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1、专题06三角形中的导角模型平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（M型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1:
2、猪蹄模型型）【模型解读】图1图2图3如图1,己知：AM/BN,结论：ZAPB=ZA+ZB；已知：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM/BN.如图2,已知：AM/BN,结论：ZP+ZP3=ZA+ZB+ZP2.如图3,已知：MBN,结论：ZP+ZP3+.+ZP21=ZA+ZB+ZP2+.+ZP2n.例1.（2022河南洛阳统考二模）如图，A8C。，NAB何=30。，NCDW=45。，则NBMD的度数为（）A.105oB.90oC.75oD.70【答案】C【分析】过点M作从而可得A8A/ECQ,则有NABM=N5ME，NCDM=ZDME,即可求NBMD的度数.【详解】解：过点M作如图，AB/CD,:.A
3、B/ME/CD,ZABM=NBME=30P,NCDM=QME=45,:.ZBMD=ZBME+ZDME=75o.故选：C.【点睛】本题考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用.例2.（2023春安徽蚌埠九年级校联考期中）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从点。照射到抛物线上的光线OB,OC反射后沿着与Po平行的方向射出，已知图中NABO=46。，NOCo=88。，则/30C的度数为（）A.116oB.124oC.134oD.135【答案】C【分析】由平行线的性质即可得出4。尸=46。，NCoP=88。，再根据NBOC=NBC）P+NCOP即可求解.
4、【详解】由题意知B尸08回NBOP=ZAB。=46。，ZCOP=40CD=褥ZBOC=ZBOP+ZCOP=134o：C.【点睹】题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，牢记性质是解决问题的关键.例3.（2023春四川泸州七年级校考期末）如图所示，若ABEF,用含。、夕、/的式子表示X,应为（）A.+7+/B.+-aC.W-a-+D.180。+。+一/【答案】C【分析】过C作CD团AB,过M作MNI3EF,ffiAB0CD0MN0EF,根据平行线的性质得出。+0BCD=180,0DCM=0CMN,团NMF=/,求出13BCD=180-,0DCM=0CMN=-Z,即可得出答案.【详解】过C作
5、CD团AB,过M作MN13EF,0ABSEF,0AB(3CD2MNSEF,0+0BCD=180o,0DCM=0CMN,ElNMF=/,00BCD=18Oo-,0DCM=0CMN=/?-/,0x=0BCD+0DCM=180o-/+,故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力.例4.（2023广东深圳校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿
6、平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB/CD,当人脚与地面的夹角Na）七二60。时，求出此时上身AB与水平线的夹角NBAE的度数为（）D. 55【分析】延长A4交直线。于点，利用平行线的性质得出NCOE=NoHA=60。，再由两直线平行，内错角相等即可得出结果.【详解】解：延长AB交直线石。于点“，AHCD、：.乙CDE=乙DHA=软J:根据题意得A尸皿，ZMB=ZDZiA=60,故选：A.【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.例5.（2023春河南驻马店九年级专题练习）已知48CD,NEAF=；NEAB,NECF=；NECD,若NE = 66
7、。，则 N尸为（）DA. 23oB. 33C. 44oD. 46o【答案】C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EABIECDtIAEC66,同样的方法22ZF=AFAB+AFCD,再根据角的倍分可得ZEAfi=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.【详解】如图，过点E作水；AB,则EGABC）,0?AEG彳正AB,CEG=?ECD,9EAB?ECD?AEG?CEG?AEC66同理可得：Z-F=NFAB+NFCD,NEAF=NEAB,ZECF=ZECD,220NFAB=-NEAB,ZFCD=-NECD,332222?F?FAB?FCD-7EA-IECD-（E
