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1、专题12全等模型.角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。模型L角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】结论：CA=CB.OACOBC.BCDB图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2,在AAC中，ZC=90o,A。为NC48的角平分线，结论：DC=DE、AZMC空S4E.（当A4C是等腰直角三角形时OBBE图3过点。作Z)E_LAB.,还有A3=AC+CD.)条件：如图1,OC为NAoB的
2、角平分线、C4LQ4于点A时，过点C作CAJ_08.常见模型2（邻等对补型）条件：如图3,OC是NCoB的角平分线，AC=BCf过点。作CoJ_OA、CElOBo结论：ZBa+ZACB=180;AD=BE；OA=OB+2AD.例1.（2022北京中考真题）如图，在ABC中，4。平分NBAeDEAB.若AC=2,DE=1,则Sag）例2.（2022山东泰安中考真题）如图，M8C的外角NACD的平分线CP与内角NA8C的平分线8P交于点P,若NBPC=40,则NCAP=(C. 50D. 60例3.（2023广东中山八年级校联考期中）如图，JmC中，ZABC.NEAC的角平分线3P、AP交于点P,延
3、长8A、8C,PMtBE,PN上BF,则CP平分ZACF；ZABC+2ZAPC=180。；NACB=2NAPB；SAPAC=S&MAP+Sger上述结论中正确的是（）A.B.C.D.例4.（2023秋浙江八年级专题练习）如图，四边形ABOC中，No=NAB0=90。，点O为8。的中点,且04平分/8AC.求证：OC平分/ACD；求证：3_LOC；求证：AB+CD=AC.例5.（2022河北九年级专题练习）已知OP平分0AO4,团。CE的顶点C在射线OP上，射线CO交射线OA于点尸，射线CE交射线OB于点G.（1）如图1,若CD2OA,。硕03,请直接写出线段。尸与CG的数量关系；（2）如图2,
4、若0408=120。，0DCE=QAOC,试判断线段C尸与CG的数量关系，并说明理由.模型2.角平分线垂中间【模型解读与图示】条件：如图1,结论：ZXAOCW ZBOC, OAB-条件:结论:例1.图2图3如图2,庞:为NABC的角平分线，BELEC,延长BA, CE交于点尸.BECmBEF, BFC.是等腰三角形、BE是三线合一等。（2023山东淄博校考二模）如图，点。在内部，60平分/ABC,且ADSb。，连接Co.若88的面积为2,则JlBC的面积为例2.（2022秋湖北黄冈八年级校考期中）如图，ABC中，AD是NBAC的角平分线,CDYAD,AC-AB=5；若S皿:的最大值为3(),则
5、8C长为例3.(2022绵阳市九年级期中)在SABC中，AB=C,回BAC=90,8平分SABC交AC于点。.(1)如图1,点尸为BC上一点，连接A尸交80于点E.若AB=BF,求证：B。垂直平分AF.(2)如图2,CE0fiD,垂足E在B。的延长线上.试判断线段CE和4。的数量关系，并说明理由.(3)如图3,点尸为BC上一点，0EFC=0ABC,C匝EF,垂足为E,E尸与AC交于点M.直接写出线段CE与线段根的数量关系.例4.(2022安徽黄山九年级期中)如图,在ABC中，NBAC=90。，AB=AC,。是AC边上一动点，CElBD于E(1)如图(1),若8。平分NABC时，求NECo的度数
6、；延长C七交班的延长线于点尸，补全图形，探究60与EC的数量关系，并证明你的结论；(2)如图(2),过点A作4尸_LBE于点尸，猜想线段BE,CE,A户之间的数量关系，并证明你的猜想.模型3.角平分线构造轴对称模型(角平分线+截线段相等)【模型解读与图示】条件如图，OC为NAOB的角平分线,A为任意一点，在08上截取。8 =。4,连结C8.结论:AQAAOBC, CB=CAo条件:如图，BE,CE分别为NABC和NBCE的角平分线，A3/CD,在5。上截取Bb=A瓦连结EE结论：ABAEABFE,ACDE冬ACFE,AB+CD=BC0例L（2022秋江苏八年级专题练习）在0A8C中，A。为0A
7、8C的角平分线，点E是直线BC上的动点.（I）如图1,当点E在CB的延长线上时，连接AE,若（3E=48。，AE=AD=DCf则财8。的度数为.（2）如图2,AOAB,点P在线段AO延长线上，比较AC+8P与A8+CP之间的大小关系，并证明.（3）连接AE,若团DAE=90。，回BAC=24。，且满足A8+AC=EC,请求出0ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）.例2.（2023浙江九年级专题练习）如图，在“8C中，AB=AC,ZA=100o,8。是/A8C的平分线,延长6。至点E,DE=AD,试求NEcA的度数.例3.（2022,北京九年级专题练习）在四边形AE）E中，C是80边的中
