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1、专题1.4线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】【北师大版】【题型1利用线段垂直平分线的性质求长度】1【题型2利用线段垂直平分线的性质求最值】2【题型3利用线段垂直平分线的性质求角度】3【题型4利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】4【题型5利用线段垂直平分线的性质证明】5【题型6线段垂直平分线的判定】7【题型7尺规作线段垂直平分线】8【题型8线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】9【题型9线段垂直平分线的实际应用】10举一反三【知识点1线段垂直平分线的性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【题型1利用
2、线段垂直平分线的性质求长度】例1（2023春辽宁阜新八年级统考期末）如图，在aABC中，AB.AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若AABC的周长是20,AB=4,AC=7,则ZkAEF的周长为（）BE/FCA.4B.7C.9D.11【变式1-1（2023春四川成都八年级校考期中）如图，ZkABC中，乙4BC的角平分线BO和47边的中垂线DE交于点O,OMJ.84的延长线于点M,DNLBC于点、N.若AB=3,BC=7,贝4M的长为Af变式1-2（2023春福建福州八年级校考期中）如图，A48C中，4。平分乙区4。，DG1BC且平分BC,OE_L4B于E,IAC于F.如果AB=5,AC=3,
3、则AE=.【变式1-3（2023春辽宁丹东八年级校考期中）如图，在AABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分别交BC于点0、E.已知4。E的周长为IlCm,分别连接0A.OB.0C,若AOBC的周长为23cm,则。4的长为.【题型2利用线段垂直平分线的性质求最值】【例2】（2023春甘肃陇南八年级统考期末）如图，在AABC中，AB=5,AC=7,BC=10,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的任一点，则AABP周长的最小值是.【变式2-1（2023春江西九江八年级统考开学考试）如图，在中，AC4,BC边上的垂直平分线分别交BC、43于点E,若?!EC
4、的周长是IL则直线。E上任意一点到A、C距离和最小为（）A. 28B. 18C. 10D. 7【变式2-2（2023春山东济南八年级统考期中）如图，在Be中，AB=AC,分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E,尸,作直线EF,O为BC的中点,M为直线EF上任意一点.若BC=2,48C面积为3,则+MO长度的最小值等于.【变式2-3（2023春山东青岛八年级校考期末）如图，在AABC中，NA=54。，ZC=76,。为AB中点,点尸在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从8向C运动，当NPoQ=时，4PDQ的周长最小.【题型3利用线段垂直平分线的性质求角度】【例3】（2023
5、春福建宁德八年级统考期中）如图，在AABC中，点M,N为AC边上的两点，AM=NM,BMIAC,ND工BC于点、D,且NM=ND,若=,MzC=（）21A.-aB.90o-aC.120o-aD.2a-90o22【变式31】（2023春安徽池州八年级统考开学考试）如图，ZMBC中，8。平分乙4BC,BC的中垂线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若乙4=60。，ACF=48,则乙ABC的度数为A【变式3-2（2023春四川甘孜八年级统考期末）如图,在AABC中,KB=32。,KBAC的平分线AD交BC于点0,若DE垂直平分48,求乙C的度数.【变式3-3（2023春河北保定八年级统考期中）如图
6、，在AABC中，A/平分乙BAC,8/平分乙4BC,点。是AC.BC的垂直平分线的交点，连接AO、B0,若UOB=a,则乙4/8的大小为（）【题型4利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】【例4】（2023春福建三明八年级统考期末）如图，四边形ABCO是长方形，E是边Co的中点，连接AE并延长交边8C的延长线于凡过点上作AF的垂线交边8。于M,连接AM.（1）请说明ADEAFCE;（2）试说明AM=8C+MG（3）设SAAEM=S/,SAECM=S2,Si.ABM=S3,试探究S/,S2,S3三者之间的等量关系，并说明理由.【变式4-1（2023春陕西西安八年级西安市铁一中学校考期末
7、）AAAC的两边A8、AC的中垂线交于边8C上的。点，则线段布和8C的关系正确的是（）A.PA-BCD.PA-BC2222【变式4-2（2023春河南平顶山八年级统考期末）如图，O尸是NMoN的平分线，点A在射线OM上，P,Q是直线ON上的两动点，点。在点尸的右侧，且PQ=ON于点6,点C,连接AB,PB.V0PCQN图1（1）如图1,请指出AB与PB的数量关系，并说明理由.（2）如图2,当P,0两点都在射线ON的反向延长线上时存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由.【变式4-3（2023春山东日照八年级统考期末）如图1分线AP和AB的垂直平分线OP,交点为P.MUCBCPbC图1图2（1
8、）如图2,若点P正好落在BC边上.求NB的度数；求证：BC=3PC.（2）如图3,若点C、P、。恰好在一条直线上，线段AOOA,作线段。的垂直平分线，分别交直线OEMY/B图2线段AB,P8是否还存在（1）中的数量关系？若,在直角AABC中，Ne=90。，分别作NCA3的平S3PD、8C之间的数量关系是否满足AD+Po=8C?若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由.【题型5利用线段垂直平分线的性质证明】【例5】（2023春陕西榆林八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AO所在直线垂直平分线段BC过点C作CFllB。交48于点凡延长A8,CO交于点求证:（I）CB平分。尸；(2)ACF=E