8、AB?ECD）-?6644,故选：C.【点睹】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.例6.（2022浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题（1）如图（2）所示，已知AB/CZ）,请问DB,NO,NE有何关系并说明理由；（2）如图（3）所示，已知AB/CD,请问D8,4E，No又有何关系并说明理由；（3）如图（4）所示，已知AB/CD,请问NE+NG与N3+NF+N。有何关系并说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1ZF=Z8
9、+ZD,理由如下：过点E作直线。48,Ma/AB/CDf则N8=N1,ZD=Z2,ZBED=Zl+Z2=ZB+ZD.(2) ZE+Z+ZD=360,理由如下:过点E作直线b48,则bA8CD.N8+N3=180,Z4+ZD=180o；ZB+Z3+Z4+ZD=360即NE+N8+ND=360.(3) Z+ZF+ZD=Zf+ZG,理由如下：过点,F,G作直线cA8,dAB,eAB,则c48deCD,则8=N5,Z6=Z7,Z8=Z9,ZlO=ZDZ+ZFFG+ZD=Z5+Z7+Z8+Z10=Z5+Z6+Z9+Z10=ZfF+ZFGD.模型2：铅笔头模型U匚图1图2图3如图1,已知：AM/BN,结论
10、：Zl+Z2+Z3=360;己知：Zl+Z2+Z3=360o,结论：AM/BN.如图2,已知：AM/BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540o如图3,已知：AM/BN,结论：N1+N2+.+N”=(-1)180.例1.(2023广东统考二模)如图所示，已知AB七尸，那么N8AC+NACE+NC即二()A. 180B. 270C. 360D. 540【答案】C【分析】先根据平行线的性质得H；NBAC+NACD=180。，NDeE+NCM=180。，进而可得由结论.【详解】过点C作C。 EQQAB/ EF, AB/CD/ EF,BAC + ZACD = 180。,NoCE+ NCEE = 180
11、。,由 + 得，ZfiAC+ZA8+ZDCE+NCEV = 360。,即？ 4C IACE ICEF 360?.故选：C.【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补.例2. (2023山西吕梁校联考模拟预测)如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行若Zl=32。，Z2 = 62o,则N3的度数为()C. 150D. 162【答案】C【分析】过点3作BA工作篮底部，根据平行线的性质及角的和差求解即可.【详解】解：如图，过点3作84工作篮底部，.N3+NM84=180o,.作篮底部与支撑平台平行，BA工作篮底部.B4支撑平台，.NABN=Nl=32
12、o,N2=ZABN+ZMBA,Z2=62o,:.ZMBA=30,:.Z3=150o,故选：C.【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键.例3.（2023河南三门峡校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形.已知C。垂直地面上的直线。尸于点。，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升（即44始终平行于。尸）.在该运动过程中，当图1图2A.112oB.138oC.158oD.128【答案】C【分析】如图所示，过点C作CMM，利用平行线的性质得到ZA
13、BC+ZBCM=180o,NMCD+NCDF=180,进而求出NBCW=68。，NMCD=90。,则BCD=ZBCMZMCD=158.【详解】解：如图所示，过点C作CM/Vr0DFABtISCM/AB/DF,回NABC+NBCM=180。，ZCt+ZCDF=180,BZABC=112,。_1,。产即/8尸=90。，（3ZCM=68o,ZCD=90,aABCD=ABCM+ZMCD=158,故选C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.例4.（2023春新疆七年级校考阶段练习）如图，如果A8C,那么团8+团产+团七+回。=_.【答案】540【分析】过点石作M
14、C3,过点尸作月VC。，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答.【详解】过点七作EMC3,过点尸作RVC）,如图，7ABCD,EM/CD,FNCD,AB/FN,EM/FN,00B+0BF=18Oo,国FEM啕EFN=I80,何短EM=I80,DEF=WEMFEM,WFE=WFN+EFN,BBFEDEF+D=B+WFNFEM+EFN+D+DEM=540of故答案为：540.【点睛】本题主要考查r平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补.构造辅助线上MC0,FN/CD是解答本题的关键.例5.（2022春河北保定七年级校考期中）如图，已知ABAC，则NA+N&+NA=，则ZA+N4+N4等于（用含的
15、式子表示）.A. C【答案】3600360度（-1）180。【分析】过点4向右作人力48,过点&向右作AE”A3,得到AE4。/AyB/AnC,根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案.【详解】解：如图，过点A2向右作人。45,过点右向右作A石A6,BAiB/llCtA3E/A2D/AyB/AnC,0Z41+ZtA2D=l8Oo,ZDA,Aj+ZA,AjE=180,，团z41+z414A3+za,tAC=(-i)180。，当=3时，Z4,+Z42+Z=(3-1)180o=360o故答案为：360；(-1)180.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，根据题意作合适的辅助线是解题的关键.模型3：牛
16、角模型如图1,已知：AB/DEf结论：a=-.如图2,已知：AB/DEt结论：=夕+7-180。.例1.（2023安徽滁州校联考二模）如图，若A8CD,则（）A.Z1=Z2Z3B./1+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180oD.Zl-Z2+Z3=180o【答案】A【分析】如图所示，过点E作所B,则ABC0EF,由平行线的性质得到Z3+NCM=I80。，Zl+ZAEF=180,进步推出Nl=N2+N3.【详解】解：如图所示，过点E作所B,CD,ABCDEF,0Z3ZCEF=180o,Z1ZAEF=180,图/AE厂=18O0-N1,Z3=180o-ZCEF=180o-Z2-ZAEF,【点睛】本
17、题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.（2023江苏七年级假期作业）如图，若ABHCD,则团1+03-02的度数为.CD【答案】180【分析】延长EA交CD于点F,则有团2+0EFC=团3, 代换可求解.【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示：然后根据ABCD Wiai=EEFD,最后根据领补角及等量ABHCD,.01=0EFD,.B2+0EFC=03,AZFC=Z3-Z2,NEFe+NEFD=180。,/1+/3-/2=1800:故答案为180.【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键例3.（20
18、22湖北洪山七年级期中）如图，已知48/CD,P为直线48,CD外一点，BF平分NABP,DE平分NCDP,8F的反向延长线交DE于点E,若NFED=a,试用。表示NP为.【分析】根据角平分线的性质得出Nl=N2,Z3=Z4,平行线的性质得出Nl=N5,N6=PDC=2N3,进而根据三角形内角和得出N5、NFED,再得到夕和。的关系，然后即可用。表示NA【详解】解：延长A8交PD于点G,延长FE交CD于点、H,.,BFZABP,DE平分NCDP,Z1=Z2,Z3=Z4,ABCDtZ1=Z5,/6=NPDC=2N3,.ZPfiG=1800-2Z1,.,ZPBG=ISOo-2Z5,.*.N5=90
19、0-yNPBG,ZFED=ISOo-ZHED,N5=180-NEHD,NEHD+NHED+N3=180,180-Z5+180o-ZFED+Z3=180o,ZFFD=180o-N5+N3,AZFfD=180o-(90o-yZPBG)+；N6=900+g(NPBG+N6)=900+；(1800-ZP)=180-yZP,FED=a,=180o-yNP,ZP=360o-2a.故答案为：ZP=3600-2a.【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有定的综合性，认真找出角的关系是关键.例4.（2023春广东深圳九年级校校考期中）已知宜线AB,点P为直线AB,8所确定的平面内的一点，
20、（1）问题提出：如图1,NA=I20。，ZC=130.求NAPC的度数:问题迁移：如图2,写出APC,NA,NC之间的数量关系，并说明理由：/H问题应用：如图3,EAHHAB=,3,NECH=20。,ZDCH=60%求下的值.【答案】。.C = ZATC,理由见解析?【分析】（1）过点P作P0A8,易得A8R2C。，由平行线的性质可得4PQ=60。，NCPQ=50。,即可求出NAPC；（2）过点尸作R248,易得48A2。，根据平行线的性质可得NAPC=NA-NC：（3）过点E作0WAB，过点“作/易得EMCD,HN/CD,根据平行线的性质可得NHNCEA=NBAENDCE,NC4=N8A-N
21、fCH,再由已知等量代换，即可求得的值.NE【详解】（1）解：如图1所示，过点P作尸QA8,.ZA+NAPQ=I80。，ZA=120o,AZP=180o-ZA=180o-120o=60o,AB/CD,/.PQ/CD,/.ZC+ZCP=180o.,NC=I30,.ZCP=180o-ZC=180o-130o=50o,/.ZAPC=ZAPQ+NCPQ=60。+50。=110：(2)解：ZAPC=ZA-ZC,理由如下:如图2,过点尸作PQ45,.NAPQ=I80。一NA,ABCD,.PQ/CD,.NCPQ=180。-NC,ZAPC=NCPQ-APQ,:.ZAPC=I80。-NC-(180。-ZA)=Z
22、A-NC；(3)解：如图3,过点E作EMAB,过点作胸他，ABCD,:.EMCD,HN/CD,.ZCEA=ZCEM-ZAEm=180o-ZDCE-(180。-NEAE)=ZBAE-ZDCE,NCHA=/CHN-ZAHN=180。-NDCHTM。-ZBAH)=/BAH-NDCH,ZEAH:ZHAB=:3,NEa7=20。，ZDC/=60,NCEA=NBAE-DCE=4/EAH-琳,ZCHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60,.NCHA_3NE4H-60。3(NEA-20。)_3，ZCEA4ZE4H-80o-4(ZE4-20o)-4【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造
23、辅助线是解题的关键.例5.(2023余干县八年级期末)已知直线ABCD,(1)如图1,直接写出NBME、NE、NEND的数量关系为:(2)如图2,NBME与NCNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探究NP与NE之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3,ZABM=-ZMBe,ZCDN=-ZNDe,直线MB、ND交于点F,nn【分析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.（2）根据平行线的性质，三角形外角定理,角平分线的性质即可解答.（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.【详解】（1）如图1,VABCD,ZEND=ZEFb,NG/.VZEFB是ZkMEF的外角，/.ZE=
24、ZEFB-ZBME=ZEND-NBME,(2)如图2,VABCD,ZCNP=ZNGB,VZNPMGPM的外角，.NNPM=NNGB+NPMA=NCNP+NPMA,YMQ平分NBME,PN平分NCNE,ZCNE=2ZCNP,ZFME=2ZBMQ=2ZPMA,VAB/7CD,ZMFE=ZCNE=2ZCNP,TZkEFM中，ZE+ZFME+ZMFE=180o,ZE+2ZPMA+2ZCNP=180o,即NE+2(ZPMA+ZCNP)=180o,ZE+2ZNPM=180o;(3)如图3,延长AB交DE于G,延长CD交BF于,H,VABCD,ZCDG=ZAGE,丁NABE是ABEG的外角，.,.ZE=ZA
25、BE-ZAGE=ZABe-ZCDE,VZABM=-ZMBe,ZCDN=-ZNDe,.*.Zabm=NABE=NCHB,Zcdn=ZCDE=ZFDh,nn+1+1VZCHB是ADFH的外角，ZF=ZCHB-ZFDH=ZABE-ZCDE=(ZABE-ZCDE),由代入，可得NF=7NE,点睛：本题考查了三角形外角定理，平行线的性质，角平分线的定义.模型4:羊角模型如图1,已知：AB/DE,结论：=/-如图2,已知：AB/DE,结论：+=180o.例L（2023春上海七年级专题练习）如图所示，AB0CD,此=37。，呢=20。，则OEAB的度数为【答案】570【分析】根据三角形内角和180。以及平行
26、线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可.【详解】解：设AE、CD交于点F,WE=37o,0C=20%00CFE=18Oo-37o-2Oo=123o,00AFf=123o,0ABSCD,配LAFC）+0E48=18O,00E4=18Oo-123o=57o,故答案为：57.【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键.例2.（2022江苏七年级期中）如图所示，已知ABCD,ZA=50o,ZC=ZE.则NC等于（）A.20oB.25oC.30oD.40【
27、答案】B【分析】根据ABCD,ZA=50o,所以NA=NAoC.又因为NC=NE,NAoC是外角，所以可求得NC.【详解】解：VAB/7CD,ZA=50o,.NA=NAOC（内错角相等），又NC=NE,NAC）C是外角，NC=50V2=25。.故选B.例3.（2023春浙江七年级专题练习）已知ABCD,求证：0B=0E+0D【答案】见解析【分析】过点E作加8,根据平行线的性质即可得出鲂=鲂O,根据平行线的性质即可得出鲂OD二姐所、0Z=DEF,结合角之间的关系即可得出结论.【详解】证明：过点E作E/弥笫，如图0ABQCD, 00=0OD, EFCD （辅助线），BOD=BEF（两直线平行，同位
28、角相等）；DDEF（两直线平行，内错角相等）；BEF=BEDDEFBEDD（等量代换），函BOD=团七+0。（等量代换），即团B=团E+团。.【点睹】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角.例4.（2023河南统考三模）如图，己知AZABC=50o,NCDE=75。，则N8CZ）的度数为（）A.55oB.60oC.45oD.50【答案】C【分析】过点。作CFAB,则A8）Eb,根据平行线的性质可得到N3CF=NABC=150。,ADCF=180o-ZCDE=105,即可求得BCD=ABCF-NDCF=45.【详解】如图，过点C作C/AB,DCF+ZC
29、DE=80oAB/DECF/ABfAB/DE/CF.团ZBb=ZABC=I50,.0ZC=75,0DCF=180-75=105.0ZCD=ZCF-ZDCF=15Oo-lO5o=45o.故选C.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键.例5.（2023河北沧州校考模拟预测）如图，ZA=58o,Nr）=I22。，Z1=3Z2,/2=25。，点尸是BC上一点.（I）NE的度数为;（2）若/80=50。.则CE与P尸（填“平行或不平行”）.【分析】（1）根据平分线的判定可得AAC。，根据平行线的性质可得HE的度数：（2）根据对顶角相等可得NeQ的度数，根
30、据平分线的判定可得CE/.【详解】解：（1）0NA=58。，ZD=122o,0ZA+ZD=18Oo,ABCD,0Z1=3Z2,Z2=25o,团Nl=75,0ZDFE=Zl=75；故答案为：75。.（2）ZDfE=75o,ONCTB=75。，0ZBFP=5Oo,团NCEP=25。，13NCFP=N2,CE/PF.故答案为：平行.【点睹】本题考查了对顶角相等，平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键.模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如图，AB/CD,结论：Zl+Z3-Z2=180.图1图2如图1,已知：BDE,结论：=4+1800-/.如图2,已知：AB/DE,结论：a
31、=y+18O。-/.例1.（2023四川广元统考三模）珠江流域某江段江水流向经过8、C、D三点,拐弯后与原来方向相同,如图，若NABC=I20。，ZBCD=SOo,则NCDE等于（）【答案】D【分析】过点C作C/AB,根据平行线的性质即可求出NC。七的度数.【详解】解：过点C作C/AB,0ZABC+ZBCF=18Oo,0ZABC=120,0ZBCF=180o-ZABC=180o-120=60：田NBC=80。，I3NDCr=800-N8b=80o-60=20:由题意D石AA，CF/DE,团NCOE=NDCT=20。.故选：D【点睛】本题考查平行线的判断和性质，作出辅助线，灵活运用平行线的性质是
