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1、高考冲刺：数列【高考展望】1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.2 .数列中4与S之间的互化关系是高考解答题的一个热点.3 .函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.4 .解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型，如与导数和极限相结合等.【知识升华】1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.2 .运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量2、d（或夕），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常
2、通过“设而不求，整体代入”来简化运算.3 .分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意夕=1和4两种情况等等.4 .等价转化是数学究习中常常运用的，数列也不例外.如“与S”的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.5 .深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.6 .解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.7 .数列应用题也是命题点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用.8 .本章中还蕴含着丰
3、富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.【典型例题】类型一：正确理解和运用数列的概念与通项公式例1.在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以/5）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=；/（）=（答案用n表示
4、）.O（举一反三【变式1】设伍为等差数列，为等比数歹IJ,且a尸匕=1,2+4也3/2也=03分别求出凡及的前10项的和Slo及T10.考点二：数列递推关系式的理解与应用例2.数列q中，4=2,a+1=an+cn（C是常数，九=1,2,3,）,且q,a2,6成公比不为1的等比数列.(I)求C的值；(II)求%的通项公式.举一反三【变式1】已知等差数列%的前项和为S”，且S3SsSa2=24.考点三：数列的通项4与前n项和Sn之间的关系与应用例3.在等比数列4中，q=2,前项和为5.，若数列q,+l也是等比数列,则S,等于()（八）2,+-2(B)3n(C)2n(D)3,-l举一反三【变式1】设
5、数列。“的前n项和为0也=(N率)且也是以q为公比的等比数列.(I)证明：an+2=aiq2；(11)若q=%-+24”，证明数列%是等比数列;(111) 求和：111FH1.4aI4%2,1-1a2,l举一反三【变式1】已知数歹Uq的前n项和S11=一9，第k项满足548,则k=()A.9B.8C.7D.6【答案】此数列为等差数列，an=Sli-Sn,l=2n-0,由52kT0().(I)求/(4+2),并求。的值；(II)令册=焉nWN*,证明数列,是等差数列；(III)设勺是曲线y=(x)在点(/,A/)处的切线的斜率(),数列(的前项和为S,，求证：-4与（即前面某数大于后面某数），则
6、称.与构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列5+1）（-1）321的逆序数为,如排列21的逆序数4=1,排列321的逆序数=6.则/=一，%=，册的表达式为;【巩固练习】31、若数列EJ的前n项的和SH=Mq-3,那么这个数列的通项公式为（）A.an=23n,B.a11=32nC.an=3n+3D.an=23n2、在等比数列中，%=-2,则此数列前17项之积为（）A、216B、-2,6C、2,7D、-2173、已知等比数列“中各项为正，3=3,9=192,则该数列的通项公式为（）A、an=2,-iB、zj=32wC、zf=32m3D、t=32w24、已知4是等比数列，
7、且。0,44+2。3%+。4。6=25,那么%+6的值等于（）A.5B.10C.15.D.205、等差数列”中，%=q,aq=P（P,qwN,pq）,则Qkg=；6、数列“中，4=5,。向=。+3那么这个数列的通项公式是；I-/7、设z=（;-）5N+）,记S,=Z2-zJ+z3-Z2+.+Zm-Z,则SL.8、从盛满。升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精升.9、已知：在等比数列,中，Sn=ai+a2+.+anf若SH）=5,S20=15求S30的值.10、数列6中，前m项（m为奇数）的和为77,其中偶数项之和为33,且勺一4=18,求
