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1、专题1.6含30度角的直角三角形五大题型【北师大版】考卷信息：本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！【题型1求长度】1. (2023春福建宁德九年级校考期中)如图，已知中，匕ACB=60。，BCABACi求证：ACDF是等边三角形；当AOEF是等腰三角形时，求AF的长度？4. （2023春陕西咸阳九年级咸阳彩虹学校校考期中）综合与实践问题情境：在数学课上，老师给出了如下情境：如图LZkABC是等边三角形，点尸是AC边的中点，点。在直线B尸上运动，连接AO,以AD为边向右侧作等边三角形AOE,连接CE,直线CE与直线Br交于
2、点M.试探究线段8。与CE的数量关系及48MC的大小.初步探究：如图1,当点O在线段BF上时，请直接写出：BD与CE的数量关系4BMC=_深入探究：如图2,当点O在线段BF的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立,请说明理由：（3）拓展延伸：如图3,当点。在线段FB的延长线上时，若FM=2,BD=求出EM的长度.5. （2023秋福建福州九年级统考期末）在等边三角形力BC中，点D、E分别在边BC、AC上，且8。=CE,连接40、BE交于点、F.（1）如图1,求证：AD=BEx（2）过点E作EG14。于点G.如图2,若BF=ILFG=6,求40的长度；如图3,连接B
3、G、CG,若BG=EG,求证：CGIAB.6. （2023春江西吉安九年级校联考期中）将一副三角板ABC和OEF如图（1）放置,其中乙4BC=EDF=90,乙4二30。，=45。，BC与。产共线，将OEF沿CB方向平移，当E尸经过AC的中点。时，直线E尸交4B于点G如图（2）,若BC=3,则此时线段OG的长度为.【题型2求最值】1. （2023秋福建龙岩九年级龙岩二中校考期中）如图，在AABC中，Z.ACB=90o,Z.ABC=30,将/!BC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为火0。V8V180。），得到AMNC,P,Q分别是AC、MN的中点，AC=2t,连接PQ,则旋转时PQ长度的最大值是（）MA
4、. 26tB. 23tC. 6tD. 3t2. （2023春江苏常州九年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同.应用：如图，点。是长方形ABC。的对角线Ae的中点，BC=3,以O为直角顶点的RtAOPQ的顶点P在边40上，Z.BAC=Q=60,当P在40上运动时，OQ的最大值为（）A.1B.3C.2D.233. （2023春陕西安康九年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E,尸分别在边48,4。上，折叠AfiT使得点A落在CO上，若乙48C=I20。，AD=43,48=8,贝帕E长度的最大值为.4
5、. （2023秋天津和平九年级校考期中）如图，在AABC中，AC=2+23,BAC=45,乙ICB=30。,将4BC绕点B按逆时针方向旋转，得到Ai8Gl,点E为线段48中点，点P是线段AC上的动点，将力BC绕点8按逆时针方向旋转的过程中，点尸的对应点是点P1.（1）如图，线段48 =（2）则线段EPI的最大值为,最小值为.5. （2023春江苏九年级统考期末）如图，在RtZXABC中，ACB=90o,ABC=30o,AC=2,点P是边AB上的一动点，将AABC绕点C按逆时针方向旋转一周得到49C,点E是边AC的中点，则在旋转过程中6. （2023春陕西西安九年级校考期中）如图，在RtAABC
6、中，ACB=90o,LB=30o,AC=4,D,E是48边上的两个动点，满足A。=BE,连接C。、CE,求CD+CE的最小值.1. （2023春湖南衡阳九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、A2、44在%轴上，B、B2、为%在直线y=六上，若Al（1,0）,且aA%424为公4即心+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为Si、S2、S3.Sn,则S2023可表示为.2. （2023春福建龙岩九年级校考期中）如图，在AABC中，ABC=60o,AB=6,BC=10,则ZkABC面积是;若以力C为边向外作等边ZkACD,连BD,则BO长为.3. (2023春陕西
7、西安九年级高新一中校考期末)如图，平行四边形ABC。中，乙8=60。，AB1AC,AB=3,对角线AC绕着对称中心。按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交4。、BC于点E、F,若BF=2CF,如图1,在等腰直角力BC中，AB=AC,BAC=90,则边BC与边48的数量关系为BC=48.(1)如图如在等腰4BC中，48=ACB4C=120。，作AOlBC于点。，则得到边BC与边AB的数量关系为【迁移应用】(2)如图3,ZkABC和力。E都是等腰三角形，BAC=DAE=120o,D、E、C三点共线，连接8D,求证：AAOBwaAEC;求40、BD、Co之间的数量关系；【拓展延伸】(3)如图4
