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1、第02讲一解直角三角形学生版阂知识图谱在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.二.解直角三角形要用到的关系1.2.3.三边之间的关系a2+b2=c2两锐角之间关系ZA+ZB=90o边角之间的关系ZA的对边a.DsinA=-=,SinB=斜边CcosA=tanA=ZA的邻边hd斜边CZA的对边邻边FNB的对边斜边二1NB的邻边a斜边三.圆中的相关计算1 .利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题;2 .利用直径所对圆周角为90。，构造直角三角形；3 .利用切线的性质求解线段长度.一.考点：解直角三角形，与圆结合求解线段长度.二 .重难点：1 .特殊三角函数
2、值的记忆以及应用；2 .圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题;3 .射影定理与锐角三角函数结合.三 .易错点：特殊三角函数值的三边比例对应关系.解直角三角形例题1在aABC中，NC=90。，BC=4,sinA=-,则边AC的长是(3A. 25B.6cID. 213如图，在四边形 ABCD 中，Z = ZD = 90o, Ae = 3, BC = 2,4tan A = -,则 8 =3AD是BC边上的高，tanC=r AO3旗，AB=4,求aABC的周长.244如图，在AABC中，SinB=-,点F在BC上，AB=AF=5,过点F作EF_LCB交AC于点E,且AE：EC=3：5,5
3、求BF的长与SinC的值.（1）求AABC面积;（2）AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求DE的长.6已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=.（1）如图1,=60o,探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；（2）如图2,=120o,探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为（直接写出答随练7已知：AABC中，ZBCA=90o,CD_LAB于D,若AD=I,AB=3,那么CoSB的值是()也A.3逅也逅B.2C.3D.38在RtZXABC中，NC=90,tan=-,则CoS
4、A=()3Ag5R3334n534d.-C.D.434349如图，在RlAABC中，ZC=90o,NA的平分线交Be于点E,EFj_AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分(1)求证：ZkACEgAAFE;(2)求tanNCAE的值.10在RtZABC中，NACB=90。，点D在边AC上，DE_LAB于点E,连CE.(1)如图1,己知AC=BC,AD=2CD,AADE与aABC面积之比；求tanNECB的值；(2)如图2,已知空=-求tan/ECB的值(用含k的代数式表示).ACDCIl如图，AD、BE是AABC的两条高，过点D作DFlAB,垂足为F,FD交BE于M,FD、AC的延长线交于点N.
5、(1)求证：ABFMsNFA;(2)试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论;(3)若AC=BC,DN=12,tan=求线段AC的长.212如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DEBC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连图1图2图3(1)发现：在图1中，=；BD(2)应用：如图2,将AADE绕点A旋转，请求出的值；BD(3)拓展：如图3,AABC和AADE是等腰三角形，且NBAC=NDAE,M,N分别是底边BC,DE的中点，若BDCE,请直接写出&的值.BD.J圆中的相关计算例题13如图，在平面直角坐标系中，已知。A经过点E、B、C、0,且C(0,6)、E(8
6、,0)、O(0,0),则cos/OBC14如图，直线I与。相切于点D,过圆心。作EF1交。O于E、F两点，点A是。上一点，连接AE,AF,并15如图，以AABC的边AB为直径作(D0,与BC交于点D,点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F,ZACB=2ZBAE.(1)求证：AC是。0的切线；(2)若SinB=*,BD=5,求BF的长.316如图，PA为。的切线，A为切点，直线PC)交。于点E,点F,过点A作PC)的垂线AB垂足为D,交。C)于点B,延长Bc)与。O交于点C,连接AC,BF.(1)求证：PB与。相切；(2)若AC=I2,tanZF=-,求CoSNACB的值.217如图，。是aA
7、BC的外接圆，AC为直径，AB=BD,BEIDC交DC的延长线于点E.(1)求证：乙I=乙BCE；(2)求证：BE是。0的切线：(3)若EC=I,CD=3,求COS乙DBA.随练18如图，已知。的半径为1,锐角AABC内接于。0,BD_LAC于点D,C)M_LAB于点M,则SinNCBD的值等于()A.0M的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长19如图，正方形ABCD的边长AD为。的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，则tanZAEF=.aL2d20如图，A48C内接于。/8是直径，。的切线PC交射的延长线于点只OF/BC,交2C于点交.PC于
8、点月连接力(1)求证：2尸是。的切线；(2)已知。的半径为4,AF=3t求线段4C的长.21如图，ACB,AB=AC=5,BC=6,点D在aACB外接圆的AC上，AE_LBC于点E,连结DA,DB.(1)求tanND的值.(2)作射线CD,过点A分别作AH_LBD,AFCD,垂足分别为H,F.求证：DH=DF.22如图，AABC内接于。O,AB=AC,CC)的延长线交AB于点D(1)求证：Ao平分NBAC；(2)若BC=6,SinZBAC=-,求AC和CD的长。523如图，AB为。的直径，弦BC,DE相交于点F,且DE_LAB于点G,过点C作。O的切线交DE的延长线于点H.(1)求证：HC=H
9、F5(2)若。O的半径为5,点F是BC的中点，tanHCF=m,写出求线段BC长的思路.锐角三角函数的实际应用知识精讲一.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方是仰角；视线在水平线的下方是俯角，如图一所示.(上仰二.坡度与坡角坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度/的比叫做坡度.用字母i表示，i=:=tan坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角.用字母表示.三.方位角指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90的角叫做方位角.四.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：说明：解直角三角形的方法：有斜则弦，无斜则切，宁乘毋除，取原避中.五.用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：