8、点.（1）如图（1）,若AC平分NACE=90。，则线段AE、AB.OE的长度满足的数量关系为;（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分NftAE,EC平分NAED,若NACE=I20。，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.例4.（2022湖北十堰九年级期末）在团ABC中，0ACB=20B,如图，当C=90。，AD为团BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD.（1）如图，当囹090。，AD为OBAC的角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图，当AD为团ABC的外角平分线
9、时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.课后专项训练1. （2022秋福建厦门九年级校考期中）如图，ZAOB=a（是常量）.点尸在NAQ8的平分线上,且OP=2,以点尸为顶点的“MRV绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，NMPN的两边分别与OB,OA相交于M,N两点,若NZMPN始终与449B互补，则以下四个结论：PM=PN；OM+QN的值不变；四边形PMON的面积不变；点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）A.B.C.D.2. （2022江苏常州一模）如图，已知四边形ABCO的对角互补，RZBAC=ZDACfA8=15,AD=I2.过Ap顶点C作C
10、E_LAB于E,则空的值为（）A.73B.9C.6D.7.23. （2023成都中考模拟）已知，如图，BC=DC,0B+0D=18Oo.连接AC,在AB,AC,AD上分别取点E,P,F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,（3APE的面积为4,则MPF的面积是（）A.2B.4C.6D.84. （2023福建度门九年级校考期中）如图，NAoB=（是常量）.点P在/AoB的平分线上，且。尸=2,以点P为顶点的/MPN绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，/MPN的两边分别与08,QA相交于M,N两点，若NM尸N始终与2478互补，则以下四个结论：PM=PN;OM+ON的值不变；四边形尸MoN的面积不
11、变；点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（则。E的值为（）A. 1B. 2A.B.C.D.5. (2022安徽合肥一模)如图，一ABC中，AO平分N8AC,E是BC中点，ADVBD,AC=7,AB=4fD.6. （2022福建福州一模）如图，0A8C中，0AC=45o,CZ）tMB于点O,BE平分0ABC,且B0Ae于点B,交C。于点R”是BC边的中点，连接DH交BE于点G,现给出以下结论：ElACZ三/8。；（I）AE=CEi团OG尸为等腰三角形；Q）S四边彩ADGE=S四立形GHCE.其中正确的有（写出所有正确结论序号）.7. （2023黑龙江哈尔滨统考模拟预测）如图，四边形ABCQ中N
12、D=2/8=120。，AB=AD,E为BC上一点，连接AE,BE=2,CD=7,若4N84E+NA8=120。，则线段CE的长为8. （2023达州校考一模）如图，已知四边形ABC。中，CA平分NBOBCCDtAB=AD求证:ZB+ZD=18().9. （2022安徽芜湖九年级期中）如图，已知，ZBAC=90o,AB=ACB。是ZABC的平分线，且CELBD交BD的延长线于点E.求证：BD=2CE.10. （2022江苏扬州中考真题）如图，在ABCDBE、DG分别平分ZABC、ZADCf交AC于点区G.求证：BE/DG,BE=DGi过点上作M_LA8,垂足为F.若.ABC。的周长为56,EF=
13、6,求ABC的面积.IL（2022秋湖北武汉九年级校联考阶段练习）如图，在448E中，。、C分别在4E、BE上且CQ=CB,AC平分NE48,CHJ_A8于点”.求证：Z4DC+ZB=180；（2）若4。=3,AB=3,求AH的长.12. （2023宁夏银川校考二模）问题提出（1）如图，已知NAOB,以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点M,交OB于点N,分别以点M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在NAQB的内部交于点。,画射线OC,连接CM,CN,MN,则图中与、OMC全等的是;问题探究（2）如图，在SC中，AD平分NZBAC,过点0作DWIAB于点连接CD,BD,若B+AC=2AM