8、这个数列的通项公式.11、设等差数列6的前n项和为S.,已知。3=12,S120,51306 6=%+Qg+%=4o+flll) O nd 2, +17 O,a1o+auOal,又公差小于零，数列匕“递减，所以aj的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。.n=10时，Sn最大。考点三：数列的通项4与前n项和SII之间的关系与应用例3.【思路点拨】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。【解析】因数列q,为等比，则勺=2,因数列4+l也是等比数列，则(见+1+=(4“+1)(4+2+I)nan+l2+2an+l=44+2+an+%+2=%+%+2=2%+=all(+q
9、2-2q)=Onq=I即4=2,所以S=2，故选择答案C.举一反三【变式1】【解析】(1)当=1吐l=S1=2;当2B寸,4=Sn-Sz=2/-2(-I)2=4/1-2,an的通项公式为an=4n-2,即勺是R=2,公差d=4的等差数列.设(bn)的公比为q,由(2-01)=得加d=.1q=41 O故a=M=2F=F2 2)Tc.=令=竺U=(2I)4Tb”2_4n,T11=ci+c2+-+cn=l+34l+542+-+(22-1)4mi47；=l4+342+543+(2j-3)411,+(2-1)4z,两式相减得37；,=-1-2(4,+4243+4)+(2n-l)4=(6n-5)457；=
10、#(6-5)4+5考点四：数列中与n有关的等式的理解与应用例4.证明：bj是等差数列；【思路点拨】本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。把递推关系式变形转化。【解析】(I)解：CaII+=2all+1，.*.an+1+l=2(an1)an+l是以a+1=2为首项，2为公比的等比数列。an+l=2ngJan=2n-lQneNn(2n 即 4(b| +b2+b3+-+bn)-rt _ 2nb(II)证法一：.4ET4b274bE,4b,=(an+l)bn,(bl-1Mbj-*Mb5-I.+(bn-1)_2(b1+b2+b3+.+bn)-2?=nbn2(b,+b2+b
11、3+.+bn+1)-2(+1)=(n+l)bn+1一，得2(+1-1)=(11+12用-皿，即(n-l)b11+-nbn+2=0nb11+2-(n+l)bn+2=()一，得nbn+2-2nbn+1nbn=0，即bn+2+bn=2bn+1故bj是等差数列.举一反三【变式1】【解析】=302.解得的 =2.(1)由已知得：!%+a2+a3=ly(4+3)+(a?+4)2设数列”的公比为q,由劣=2,可得4=一，a3=2q.q2又S3=7,可知一+2+24=7,q即2g2-5夕+2=0,解得夕=2或q=J由题意得g1,夕=2,，a=1.故数列qj的通项为%=2”，由于勿=Ina3+i,n 1,2,由
12、(1)得。3+i=23，,.勿=g23 =3Mn2又i-=312, bn是等差数列.: Tn=b+b? +_ n(bi +bll) _ n(31n23nln2) _ 3(nl) Ut. 111 Zf.222故 7； = 3(g+l)n2.考点五：等差、等比数列前n项和的理解与应用例5.【思路点拨】本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分 析问题能力和推理能力.【解析】（I）证：由如二夕，有冷!%=近I =b血an%+2=%5wN*)(Il)证： an an_2Q 2n- = a2n-3c = = dqna2n a2n-22 =生4 Cn = 2,1 +
13、 2a2n = O1 产 + 2a2q2n-2 = (4 + 2a2)q2n-2 = 5q2,-2g是首项为5,以42为公比的等比数列.1 1(III)由(II)得=qa2n- 4,2-211I1-+%a2 1-L.Ua1-+ + q q1+ q2n2,2n-2_3211 1 1 +T-+ q q2n-2当 q = l 时，+ + 4 a2)32-L=44。22Vq2Ct产21113zl111、3i-q-2n32n-l)4。2%2CTq4qln-22-q-22q2n2(q231%7=1,1112故+一+=an2n114生均2qT2产(，E举一反三【变式1】【答案】此数列为等差数列，/=S“-S
14、i=2-10,由52k-102+1,所以3+14+2举一反三【变式1】【解析】(I)由已知得4=；,2川=q+，3= -,a2-ax1311-1-142又bn=4+1-1，+l=勺+2一4+1-16,l+(/?+!)all+n，*_“一.蛆=4+2一4+1-1=22=2=1.bn向-4,Tan+i-alt-i231.勿是以-彳为首项，以5为公比的等比数列.71Q1Q1(II)由(I)知，b=(一)f,1=X,a,71=,4222+,2T131131131a2-al-l=-fa3-a2-=-,-1-1=-r311I将以上各式相加得：U-Clx(77-1)=(117)r2222一3Ta一击)131
