSa2=1，COSa=0；P%=%3=TJ.（1一0）=7J;那么：vP=2V=L。(I1fIT/2+d2JJ4矶yfl2+CI7?+箫那么:
