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1、专题20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法：由线段乘积相等转化成线段比例式相等；分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形;第步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等;第步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第步。模型L“母子”模型（共边角模型）【模型
2、解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似.图1图2图3图4例1.（2022贵州贵阳中考真题）如图，在国二!中，辟耳!边上的点，I刁I,IFI，则目一与目1的周长比是（）a.IWIB-国C.国D.目【答案】B【分析】先证明0A三45G即有冈，则可得司，问题得解.【详解】00=0ACD,0A=0A,00ACDaSL4C,P*1,S,EH,丘冈，励ADC与0AC8的周长比1:2,故选：B.回回【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定
3、与性质，证明三48C是解答本题的关键.例2.（2022春江苏九年级专题练习）如图，在RtA8C中，0AC8=9O。，点。在AB上，至(1)求证0ACD三48C;(2)若40=3,BD=2,求Co的长.【答案】（1）见解析；（2）国【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出IFI（2）由171得I田一I,IF推Hg1，由相似三角形的性质得冈，即可求出8的长.【详解】（1）e H, I，H【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C,。在线段AB上，APCO是等边三角形，且N4
4、P8=120。，求证:（1）ACPsApdb,（2）CD2=AOBD.证明：（1）TZkPCO是等边三角形，：,/PCD=NPDC=/CPD=6,：.ZACP=ZPDB=20o,VZAPB=120o,Z4PC+ZBPD=60o,VZCP+Z4PC=60o/.NBPD=ZCAPt：.AACPsAPDB;（2）由（1）得AACPsapdB, Y ZXPCO是等边三角形,例4. （2023,湖南统考中考真题）,求I 7I的长.（1）证明：IT（2）若写【答案】见解析啊【分析】（1）根据三角形高的定义得出IF-1,根据等角的余角相等，得制FI，结合公共角771I,即可得证；（2）根据（1）的结论，利用
5、相似三角形的性质即可求解.是斜边耳上的高.I,国.又田冈【详解】（1）证明：瓦国，又响【点睛】本题考行了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.例5.（2023.浙江中考模拟）如图，在口ABC中，0ACB=9Oo,CD0AB.IY（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长:（3）在（2）的情况下，如果以AB为X轴，CD为y轴，点D为坐标原点0,建立直角坐标系（如图2）,若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点
6、即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P,国件件目使以点B、P、Q为顶点的三角形与团ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)3,DaboOxcd,OabozQcbd,acdizcbd:(2)3；(3)存在，IXIIXIXII【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为:目ABc三1ACD,mABe三CBD,0ACD三CBD.（2）先在团ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据团ABC的面积不变得到住BCD=住JBC,即可求出CD的长.（3）由于团B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与0ABC相似时，分两种情况进行讨论：团P
7、QB团团ACB：(2)0QPB00ACB.【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：团ABC瓯ACD,0ABC三CBD,0ACD00CBD.证明：团CD团AB,SEADC=回ACB=90,又00A=团A,00ADa30ACB同理可证：0ABCE0CBD,ACDECBD.故答案为：3：0ABC00ACD,0ABC00CBD,0ACD00CBD.=LHl(2)如图2中，在团ABC中，00ACB=9Oo,AB=5,AC=4,BBC=团团ABC的面秽I=佳BCD=佳CBC,BlCD=|囚=仲（3）存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与mABC相似，理由如下:在团BOC中，（三COB=90
8、,BC=3,OC=目，（30B=件分两种情况：当团BQP=90时，如图2，此时（3PQB（三ACB,恒I=EjBl冈解得t=J即冈在团BPQ中，由勾股定理，得当团BPQ=90时，如图2，此时回QPB(三ACB,E3,E,1可在回BPE中，,回点P的坐标为I目,综上可得，点P的坐标为（【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.例6.（2022陕西汉中九年级期末）如图，回1是等腰直角三G斗边TF的中线,以点耶J顶点的耳二!绕点耶转，角的两边分别与国、国的延长线相交，交点分别为
