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1、专题L8等腰三角形中的分类讨论思想七大考点【北师大版】【题型1与边分类讨论】1【题型2与角分类讨论】3【题型3与高分类讨论】7【题型4与垂直平分线分类讨论】11【题型5与中线分类讨论】16【题型6与动点、动线段需分类讨论】19【题型7构造等腰三角形需分类讨论】23【题型1与边分类讨论】【例1】（2023春重庆渝中八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知等腰三角形的两边长分别为b,且b满足（-2）2+g-3=0,则此等腰三角形的周长为（）A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10【答案】A【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于。的方程组，接下来解方程组即可求出。、方的值，再分类讨论，可得结论.【
2、详解】解：根据题意得，-2=0,6-3=0,；Q=2,力=3,当Q=2是腰时，三边分别为2、2、3,能组成三角形，周长为：2+2+3=7.当b=3是腰时，三边分别为3、3、2,能组成三角形，周长为：3+3+2=8.所以等腰三角形的周长7或8.故选：A.【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题.【变式1-1（2023春山东威海八年级统考期末）用一条长20Cm的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是另一边长的2倍，则底边的长为.【答案】4cm【分析】设较短的边长为犹m,则较长的边为2%cm,分两种情况：当较短的边为底边，较长的边为腰时；当较长的边为底
3、边，较短的边为腰时，分别进行求解即可得到答案.【详解】解：设较短的边长为%cm,则较长的边为2xcm,当较短的边为底边，较长的边为腰时，则%+2%+2%=20,解得：X=4,此时三角形三边长分别为4cm,8cm,8cm,能组成三角形；当较长的边为底边，较短的边为腰时，贝j2x+x+x=20,解得：x=5,此时三角形三边长分别为5cm,5cm,10cm,5+5=10,.不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能组成三角形；综上所述，三角形底边的长为4cm,故答案为：4cm.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形任意两边之和大于第三边，采用分类
4、讨论的思想解题，是解此题的关键.【变式1-2（2023春安徽六安八年级校考期中）己知等腰448C的周长为18,BC=8,若AABC三ADEF,则ADEF中一定有一条边等于（）A.7B.2或7C.5D.2或5【答案】D【分析】分8C为腰、BC为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答.【详解】解：当BC=8为腰时，等腰448C的周长为18,，另两边为8或2,当BC=8为底时，另两边为5或5,：bABCDEF,DEF中有一条边等于2或5,故选：D.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键.【变式1-3（2023春陕西西安八年
5、级西安市第八十三中学校考阶段练习）定义；等腰三角形的底边长与其腰长的比值攵称为这个等腰三角形的“优美比若等腰三角形的周长为13cm,AB=5cm,则它的“优美比”为（）a-!BYC.遇D.期【答案】C【分析】分两种情况：48为腰或AB为底边，再根据三角形周长可求得底边或腰的长度，即可得到它的优美比k.【详解】解：当4B腰时，则底边=3cm；此时，优美比A=/当48为底边时，则腰为4cm；此时,优美比k=：；4故选：C.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.【题型2与角分类讨论】【例2】（2023春八年级课时练习）过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角
6、形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为.【答案】36。或售）。【分析】分两种情况画出图形，当BC=BD=AD,AB=AC时，设乙A=%得乙C=乙CDB=2a.ABCC=2a.由zL4+ABC+/C=180,则+2a+2a180%即可得到=36；当4D=BD,BC=DC,AB=AC时，设44=a.得448C=KC=3.则+ABC+ZC=180,则+3+3a=180,得=卅【详解】解：分两种情况讨论：如图（1）,(1)C当BC=BO=AO,4B=力C时，Sz4=a.9：BD=AD,ABD=ZJI=,Z.CDB=ABD+zl=2.：BC=BD,L.C乙CDB=2a.VAB=AC,WBC=ZC=
7、2a.VZi4+z4C+zC=180o,.a+2cr+2a=180o,解得a=36o.如图，AAB(2)CAC时，设乙4 = a.当AO=BD,BC=DCtAB=,ADBD,.*.A=ABD=a.BDC=A+乙ABD=2a. ；BC=DC,；乙CBD=BDC=2a,ABC=乙ABD+乙CBD= ：AB=AC, ABC=L,C=3a.,A+ABC+C=180o,a+3+3=180,解得=（崂。.综上，原等腰三角形顶角的度数为36。或（一）。.故答案为：36。或（一）。【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键.【变式2-1（2023春
8、安徽亳州八年级统考期末）一个等腰三角形，其中两个内角的度数的比是2:5,它的三个内角可能是（）A.30o,30o,120oB.50,50,80C.75o,75o,30oD.80,80,20【答案】C【分析】分两种情况，然后根据三角形的内角和列方程，即可得到结论.【详解】解：.两个内角的度数的比是2:5, 设一个内角等于2%,另一个内角等于5%, 三角形是等腰三角形，.*.2x+2x+5x=180oWc5x+5x+2x=180,解得：=20。或无=15, 三个内角是40。,40o,100。或75。，75,30,故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质