32、解题的关键.例2.（2023湖南长沙九年级校联考期中）如图，若A3C。，Na=65。,=25。，则4的度数是（）BC. 140oD. 150o【答案】C【分析】利用平行线的传递性作出辅助线所，再通过平行线的性质即可解决问题.【详解】解：过E作AA的平行线瓦如图所示；.ZAEF=180。-Na=I80o-65o=115o,AB/CDEF/CD.NFED=Zy=25=ZAEF+NFED=115。+25=140。故选C.【点睛】本题考查了平行线的基本性质与平行的传递性，两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，根据传递性做出辅助线是解决问题的关键.例3.（2023河南周口校联考三模）如图，AB/EF,N
33、B=100。，NCOE=25。，则NBCD的度数是（）【答案】D【分析】作CG所，则CGAB族，根据平行线的性质分别求出NGC。和NBCG,则NBCD=ZGCD+ZBCG=105.【详解】解：如图，作CGEF,则CGABEF,CG/EFt：.AGCD=ACDE=25q,CG/AB,NB+NBCG=180,ZBCG=180o-Z=180o-100o=80o,NBCZ）=NGCe+。6=25。+80。=105。故选D.【点睛】本题考查根据平行线的性质求角的度数，解题的关键是正确添加辅助线.例4.（2023陕西西安校考模拟预测）如图，ABCD,CD/EF,CE平分NBa若NABC=58。，则/CEb
34、的度数为（）A.131oB.141oC.151oD.161【答案】C【分析】由平行线的性质可知NB8=NABC=58。，NC$+NDCE=180。.再由角平分线的定义即可求解.【详解】自ABCD,EZBCD=ZAfiC=58.国CE平分NBeD,田/DCE=gBCD=29.中CDEF,回/CEF+N。CE=I80。，0ZCEF=180o-ZDCE=151.故选：C.【点睹】本题考查平行线的性质，角平分线的定义.利用数形结合的思想是解题关键.例5.（2023江西九年级校考阶段练习）如图NBAC=I0。，ZACD=125o,CD上EF于点D,将AB绕点A逆时针旋转。，使AB所，则。的最小值为【答案
35、】25。/25度【分析】过点C作CM稗，过点A作49E尸，利用平行线的性质即可求解.【详解】解：如图，过点、C作CMEF,则NMeD=I80。一/。七二90。，ZACM=ZACD-MCD=35.过点A作ABf灰，则NBAC=NACW=35。.回NBA*=35。-10。=25。，故。的最小值为25。.故答案为：25。【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键.课后专项训练1. （2023山东临沂统考二模）如图，ab,Nl=45。，则N2的度数为（）C. 135D. 145【答案】C【分析】先根据平行线的性质可得/3=4=45。，再根据邻补角的
36、定义即可得.【详解】解：如图，ab=45o,.Z3=Zl=45o,【点睛】本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键.2. （2023春安徽九年级专题练习）如图，己知：ABEF,NB=NE,求证：BC/DE.在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是（）A.延长BC交所的延长线于点GB.连接朋C.分别作NBa）,NCf）上的平分线CG,DHD.过点C作CGAB（点G在点。左侧），过点、D作DHEF（点，在点。左根IJ）【答案】C【分析】根据平行线的性质与判定逐一判断即可.【详解】解：A、如图，AB/EF,囹NB=NG,回NB=NDEF，ZG=ZDEF,B
37、C/DE,故此选项不符合题意；B、如图，B/EF.由ZABE=NFEB,图NABC=NFED,国NCBE=/DEB,BC/DE,故此选项不符合题意;C、如图，由CG平分NBCD,DH平分NCDE,没有条件说明NBCD与NCz）E相等，也没有条件说明CG与DH平行，回此辅助线的作法不能说明BC与OE平行，故此选项符合题意;D、如图，延长BC交。，于点ABEF,CG/AB1DHEF、ABCGDHEF,eNB=NBMD,ZMDE=4E,ENB=NE,口NBMD=AMDE,BC/DE,故此选项不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理的推论.掌握平行线的判定和性
38、质是解题的关键.3. （2023浙江台州统考一模）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若/1=30。，【答案】D【分析】过N2顶点作直线/支撑平台，直线/将N2分成两个角即/4、/5,根据平行线的性质即可求解.【详解】如图所示，过N2顶点作直线/支撑平台，直线/将N2分成两个角即N4、Z5Illll13工作篮底部与支撑平台平行、直线支撑平台团直线/支撑平台H工作篮底部13Z1=Z4=30、Z5+Z3=180o0Z4+Z5=Z2=5Oo3Z5=5Oo-Z4=2Oo2Z3=18Oo-Z5=16OoiD.【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键.4