9、.【变式5-1（2023春重庆黎江八年级校联考期中）已知在AABC中，NCAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM1.AB与M,DN1.AC交AC的延长线于N,你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现.【变式5-2（2023春陕西咸阳八年级统考期末）如图，在RtC中，ACB=90,点E、I在4B上,连接CE,CF,且CF=BF.己知乙4=50,ACE=30,试证明4CFE=4CE凡【变式5-3（2023春福建龙岩八年级校考开学考试）已知（如图），在AABC中，。是BC的中点，过点。的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE1GF,交AB于点E,连结EF.G求证:B
10、G=CF.（2）试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.【知识点2线段垂直平分线的判定】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）【题型6线段垂直平分线的判定】【例6】（2023春吉林长春八年级长春外国语学校校考期中）如图，/W是AABC的角平分线，DE,OF分别是AABO和ZiACD的高.（1）求证：力。垂直平分EF；（2）若AB=3,AC=2,UBC的面积是4,则DE=_.【变式6-11（2023春陕西宝鸡八年级统考期中）如图所示，已知401BC于点D,BD=DC,AB+BD=DE1求证：点C在4E的垂直平分线上.【变式6-2（2023春四川成都
11、八年级统考期末）如图，在BC中，ACB=90o,CD工AB于息D,BE平分乙4BC交AC于点E,交Co于点凡过点E作EGIlC0,交AB于点、G,连接CG.C(D求证:A+AEG=90；(2)求证：EC=EG;(3)若CG=4,BE=5,求四边形BCEG的面积.【变式6-3（2023春陕西汉中八年级统考期末）如图，4。与BC相交于点O,AB=CD,ABC=CDA,EB=ED,连接0E,BD,求证；OE垂直平分80.E【题型7尺规作线段垂直平分线】【例7】（2023春山东威海八年级统考期末）如图，在AABC中，AB=AC,请用尺规作图法在AC上求作一点M,使MC+MB=AC,并连接MB.（保留作
12、图痕迹，不写作法）【变式7-1（2023春湖南郴州八年级统考期末）如图,在4BC中，AB=AC=StBC=8.（1）尺规作图：作边AC的垂直平分线交8C于点。，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；（2）在（1）作出的图形中，求的周长.【变式7-2（2023春广东深圳八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，己知UBC,ABvBC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得P4+P8=8C,则下列选项正确的（）【变式7-3（2023春上海闵行八年级校考期中）如图，点P在NAoB外，点Q在边04上，按要求画图,写出作图结论，并填空.（1）过点P分别画PEIO4PFlOB,垂足分别是AF.
13、（2）连接PQ,用尺规作线段PQ的垂直平分线MN.（3）过P、。两点分别作。4、OB的平行线交于点G；若乙408=120。，贝叱G=.【题型8线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】【例8】（2023春广东河源八年级校考期中）如图：在?!BC中，点。是8。的中点，点E,尸分别在A8,AC边上，口。EIOF.猜想:EF_BE+CF（填上“V、=”或“”）；证明你的猜想.【变式8-1（2023春福建福州八年级统考期末）如图，已知NABC=NAOC=90。，BC=CD,CA=CE.CBB备用图（1）求证：ZACb=ZACD;（2）过点E作M石A8,交AC的延长线于点M,过点M作Mpj_OC,交OC的延
14、长线于点P.连接PE,交AM于点、N,证明AM垂直平分PE；点。是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点。与点E重合.【变式8-2（2023春河北唐山八年级统考期中）如图，在中，ABC=45o,AD,BE分别为8C、AC边上的高，AD.BE相交于点F.下列结论：（SFCD=45；AE=EC；Sa尸:S“fc=斗。：尸。；若BF=2EC,则BC=48.正确的结论序号是（）ASlA.B.C.D.【题型9线段垂直平分线的实际应用】【例9】（2023春河南平顶山八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：图形的面积为7；
15、图形是轴对称图形.BA-MN图2（2）如图2,一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄4和出现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P,使站点P到两个村庄A和B的距离相等.请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹.【变式9-1（2023春河北秦皇岛八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在AABC三个顶点的位置上.游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在ABC的（）A.三边垂直平分线的交点B.三条角平分线的交点C.三边中线的交点D.三边上高的交点【变式9-2（2023春广西北海八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P,分别向4、8两个开发区运货.若要求货站到4、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹.ABMN【变式9-3（2023春贵州毕节八年级统考期末）作图题：金沙县新城区黄河大道/的一侧有A、8两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道/上修建一个公交车站.请问公交车站P建在什么位置从商住小区4乘坐公交车到小区8的路程最近，请在图中做出点P的位置.