9、点已与耳与耳交于点Q，目与国交于点寺且IG-1.如图1,若IW-1,求证:臼I；如图2,于F-!,求证:丘I：如图2,过日作回卜尸点若I-gI，I71求I司I的长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析:【分析】（1）由题意可得团8CCHMC=45。，BBCE=ACF=90,从而可得SDCE=OOCF=I35。，于是可证得，则有DE=DF；（2）结合（1）可求得由COF+0F=45。从而可得M=KDEt则目利用相似三角形的性质即可求解；（3）由。G08C,SAC氏90。，0CD=0ACD=45o,结合（2）可求得CE=2，从而可求得CG=OG行，可证得,从而可求得GNFil再利用勾股定理即
10、可求得。M(1)证明三三4C8=90,AC=BC,CP是中线,BCZ)=SACD=45o,0BCE=0ACF=90o,02DCE=HDCF=135团在团。CE与团。C尸中,0DE=DF；(2)证明团SODCE=0DCF=135o00CDF+QF=18Oo-135o=45o,00CDF+QCDE=45o,SBF=OCDE,.P11(3)解：如图，0DG0fiC,0AC=9Oo,0CD=0ACD=45o,DGN=ECN=90o,0GCD=0CDG=45o,CG=DG可得，咨痼,在/?他。CG中，国【点睹】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅助线，并熟
11、记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键.例7.（2023浙江,九年级期末）（1）如图1,在国二!中，邦目上一点，IFl求证：I刁I.（2）如图2,在I习!中,11l力上一点,连接I冈1已知I皆LIFI，I冈I.求证:I/-l（3）如图3,四边形目一|内接于=1与相交于点星已知送勺半径为2,IT|,直【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 巨II |求四边形耳二的面积.【分析】（1）由I化比例，与I,I，可汨W hf可1即可;（2）由IF|,可得IEAD=BC,根据线段比值计算IWI冈EAC=0C4B,可证丘广j1即可;（3）连接后!交五于点与连接与1，根据IFhE1,可得AC=E,根据线
12、段比值计算可得*1,由团AAC=SEA8,可证与Z三J,可证0A8Q=SAD从可得BF=DF,根据勾股定理OF=Q3可求I囚可证I*1-|，I臼|，可得SABCD=国即可.【详解】（1）证明：如图1,司FI，回回，又回百I，dFI，3FL,AD=BCf（2）证明：如图2,ElT1F向四I，I回I，I回I，引,00EAC=0CAB,HmMqI即区I（3）解：如图3,连接OA交回于点与 连接耳，（可 l叵，AC=2Af,f8=0AC3, BMBd=SAOB,回点A是弧目的中点，BD为弦,OA为半径，目可 BF=DF,BBF=DF= 国在Aa08产中,根据勾股定理OT M，LJlsbcd=sbce+
13、sdce.【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键.例8.（2022春广东深圳九年级校考期中）【基础巩固】,求证:（1）如图1,在四边形三f1中,对角线耳平分国二回【尝试应用】（2）如图2,四边形耳二为平行四边形，中耳边上，IVI，点学导延长线上,连结耳，耳，耳彳若IF,=p-l三j-l求目的长；【拓展提高】（3）如图3,在IF卜l,11F司I上一点,连结I冈I,点y11/别在丘p,IFl上,连结I,1,国，目，若I目I，IlIpglIHI，I冈,求FJ的值【答案】（1）见解析；
14、（2）国；（3）件【分析】（I）据角平分线的定义及相似三角形的判定可知I刁I，再根据相似三角形的性质即可解答：（2）据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知臼I，再根据相似三角形的性质即可解答;（3）据平行线的性质可知即相似三角形的判定可知IF|,再根据相似三角形的性质即可解答.详解（）证明：瓦五平分与二eIF1，旧Zl可三1dW,百冈1；（2）解：团四边形耳二!为平行四边形，F|,I。卜百刁I，回（3）过点作.I交厂FiI的延长线于点国WlI,百日L?1日I，回可I，【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.课后专项训练AO1
15、12023成都市九年级期中）如图,矩形ABO中尸是OC上一点，BFlAC,垂足为E方=,CM的面积为Si,ZAEB的面积为52,则占的值等于（）1 B.-51 A. 16SzD.1251C.一44D1【解答】解：,一=一，；.设AD=8C=q,则A8=CD=2,.AC=5cr,AB2:BFLAC,：AcbesAcab,aebabc,/.bc2=ceca,ab2=aeaca2=CEy5a,42=E5,CE=,AE=55AE4SlCErlVCEF4E,=（一）2=,故选：A.S2AE162. （2022浙江衢州统考中考真题）如图，在臼一I中，臼分别以点耳为圆心，大于卜T|的长为半径画弧，两弧相交于
16、点国二,作直线与分别交回，耳!于点耳卫以耶圆心，I五长为半径画弧，交可于点马连结I三|.则下列说法箱误的是（）A.IFIB.ITIIC.IFID.反【答案】C【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得IF-1，从而可将F，I，再根据等腰三角形的性质可得与-1，然后根据三角形的外角性质可得IF-I,由此即可判断选项B：先假形F!可得丘吞I，再根据角的和差可得I.I，从而可得r三pI，由此即可判断选项c：先根据等腰三角形的判定可得【二II，再根据相似三角形的判定可得与I，然后根据相似三角形的性质可得IW-最后根据等量代换即可判断选项D.【详解】解：由题意可知，
17、耳垂直平分耳，IFI，yI,则选项A正确;E，I叼卜IPl I，Ipq I，0I，Ip L,则选项B正确;假设后又I网，则假设不成立，选项C错误;在I三！ I和三忡，Fl正确的是（）【答案】CD.,则选项D正确；故选：C.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键.3. （2023湖北恩施校考模拟预测）如图，在IFI中,IFI，IF仔即下列关系中不【分析】求证回I，IFI,IFI，相应得出相关线段的数量关系；由勾股定理，可得I可-中，旧I，IWI中,ImI，于是I三II，从而可得出结论.
18、【详解】解：可WI,IF-I，1日飞3回习I，故A正确，不符合题意：4同I，响I，BI同Zl乂J1Hw1，故B正确，不符合题意：中，3I囚I中，13-1卜故D正确，不符合题意.OLI冈国臼I冈目.I，故C错误，符合题意；故选：C【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，根据相似三角形得出线段间的数量关系是解题的关键.4. （2023山东济南统考中考真题）如图，在耳二中，IFI，IFI，以点单圆心，以目为半径作弧交耳于点与再分别以C与圆心，以大于F的长为半径作弧,两弧相交于点身作射线耳交臼于点连接臼1.以下结论不正确的是（）A.I曰IB.IMIC.囚D.W【答案】C【分析】由题意得，IF
19、I，目平分国二|，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出IFI，得到I目I，根据三角形内角和求出IF卜得到IFI，即可判断B；证明Iw得到冈,设I囚|,则I刁I，求出M即可判断c；过点E作IEI于g,itiFrH,由角平分线的性质定理推出三jI，即可根据三角形面积公式判断D.【详解】解：由题意得，ImI，I寸平分I，团在Iw冲，IphIrqI,0pI（司平,分与二I，月司-1，故AiE确；平分臼I，I-Tl-FI，4WI，向冈I，IW-l，dEI，WTI，d日L故B正确;f三I，ff三I，g田，设I冈I，则ImI，历3d囚I，解得囚,丘冈，R因，故C错误；过点E作.hrG,I印卜
20、H,t司平分臼I，IFI，17国叼IHE,故D正确；故选：C.【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键.5.（2023云南临沧统考三模）如图，在耳口中，。是目上的点，IF1，国二,耳二,则丘I与耳二）的面积比为（)A.B.C.日D.目【答案】C【分析】证明I7一I,再利用相似三角形的性质即可解答.详解解：Iw:IF卜耳胃I,囚I设I7卜则I因I季|,目耳Zl与耳二的面积比为耳，故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键.
21、6. （2023山东东营统考中考真题）如图，在国二!中，以点口为圆心，任意长为半径作弧，分别交耳，目于点耳王分别以点与密圆心，大于3的长为半径作弧，两弧交于点与作射线耳交五于点百若与二I，耳二1，耳二）的面积为则耳Zl的面积为,得出3【答案】目【分析】过点0件可I交I的延长线于点目,证明I习0;即可求解.【详解】解：如图所示，过点耳1：目二交目的延长线于点与同刁的面积为r小丁1的面积为曷故答案为：L3【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键.7. （2020山西统考中考真题）如图，在IFI中,yI，耳二1，同二I，II，垂足为
22、与11l的中点,I司闫交于点他则匕斗I的长为.【分析】过点F作FH团AC于H,则与Ztf国二|，设FH为X,由已知条件可得冈，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于X的方程，解方程求出X的值，利用回三II，点1的中点,好回I,日FI，4回7E323设同为则3；由勾股定理得回,E3故答案为:7,点国边上一【点睛】本题考杳了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形.8. （2022河北邢台校考二模）如图1,在IVI中,IVj|,臼连接与，作IWI,使得Iw-I，国交同于L.如图2,点，则点口历点日FJ最短距离为.则当与二时，同的长为一【答案】52【分析】
23、根据等腰三角形的三线合一性作8C边上的高AM,再根据三角函数值求出NM的长，根据垂线段最短即可得到点P到A的最短距离即为AM长;,根据等腰三角形的三线合一性即可得到BN的长，利用线段的和差求出PN的长，再根据三角函数值求出AN的长，利于勾股定理即可得到AP长和AC长，再证MPQ相似于aCP,即可得到AQ长;【详解】解如图1,过点A作4W08C,垂足为M,MB=AC, AMBC, IaBM=MC=Sc=I2,XatanC= _ Zltn8=:目M=8Vo卬）8=12 Xl=5,根据点到直线的距离垂线段最短，可得点P与点A的最短距离为5；AB=AC=H|=13，如图2,过点A作ANBC,在RtAP
24、N中,PN=PC-CN=I,又AN=S,AP2=PN2+AN2=26,在国APQ与0ACP中，00PQ=SC,团%Q=0C4P,三4PQ三4CP,I?冈MP2=AQQAC,MQ=2故答案为：5；2.【点睛】本题考查等腰三角形、直角三角形、锐角三角函数，相似三角形的性质和判定，综合性较强，熟练相似三角形的性质和判定以及锐角三角函数的意义以及直角三角形的边角关系是解题的关键.9. （2023内蒙古统考中考真题）如图，I囚I是正五边形与二!的对角线,与与耳相交于点与下列结论：国平分国二|；IVII：四边形式二!是菱形；臼其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）【答案】【分析】根据正五边形的性质得
25、出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可.【详解】解：团正五边形耳口，目FI，目El平分【EI；正确;回三I回I，回回-I,q冈同三II，P1,即I4l故错误;同回I，H回FI，IqI，团四边形式D是平行四边形,目FI，团四边阙三厂!是菱形;止确；IaW即I习】正确；故答案为：【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.10. （2020广东广州统考中考真题）如图，正方形与一|中,回二!绕点单时针旋转到耳二耳，耳I分别交对角线与于点与，若耳二I，则I司I的值为.【答案】16【分析】根据正
26、方形及旋转的性质可以证明I而1利用相似的性质即可得出答案.详解解：在正方形冲，IFI，dFI绕点硬!时针旋转到I网-1，回yI，回I，曲冈I，日团I,H冈，圆7l故答案为：16.【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键.11. (2021四川南充中考真题)如图，在IyI中,D为BC上一点,|臼I，则IFI的值为【答案】7I【分析】证明0WD0(3CRA,根据相似三角形的性质即可解答.【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，证明0A8D00CBA是解决问题的关键.12. (2022四川宜宾九年级期末)如
27、图，在SABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,0DEC=0B.(1)求证：0AED00ADC；(2)若AE=1,EC=3,求AB的长.【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）利用三角形夕卜角的性质及团DEC=RIADb可得出团ADE=I3C,结合（3DAE=13CAD即可证出团AED圆3ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD=AB即可得出AB的长.【详解】解：（1）证明：00DEC=0DAE+0ADE,0ADB=0DAE+0C,团DEC=团ADB,00ADE=0C.Xsedae=Bcad,00aed三adc.（2）团团AEDEraADCB回，即Gl,
28、0AD=2cAD=-2（舍去）.又团AD=AB,0AB=2【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似证出AAED00ADC;（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长.13. （2022江苏盐城中考真题）如图，在耳ZI与其二!中，点生邸别在边耳、目上,且Im-I，若，则ITl-I.请从冈；同；IM1这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明.【答案】见解析.【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可.【详解】解：若选3，证明：回pgI，E冈一,Sfl,R冈选择1,不能证明厂若选I而I,【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握
29、相似三角形的判定方法.14. （2023湖南统考中考真题）在是斜边耳上的高.（1）证明：I日I；（2）若IW求LJ的长.【答案】见解析呵【分析】（I）根据三角形高的定义得出IF1,根据等角的余角相等，得出I刁1.结合公共角IWI，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解.【详解】（1）证明：目F是斜边三jl上的高.(2)(司 E 3又I冈F凶【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.15.（2023宁夏统考中考真题）综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为耳的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究.