39、. （2023江苏八年级假期作业）如图，两直线A8、CO平行，则Nl+N2+3+N4+N5+N6=（）.A. 630B. 720C. 800D. 900【答案】D【详解】分别过E点/点,G点,”点作LltL2tL3tLA平行于AB观察图形可知，图中有5组同旁内角,则Nl+N2+Z3+N4+N5+N6=1805=900.故选D【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键5. （2023辽宁抚顺统考三模）如图，若A8Co曰7,Zl=15o,Z2=60o,那么ZfiCE=（）A.120oB.125oC.130oD.135【答案】D【分析】根据平行线的性质分别求出NBaNE8的度数即可得到答
40、案.【详解】解：ABCD/EF,Nl=I5。，Z2=60o,0ZBCD=Zl=15o,ZECD=180-Z2=120,1?1ZBCE=ZBCD+ZECD=135,故选D.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键.6. （2022安徽芜湖七年级期中）如图，ABCD,BF,DF分别平分0A8E和回COE,BIDEfM与SABE互补，则团厂的度数为FEDA. 30oB. 35C. 36D. 45o【答案】C【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.【详解】解：如图延长BG交CD于GBFSED三F=EDF又国。尸平分回CQE,0CDE=20F
41、,团BFSED国CGF=0EDF=2回产，AB0CDS3ABF=0CGF=2F,团8尸平分团A8E三2A8E=2（3A8尸=4团尸，又因尸与0A8E互补国r+A8E=180即5F=180o,解得卧=36故答案选C.【点睹】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.7. （2023内蒙古呼伦贝尔统考三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中48CDfZl=24。，Z3=148o,则N2的度数为（）A.56B.66C.98D.104【答案】A【分析】如图，在N2处作EEAB8,根据平行线的性质可得N3”E+NHM=180。，NFED=A由对顶角相等可得NBHE=N3,根据N2
42、=ZHEF+NFED计算求解即可.【详解】解：如图，在N2处作EE钻8,ZlT-BEFAB/BHE+NHEF=1800F|CDfONFED=Nl,电ZBHE=Z3,13Z2=ZHEF+FED=180o-ABHE+Zl=180o-Z3+Zl=56o,故选：A.【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质.解题的关键在于明确角度之间的数量关系.8. （2023春重庆江津七年级校联考期中）如图，AB/CD,ABE=EBF,DCF=ECF,设OABE=,6E=,F=,则,的数量关系是（）A.4-a+=360oB.3-+y=360oC.4-a-=360oD.3-2a-=360o【答案】A【分析】过E作EN
43、4B,过尸作尸Q48,根据已知条件得出姐=30(,团。尸=4站。,求出48目7(7,ABFQCD,根据平行线的性质得出0ABE=(36EN=,mECo=团CEM(MBa融/Q=180。，0DCF+0CF=180,求出+0ECf=B,3+4团QCE=360。，再求出答案即可.【详解】解：过E作EN48,过尸作尸BBABE=j0EBF,0DCE=0ECF,0ABE=,IaaABF=3a,0DCF=40CD,0AzCD,硒CD,ABFQCD,ABE=BEN=a,mEcO=团CEMMB/7+mBFQ=180,团OC/+团CT7Q=180,ABE+团ECD=I38EN+13CEN=团BEC,J3ABF+I3BFQ+CFQ俺DCF=180o+180o=360o,即a+J2ECD=,3a+40DCf=36Oo,WECD=-a,03a+4(-a)=360,即4-a+v=360o,故选A.【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.9. （2022江苏七年级期末）如图，AB/CD,则N1+N3N2的度数等于【答案】180.【解析】,AB/CD.t.Zl=ZEFDVZ2+ZEFC=Z3,NEFD=I80NEFC.N1+N3-N2=18O故答案为：180.10