14、f求证：ZACD+ZABD=180；问题解决（3）如图，工人刘师傅有块三角形铁板A8C,4=6（）。，他需要利用铁板的边角裁出一个四边形BEFD,并要求NEEo=I20。，EF=DF.刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出NBAC的平分线AO交BC于点。，作NBCA的平分线CE交AB于点E,ADCE交于点F,得到四边形BEFD.请问，若按上述作法，裁得的四边形8瓦D是否符合要求？请证明你的结论.13. （2022江苏一模）如图，己知NKF,AEf8。是&ABC的角平分线，且交于点P.（1）求NAm的度数.（2）求证：点尸在”的平分线上.（3）求证：PD=PE;AB=AfH3E.C
15、14. （2022北京西城二模）在AABC中，AB=AC,过点。作射线Q使0AC9=0AC8（点汗与点8在直线AC的异侧）点。是射线CB，上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且团。4日48=90。.（1）如图1,当点E与点。重合时，A。与Ca的位置关系是,若BC=a,则Cz）的长为；（用含。的式子表示）（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接。E.用等式表示4%C与NDAE之间的数量关系，并证明；用等式表示线段BECD,OE之间的数量关系，并证明.图2Sl15. （2022重庆二模）已知：如图1,四边形A8C。中，NABC=I35。，连接AC、BD,交于点、E,BDLBeAO=AC.（
16、1）求证：N/MC=90。；如图2,过点8作班交dC于点尸，交Ae于点G,若SDBF=2SCBF，求证：AG=CG;如图3,在（2）的条件下，若AB=3,求线段GF的长.16. （2022陕西西安一模）如图，8。和NCE都是等边三角形，0ABClO5o,AE与DC交于点F.（1）求证：AE=DC;（2）求皿?尸E的度数；（3）若A尸=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm,求CD17. （2022自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题.（1）如图，AD平分NBAC,ZB+ZC=180o,ZB=90o,易知：DBDC.如图，AD 平分NBAC, ZABD+ZACD=180% ZAB
17、D90o,求证：DB=DC.18. （2023山东九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容.已知：如图13.5.4,OC是/AO8的平分线，P是OC上任意一点，PDlOAtPE013,垂足分别为点。和点E.分析：图中有两个直角三角形PoO和尸EO,只要证明这两个三角形全等便可证得PrU依【问题解决】请根据教材分析，结合图写出证明PD=PE的过程.【类比探究】（1）如图，。是NAoB的平分线，P是OC上任意一点，点”,N分别在OB和OA上，连接PM和尸N,若NPQFN?No=I80。，求证：PM=PN；（2）如图，二ABC的周长是12,BaCO分别平分/ABC和
18、NAeB,OD上BC于点D,若OD=3,则AABC的面积为.19. （2023安徽九年级期末）如图，在AABC中,AC = BCt AO平分 NCAB.(1)如图1,若ACB=90。，求证：AB=AC+CD-,(2)如图2,若AB=AC+班,求NACB的度数;(3)如图3,若NACH=Io0。，求证：A=AD+CD.20.（2023湖北孝感九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画NAO8=90。，并画/AO8的平分线。C.（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与NAo8的两边。4,OB垂直，垂足为E，F（如图1）.则尸E=PF；若把三角尺绕点尸旋转（如图2）,则依PF.（选填：或=）（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点尸作直线G_LOC,分别交OA,OB于点G,H,如图3.图中全等三角形有对.（不添加辅助线）；猜想GE,FHt所之间的关系为.（拓展延伸）（3）如图4,画ZAOB=60。，并画ZAOB的平分线OC,在OC上任取一点P,作ZEPF=120,