30、探究发现：如图1,在l卜IIITjI，IqI.（1）操作发现：将与二1折叠，使边耳落在边耳上，点O勺对应点是点导折痕交同于点与连接耳，目，则与H设k I，IF I，那么与（用含即式子表示）；（2）进一步探究发现:，这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明:拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的耳Zl是黄金三角形.如图2,在菱形耳二!中，yI,r.求这个菱形较长对角线的长.【答案】（1）IFI（2）证明见解析，拓展应用：1【分析】（1）利用等边对等角求出国的长，翻折得到I，,利用三角形内角和定理求出，与二I，表示出与!即可；（2）证明行,利用相
31、似比进行求解即口J得出拓展应用：连接国，延长与至点使IFI，连接耳，得到国二!为黄金三角形，进而得到，求出囱的长即可.【详解】解：（1）叼I,ImI,团将耳Zl折叠，使边耳落在边耳上，Fl1,(2)证明,整理，得:解得：冈（负值已舍掉）；经检验EO是原分式方程的解.i；故答案为：Iv1；拓展应用：如图，连接耳,延长导至点易使IFI，连接目,在菱形丘j中,L*,，4FI为黄金三角形,即爹鹿的较长的对角线的长为回J【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质.解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为W16.（
32、2023广东九年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足LmI，则称点P为这个三角形的“理想点.如图，若点。是国二）的边A8的中点，IWI，与二，试判断点。是不是国二!的“理想点，并说明理由；如图，在IF中,I,1,IFI可若点。是IF的理想点”，求。的长.【答案】即与二）的理想点,理由见解析出件【分析】（I）由已知可得月,从而IF-I.IF卜可证点用耳口的“理想点”；（2）由母国二!的“理想点，分三种情况：当即目上时，目是耳边上的高，根据面积法可求与长度；当11三jl上时,IHI，对应边成比例即可求与长度；中可能在耳上.（1）解：,点啊三i-l的理想点”,理由如卜.：目是耳中
33、点，HI,I臼1E卜I国I，1目1，I囚I，耳网II子I,IVlI，IW-I，目MmarI的理想点”；耶耳二时，如图:与!是I1的“理想点,IW-!则皆I当I7!时,IFI,rI田I，即耳是耳边上的高，刊行时，同理可证I，即与是耳边上的高，在与二）中,I叼1，117lIiTlI，I冈I，冈，冈IF,IFI，IF府TiLC理想点口可能在耳边上，Ejl边上时，如图:与1是国二!的理想点，IFI，综上所述，点11三!的理想点,目的氏为IJl或性【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点的定义.【答案】见解析（2）AE=9【分析】（1）根据四边形ABa）是菱形，得出IF
34、lIF卜根据平行线的性质和等边对等角，结合田I，得出I刁I，即可证明结论；（2）根据I闫得出因一，代入数据进行计算，即可得出AE的值.【详解】（1）证明：团四边形ABC。为菱形,【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出目I，是解题关键.：ITjI；（2）如图2,若Ig臼|,I司I,I可求线段目的长；（3）如图3,时，若I冒I，M、N分别是与耳上的两点，连接耳交写于点P,当IF|,其直接写出回的值.【答案】（1）证明见解析；（2）国二|（3）E【分析】（1）先证明II，再根据相似三角形的性质，即可证明结论;（2）延长国至点星使得1，连
35、接耳，根据三角函数值，设ImI,lL进而得,IFI,I,l,证明IF1，得出IF1从而得到美于我勺一元二次方程，解方程即可得到线段目的长；（3）过点作丘j!交同于点交五于点与过点目乍I囚I交j卜点马 过点日昨丘I于点没I TI，理，得到国二，IWI，证明I胃1,得出I F,z-l h利用勾股定再证明与1得到 M-M ;进而得出叵一 即可求出回M值.H 冈 一,最后证明I,-（2）解：如图,，设IH卜IFI，IplI冈冈,解得:过点（3）解：如图，过点r作I司交IMI尸点交I过点厂即：iM1交IFLp,点EmIl胃乍目二三!于点目I Vl I，I m I 囚lLFl，在IFI中，目卜口I，I同,