10、1 .审题；通过图形，弄清己知和未知.2 .找出相关的直角三角形（或通过辅助线作出）；把问题转化为解直角三角形问题.3 .根据直角三角形边、角关系解直角三角形.嗣三点剖析一.考点：解直角三角形的应用二.重难点：把实际问题转化为解直角三角形三.易错点：1.仰角和俯角理解错误；2.检验答案是否符合实际情况.二锐角三角函数的实际应用例题24如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆力反已知观测点。到旗杆的距离CE=8m,测得旗杆的顶部Zl的仰角NECA=30。，旗杆底部8的俯角NECe=45。，那么，旗杆/18的高度是（）A.（82+83）mB.（8+83）mcj+翠卜D1+孥卜25已知一条长度为10米
11、的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为（备用数据：tan310=cot5900.6,sin370=cos5300.6）26有一轮船在A处测得南偏东30。方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45。方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A,B之间的距离是（）海里.A.103BlO2-10c.lD,103-1027某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度（或坡比
12、）i=L2.4,那么大树CD的高度约为（参考数据：si36o0.59,s36o0.81,ta36o0.73）B.17.2 米C.19.7 米D.25.5 米28如图,在一条笔直的东西向海岸线I上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km.以轮船以36kmh的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30。方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60。方向，且与灯塔C相距12km.（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.（参考数据：正=14,31.7）b随练29如图已知楼高他为5
13、。加,铁塔基与楼房房基间的水平距离必为5。/塔高”为空萼%下列结论中，正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为60oB.由楼顶望塔基俯角为60。C.由楼顶望塔顶仰角为30。D.由楼顶望塔基俯角为30。30如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15。，山脚B处的俯角为60。，巳知该山坡的坡度i（即tan乙ABC）为1：遂，点P，H,B,C,A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH_LHC.（1）山坡坡角（即团ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：y=L732）.HRC31如图，在某监测点B处望见一艘正在作
14、业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60。方向上,则B、C之间的距离为（）平A.20海里B.10海里C.202海里D.30海里32如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30,然后，她沿着坡度i=l：1的斜坡步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15.己知小王的步行速度是20米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB.（精确到0.1米，参考数据：214
15、如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30。方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75。的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据:cos75o=0.2588,sin75o=0.9659,tan75=3.732,.732,扬1.414）/拓展34如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4,那么8D35己知：在四边形ABCD中，NABC=90,NC=60,AB=fBC=I+小，CD=2.2（1）求tan/ABD的值
16、.（2）求AD的长.36己知：如图，在RtZkABC中，ZACB=90o,AC=BC=3,点D是BC边上一点，且BD=2DC,DEJ_AB于E,连接CE,求线段AE的长及NECA的正切值.37在ZiABC中，AD、AE分别是AABC的内、外角平分线.(1)如图，CGJ_AD于G,BG的延长线交AE于H,求证：AH=EH;(2)如图，在(1)的条件下，若AE=2AD,BE=5BC,则IanNAHB=38ABC,AB=AC,取BC的中点D,做DEJ_AC与点E,取DE的中点F,连接BE,AF交于点H.AF(1)如图L如果NBAC=90。，那么/AHB=,=；BE(2)如图2,如果NBAC=60。，
17、猜想NAHB的度数和的值，并证明你的结论；BE39如图，AABC内接于半径为5的。0,圆心。到弦BC的距离等于3,则NA的正切值等于()40如图所示，以锐角AABC的边AB为直径作。O,交AC,BC于E、D两点，若AC=14,CD=4,7sinC=3tanB,则BD=.41如图，以AB为直径的。外接于aABC,过A点的切线AP与BC的延长线交于点P,NAPB的平分线分别交AB,AC于点D,E,其中AE,BD(AE=-2(1)求4Z的值.AC(2)设。的半径为3,求AB的长.43已知，如图，AB是OO的直径，点C为G)O上一点，OF_LBC于点F,交。O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延
18、长线上一点，Kzodb=Zaec.(1)求证：BD是。0的切线；(2)求证：CE2=EHEA;(3)若(DO的半径为5,SinA=3,求BH的长.44如图，某无人机于空中A处探测到目标B,D,从无人机A上看目标B,D的俯角分别为30。，60,此时无人机的飞行高度AC为60m,随后无人机从A处继续飞行30Fm到达A，处，(1)求A,B之间的距离；(2)求从无人机A，上看目标D的俯角的正切值.BDC45如图所示,某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角是45。，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=l：M,则大楼AB的高度约为()(精确到(H米，参考数据：y=l41,遂HL73,2.45)AFCDA.30.6B.32.1C.37.9D.39.446如图，某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发，沿着俯角为15。的方向，直线滑行1600米到达D点，然后打开降落伞以75。的俯角降落到地面上的B点.求他飞行的水平距离BC(结果精确到1m).47如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ,测得杆顶端点P的仰角是45。，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60。和30.(1)求NBPQ的度数；(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到Im).备用数据：35s17,214
