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1、课题隐函数所确定的函数的导数课时1课时(45min)教学目标知识技能目标：(1)掌握隐函数所确定的函数的求导法则(2)掌握先擞求导法及其计算素质目标：(1)培养学生的观察能力和灵活运用能力(2)在学习导数的计算过程中,培养学生的逻辑思维能力与计算能力教学重睚点教学重点：隐函数所确定的函数的求导法则，对数求导法教学难点：能利用隐函数的求导法则解决问题教学方法讲解费、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【
2、学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：什么是隐函数？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，介绍隐函数所确定的函数的导数一、隐函数及其求导法【教师】提出隐函数导数的定义两个变量y与X之间的函数关系可以用各种不同方式表达.前面我们遇到的函数，大多数是把因变量y直接表示成自变量X的明显表达式，即y=f(x)的形式，如y=sinX,y=InX+Jl-V等，这样的函数称为显函数.有些函数的表达方式却不是这样的，如方程.r+-l=O表示一个函数，因为当变量X在(-8,+OO)内取值时，变量y有确定的值和它对应.这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量X和y满
3、足一个方程F(ty)=O,在一定条件下，当X在某范围内任意取一确定值时，由F(x,y)=O总可以相应的确定变量y的值，那么由方程户(X,y)=O便确定了y是X的函数，这种函数称为隐函数.把f隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如，从X+V-1=O解出y=117,就把隐函数化成了显函数.隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的.但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种直接由方程/仄，y)=O求出导数位的方法.下面举例说明这种方法.dx【教师】通过例题，帮助学生掌握利用隐函数求导法解决实际问题的方法例1【圆的方程】求由单位圆的方程x2+y2=所确定的隐函数.v=y(x)
4、的导数y；.解方程两边同时对X求导，得U2)+(y2)=i;即2x+(y2)=0,所以2x+2yy：=O.解出(，得，X”=一y例2求下列方程所确定的隐函数的导数：(1)X3+3=30xy,求电；(2)y-CoS(Xy)=0,求y；.dr解(1)将方程两边同时对X求导，注意y是X的函数，旷是X的复合函数，按复合函数的求导法则，得：，+)户)=?(孙，)，OXCU即3f+3心=2ay+3ax-.dxdx解出更，得CUdy_ay-x2dxy1-ax(2)两边同时对X求导，得X-lcos(x+y)r=O,即y；+sin(x+j)0+Z)=0.解出w,得,sin(+y)l+sin(x+-y)例3【切线
5、方程问题】求曲线3y2=V(x+l)在点(2,2)处的切线方程.6y y, 3x2 + 2x ,3x2 + 2xy = T6y解方程两边同时对X求导，得解得于是点(2,2)处的切线斜率为因此，所求切线方程为即例4【容器内的注水问题】给一个上顶直径为8m,最大可容纳水深8m的正圆锥形容器中注水，注水的速率为4m5min,当水深为5m时，其表面上升的速率为多少？解设在时刻容器中的水深为h,水的容积为V,水面半径为心如图2-4所示.由于AOCcAQAB,所以一=上，因而r二上，从而V=一兀/力=.因此482312Vf-.3h2hl,-h2hl,.当=5m时，Vl,=4m3min,h=0.204(mm
6、in).25图2-4例5【水面波纹的扩散问题】落在平静水面上的石头，产生了同心波纹，若最夕1圈波半径的增大率总是6m/s,问在2s末扰动水面面积的增大率是多少?解设最外一圈波的半径为r,水面面积为5,时间为tl最外一圈波的半径，和水面面积S均是时间f的函数，由题意知=6m/s,所以drd5d(r2)Cdr1.z21=2r=12r(m7s).drdrdr当e=2时，此时半径r=26=12(m),因此，水面面积的增大率为=1212=144(m2s).5上2从以上例题可以看出来，求隐函数的导数时，总是将方程两边同时对自变量X求导，遇到y就看成X的函数，遇到y的函数就看成是X的复合函数，然后从求导数后
7、所得的关系式中解出X,即得到所求的隐函数的导数.二、对数求导法简介【教师】提出对数求导法的定义有时，给定的函数虽为显函数，但直接求其导数很困难或很复杂.对于这样的函数，可先对算式两边取对数,变成隐函数的形式,再利用隐函数求导法求出它的导数，这种求导的方法叫做对数求导法.【教师】通过例题，帮助学生掌握用对数求导法解决问题的方法例6求函数y=Jnx*0)的导数.解对等式两边取自然光擞，得Iny=SinXInx.两边同时对X求导，注意到y是X的函数，得1,11y=cos%InX+sinx,VX于是y=)cosxlnx+),即y=产(cosxlnx+).对数求导法一般适用于幕指函数或由复杂的积、商、幕组成的函数.【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】讲解复合函数求导法则【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题求由方程2-2冲+9=0所确定的隐函数的导数空.Ck【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点隐函数的求导法则对数求导法【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练2-3的习题【学生】完成课后任务教学反思