36、可,即冈故答案为:【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，一元二次方程的应用，等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键.19. （2022湖南长沙校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”.例如，如图1,在国二!中，国为边国上的中线，耳二!与耳Zl相似，那么称耳Zl为关于边写的“华益美三角.如图2,在目中,IWI,求证：国二!为关于边写的“华益美三角；如图3,已知国二1为关于边耳的华益美三角”，点小国二!边耳的中点，以耳为直径的班班好经过点L求证
37、：直线耳!与耳相切；若目的直径为同，求线段1耳的长；已知耳ZJ为关于边写的“华益美三角，jI,IFI,求三jl的面积.答案（1）见解析见解析；（3）目或I自卜戈I【分析】（1）根据中线的定义可设IF1即ImI，再出区I，可得可W,即有1,结合I,I,可得Im-1,问题得证；（2）连接耳，根据IFI，可得I刁一!根据厂司为目的宜径,可得I叼1根据IFI，可得问】,即有I日L可得IE问题得证；由题意可知I，IF卜即有3-，冈,可得I冈即有I年|，进而可得I囚I，在IF仲,有IFI，即有囚，解方程即可求解;（3）分类讨论：GF时,过4点作与二!于点E利用相似可得臼即I囚|,根据I.I,可得囚L此时面
38、积可求；、与I刁1时,过A点作三jI于点与同理利用相似可得I冈进而可得冈，根据IF1,可得3W,则有同，利用I.I，可得，求出I国1，进而可得冈，面积可求，问题随之得解.【详解】（1）如图,司为IFI的中线,4HFlI，N3：为关于边T司的“华益美三角”；由题意可知（2）证明：连接耳如图,又回网 I，dqI，圆回又比同为国的半径，4司为C司的切线;团由题意可知IF1, 瓦司的直径为国，回二目I?团在,E,解得：IGl l （负值舍去）；时，过A点作II于点E,如图,（3）分类讨论：Wll Tj。为关于边耳的“华益美三角，耳n，I日I，同回I，I臼1EW时，过A点作IEIT-点如图,-l呵为关于
39、边目的“华益美三角”,可口，IFI，还有:月国 卜I q I,区囚根据国综上：HJ的面积为!回!或!阈Ti【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理以及解一元二次方程等知识，理解“华益美三角”的含义，灵活运用相似三角形的判定与性质，是解答本题的关键.20. （2022浙江台州统考一模）已知在蜘8CO,/48=2,BC=IO,团8=60,E是边8C上的动点，以AE为一边作BWEFG,且使得直线FG经过点D.（1）如图1,EF与AD相交于H,若是EF的中点.求证：GF=DF;若GF0CD,求GD的长；（2）如图2,设AE=x,AG=y,当点E在边8C上移动时，始
40、终保持MEF=45。,求V关于X的函数关系式，并求函数V的取值范围；连接ED,当AAED是直角三角形时，求。F的值.【答案】（I）见解析；12；W；7或因J【分析】（1）根据四边形AEFG是平行四边形以及H是EF的中点，可以得出HF是回DAG的中位线，进而可得GF=DF;通过证明AflSAE,解RtA48E求得AE,便可进一步求得结果；（2）如图2中，过点4作4K0DG于K,过点E作日MD于J,过点A作4H0BC于从构造相似三角形解决问题即可；分当（3EAD=90。和0AED=9O两种情形分别求解即可.【详解】（1）证明：如图1中，El四边形AEFG是平行四边形，SG0EF,AG=EF,团是E
41、F的中点，0HF=5f=g,EIHF是S）DAG的中位线，团GF=OF.如图1中，13四边形A8CD是平行四边形，四边形AEFG是平行四边形，蜘SCD,AEBGF,0GF0CD,网8ME,00=6Oo,A8=W团GF=A0=8tanB=G=6,GD=2GF=12;（2）如图2中，过点A作AMIIDG于K,过点E作日MD于过点A作川Y08C于”.国四边形AGFE是平行四边形，0E0DG,0G=AEF=45o,BAKBDG,AKAE,0E74D,BAKD=BAJE=EAK=90,EAJKAD=90o,0KAD+MDK=90,00Em=MDKEJAAKD,I?囚，在RtaA8H中，AHB=90o,八
42、8=五|,(38=60,H=A8sin600=3,00G=45%AD=BC=IO,0点G的运动轨迹的弧，当MDG最小时，AG的值最小，当点E与C重合时，MDG=E)OAC最小，AG的值最小，在R&CH中，0HC=9Oo,AH=3,CH=IO-国，d回0回蜘E的最小值为3,MG的最大值为7I,2司如图3-1中，当团)0=90。时，可知4E=FG=3,DG=AD=IOfDF=DG-FG=I.如图3-2中，当0AEO=9(时，过点E作曰4。于J,设A=x,则DJ=I0-,EJ0AD,SAEO=90,AJE=EJD=90,0(3E47+a4F7=9Oo,AEJ+WEJ=90o,00EA=0DE7,团团EJAISaDJE,可得日2=ADJ,取(10-)=9,解得X=I或9(舍弃)，SAJ=1,DJ=9,1冈MEIl1DG,团团EDG=I80-90=90,团蜘EF=团DF=45。