8、,aA8C与ZMDE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90,连接B。并延长，交AC于点F,连接EF、CE.若BF=6,Z.CBF=15o,BAD=30,求AAE尸的面积.SlB图4【题型4含3。度角的直角三角形在坐标系中的运用】1. (2023春河北保定九年级校考期中)将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中Z0BA=90。，乙4=30。，顶点A的坐标为(b,3),将AOBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60。，则第2023次旋转结束时,点A对应点的坐标为()A.(-23,0)B.(23,)C.(-3,-3)D.(-3,3)2. (2023春四川成都九年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，O是坐
9、标原点，直线OP与X轴的夹角为30。，点当在X轴上，且。a=2,过点当作为AIIoP交OP于点以为当为边在为反右侧作等边三角形4BQ;过点CI作。P的垂线分别交X轴、OP干点&、A2f以A2B2为边在必治的右侧作等边三角形A2B2C2,过点C?作。P的垂线分别交汇轴、OP于点名、A3,以心，以为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3,按此规律进行下去，则点心的纵坐标为,点A2021的纵坐标为.3. (2023秋江苏镇江九年级校联考期末)如图，M,N分别为锐角乙4。8边OA,OB上的点，把乙408沿MN折叠，点O落在乙力。8所在平面内的点。处.0CBM A 图2(1)如图1,点C在乙408内
10、，若4CMA=20。，2CNB=50。，求ZAoB的度数;(2)如图2,若NAOB=45。，ON=VL折叠后点C在直线OC上方，CM与08交于点E,且MN=ME,求折痕MN的长.(3)如图3,若折叠后，直线MC_L08,垂足为点且。M=5,ME=3,求此时ON的长.4. (2023秋黑龙江哈尔滨九年级校考期中)如图，在平面直角坐标系中，A(-2,0),点8在X轴上，点C在y轴上，ACB=90o,ABC=30.(1)求点B的坐标；(2)点P从点B出发沿着线段BC以每秒2个单位长度运动，到C点停止运动，运动时间为秒，连接4P,LABP的面积为S,用含的式子表示S；(3)在(2)的条件下，当S=12
11、时，以BP为边作等边ABPD,求点。的纵坐标.(直接写出答案)5. (2023秋湖南长沙九年级校考期末)如图1,在平面直角坐标系中，点A(g,0)在X轴的负半轴，且满足听=0,点B在)，轴的正半轴，且乙480=30。.试解决下列问题：求点8的坐标；（2）若OMlA8,垂足为求线段OM的长度；（3）如图2,在AAOB中，分别以A8,OB为边，向外侧作正48。与正08C,连接C。，交AB于点、E,求线段OE与CE的数量关系，并说明理由.【题型5含30度角的直角三角形与分类讨论思想综合运用】1. （2023秋江苏泰州九年级校考期末）在RtZkABC中，ZC=90,有一个锐角为60。，48=6,若点P
12、在直线AB上（不与点A,8重合），且“C8=30。，则AP的长为.2. （2023秋黑龙江哈尔滨九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）如图，在四边形ABCD中，AC.BD为对角线，AB=AC,ADB=2DBC=60o,AD=6,BC=23,则线段BO的长为.3. （2023春辽宁丹东九年级统考期末）如图，在AABC中，ZC=90%B=30o,AC=4,点P为4B上一点，将线段PB绕点P顺时针旋转得线段PQ,点Q在射线BC上，当PQ的垂直平分线MN经过AABC一边中点时，PB的长为.4. （2023春.四川成都.九年级统考期末）如图，ABCCAB=60,AC+AB=2,AD平分心C4B交BC于点
13、。，当AABD为等腰三角形时，线段AD的值为.5. （2023春辽宁沈阳九年级统考期末）如图，在AABC中，乙4=90。，ZC=30o,AB=3,点。为AC的中点，点E是BC边上一个动点，将ACDE沿着DE翻折，使得点C落在点尸处，当FE1AC时，EF的长为.6. （2023春福建三明九年级统考期中）如图，己知Rt4BC中，B=90。，A=60,4C=I2,点M、N分别在线段AC、AB上，将AANM沿直线MN折叠，使点A的对应点。恰好落在线段BC上，当ADCM为直角三角形时，线段AN的长为.7. （2023秋江西宜春九年级统考期末）如图所示，在等边/BC中，AB=8cm,点P与点Q分别从点8,。同时出发，沿三角形的边运动，己知点P的速度为2cms,点。的速度为ICms,设点P与点。运动的时间为ts.当OVV12时，点P与点。运动S后，可得到RtACPQ.