15、3,alt=ai+n-j-=(n-)-(-)=-+n-2123C+n2(III)解法一：存在4=2,使数列葭四4是等差数列.S“=4+4+ % =+7)+(1+2+)-2CS0一F)(+1)Cozl1xn2-3n3n2-3n.=3+-2?=3(1)+=+3.1122w2222_2(_L)4”“317；=+=-=-(1)I2nI22，1233- + 7数列Sn.忆是等差数列的充要条件是+“.是等差数列.n考点七：数列综合应用与创新问题例7.【思路点拨】根据已知条件求出函数f（x）的关系式，求出a。的递推关系式然后可求解题中要求.【解析】(I)取X=1,/3+2)=；a21再取x=l+2,则/(。
16、+2)+-=a+2f(+2)12即/(一+-)=/(1),aa+2V/(x)是定义在(O,+8)上的单调函数12+=1解得=2,或。=1(舍去).aa+221(11)设/(x)=f,则/+)=-,Xt2221再令X=，+,则/+*)+3=-XXf+2%+2)XX即十:y)=r=(x)tt+-Xf(x)是定义在(0,+8)上的单调函数I277I/.-+-=,即二o,解得：，=一或r=，t+、ZXXXIHX21n又/(l)=a0,则/()=f=-,=-，Xf(n)2由。川一凡=3，*,所以q是等差数列299(3)由得/(x)=w,.八%)=一下，则幻=r(2)=-XXn所以Szi=-2(1+!+/
17、+-2:22211又当之2时，k=-=-2(),n4n2(n-1)2n-1n则-21+(l-+4-+(7-)=-21+(l-),2237?-1nn故-40知g0,因a2a4+2a3a5+aAah=25,所以%qaq,+2%q2aq4+a/3aqf=25即alq2(l+.力2=25,.alq2(+q2)=5得生+6=Qq?+/=4g2(+q2)=5故选择答案A.解法二：因%是等比数列，a2a4=a32,a4a6=原式可化为42+2%。$+%？=25,BP(a3+a5)2=25.因勺0,/+%=5,故选择答案A3.5、0；6、(1)5；8、解析：第一次容器中有纯酒精。6即。（1一2）升，ab。（1
18、，）b第二次有纯酒精。（1一上）即。（1一上）2升，aaa故第n次有纯酒精Q（I-）升.故填答案：一-）.aa9、解析：因为4为等比数列，所以So,S20-S10,S30-Szo是等比数列.即5,15-5,30-15是等比数列，得5（S3075）=100,%=35.10、解析：设等差数列/中，前m项的和为S,f,其中奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，由题意得S,77,S偶=33,S奇=Sm-S偶=44,令/w=21,则&=土解得=4,m=2n-l=7,S偶-134=S奇一S偶=11,即。1+3d=11又由一句=18即-6d=18,得d=-3,1=20,故通项公式为an=-3n+23.c3=a
19、+2d12,11、(1)解析：依题意有：0,d0.24解之得公差d的取值范围为一一d 0% + 伏- 2)d 0(2)解法一：由da2a3.a12a13,因此，在SS?、S2中&为最大值的条件为：40且4+v0,即,a3 =12, ； kd3d-2.jc.c12fc12d0,2Z3kd2d-l2dd24712V-d-3,.一匕4,得5.5女7.72d因为是正整数，所以2=6,即在SS2、S口中，S6最大.解法二:由d2/3，因此，在号、S2、S2中&为最大值的条件为：40且4+0由等差数列性质得，当m,t,p,qN+,且zn+=+q时，cn+an=ap+aq.2,.*2a1=6z+13=S13
20、0,a70 .d60tz7,故在S、S?、S2中，S6最大解法三：依题意得：Sn=nax+(n-)d=n(12-2J)+(2-n)dfIy24博dy24.22d8d1 24.t0,:.n一一(5一一)最小时，S”最大;2 d.24.二Iy24、13J-3,.6(5)1+c2+c3+.+ca=C(23-l)+d(23-l)+.+(23f*T-D2W(C3+G3?+禺3)-(C+G+.+禺)221=(1+3-1-(2h-1)=1-211+.13、解析：(1)4=生=；(2)略。122414、解析：设每年付款X元，个人需负担资金920002880014400=48800(元)分期付款从次年算起，连续
21、10年每年向银行还相同的贷款，到第10年还完，则第1年还款X元到第10年应为x(l+0.075)9阮)；第2年还款X万元到第10年应为Ml+OO75)8(元)；第3年还款X万元到第10年应为X(I+0.075)7(元)第9年还款X万元到第10年应为M1+OO75)(元)第10年还款X万元仅本金X(万元)另向银行贷款48800元从次年起10年后若一次还清应为488()0(1+0.()75)(元)于是得方程MI+0.075)9+Ml0.075)8+.+x(l0.075)+x=48800(1+O.O75)10所以XadD=488001.075,1.075-1得x7110(元).答：每年付款7110元。15、解析：(1)设项数为2n,公比为q,则奇数项之和为S奇=+13+Cl2ll-I偶数项之和为S偶=Cl2+CIa+Cl2li；S偶=qS奇,又所有项之和为偶数项之和的4倍，所以S偶+S奇=4S偶；1+g=4q,4=；由生。4=9(6+。4)，可得=9。3(1+夕)，.*.a3=12,an=12()rt3(2)设=lg%=lgl2x(g广3由Ig12X(一)-30W12(一)rt3=n3+生3 3Ig3数列4前5项大于0,从第6项起小于0数列lgq,的前5项的和最大。