9、是解题的关键.【变式2-2（2023春八年级课时练习）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值若等腰AABC中，乙4=80,则它的特征值A为（）A.9或B.3或：C.3或4D.9或4【答案】A【分析】分NA为顶角和底角两种情况,利用等腰三角形的两底角相等求出底角或顶角，然后根据k的定义求解即可.【详解】解：当NA为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：i（180o-80o）=50 I8008k=-=-当NA为底角时，顶角的度数为：180-80-80。=20。.特征值k嗡W综上所述，k为g或右故答案为A.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，NA是顶角还是底角的分
10、类讨论是正确解答本题的关键.【变式2-3（2023春山东枣庄八年级统考期中）如图，在A48C中,IABC=40。,BAC=80,以点式为圆心，4C长为半径作弧，交射线84于点D,连接CD,贝叱BCO的度数是.【答案】10。或100。【分析】分两种情况：当点。在BA上时，当点）在BA的延长线上时，由等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质进行计算即可得到答案.【详解】解：如图，当点。在BA上时，由作图可得：AD =ACf.Z.ADC=Z-ACDtADC+ACD+乙BAC=180o,BAC=80,ccACC1800-ZR4C180o-80o-o.ADC=ACD=50,22 在AABC
11、中，ABC=40o,Z.BAC=80, 乙ACB=180-乙ABC-4BAC=18040-80=60, .乙BCD=Z-ACB-ACD=60-50=10,当点Zr在BA的延长线上时，由作图可得：AD,=AC,AD,C=ACD,fD,AC=ABCACB=40o+60o=1OO,AD,C+ACD,+D,AC=180o,.AD,C=ACD,=40o,BCD,=ACB+ACD,=60o+40o=100o综上所述：4BCO的度数是：10。或100。，故答案为：10。或100。.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是
12、解此题的关键.【题型3与高分类讨论】【例3】（2023春广东深圳八年级校考期中）若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（）A.15。B.75oC.15。或75。D.无法确定【答案】C【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数.【详解】解：当A48C为锐角三角形时，作CDIAB于点。，取Ae的中点E,连接。E,如图：.E为AC的中点，：.DE=CE=AC,9CD=-ACt2：.CD=CE=DE,ACDE为等边三角形,.DCE=60o,z=90o-60=30o,:AB=A
13、C,B=乙ACB=75；当4BC为钝角三角形时，作BDlCA,交C4的延长线于点D,取48的中点E,连接DE,如图:则UDB=90。，TE为AB的中点，：.BE=DE=-AB,2,:BD=-AB,2ABOE为等边三角形，.*.ABD=60,zDi4=90o-60=30,.LBAC=150,*：AB=AC,1.ABC=ZC=15；综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是15。或75。，故C正确.故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答.【变式31】（2023
14、春河南南阳八年级统考期末）在等腰三角形中有一个角为40。，则腰上的高与底边的夹角为.【答案】20。或50。【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算.【详解】当40。角为底角时，如图，VCA=CB,J.CAB=乙B=40o,过点A作AO1CB,交BC的延长线于点Df.*.ADC=90,.DAB=90-B=50；当40。角为顶角时，如图,：CA=CB, Z.CAB =乙 B =180o-40o=70,过点A作AGlCB,交BC于点G,，乙4G8=90。,zGi4F=90o-zF=20o;故答案为20。或50。.【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键.【变
15、式32】（2023春全国八年级课堂例题）已知的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,则【答案】图见解析，45。或135。【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案.【详解】解：作图区当乙4BC为锐角时，如图.当乙4BC为钝角时，如图.I解答区】若AABC为锐角三角形时，乙4BC为锐角，如图，：AD1BCfBELACf，乙BDF=UDC=乙BEC=90,：,ZC乙CBE=90o,ZC+乙CAD=90,；.乙CBF=CAD1FDF三DC(AAS),：.BD=AD,.,.ABD=45,即乙4BC=45；若48C为钝角三角形时，/ABC为钝角，如图，同理可
16、证4BDFAOC(AAS),：.BD=AD,.ABD=45。,乙4BC=135。，综上所述，乙4BC的度数为45。或135。.故答案为：45。或135。.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.【变式33】(2023山东泰安统考二模)在平行四边形ABC。中，AD=BD,BE是AQ边上的高，乙EBD=30,则乙4的度数为.【答案】60。或30。【分析】首先求出乙4DB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出入4的度数.【详解】解：情形一：当E点在线段4。上时，如图所示,8E是A。边上的高，乙EBD=30。，.Zi
17、4D=90o-30o=60o,VAD=BD,A=ABD=(180o-60o)2=60；情形二：当E点在4。的延长线上时，如图所示,BE是AD边上的高，EBD=30,BDE=60,VAD=BD,.Z=4谢=2DE=3。.故答案为：60。或30。.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，三角形的高等知识，得出乙的度数是解题关键.【题型4与垂直平分线分类讨论】例4(2023春山东泰安八年级统考期末)已知线段AB垂直平分线上有两点C、。，若乙4DB=80。，4CAD=10,则乙4CB=()A.80B.90C.60或Io(TD.40或90【答案】C【分析】如图，。
18、石垂直平分A七垂足为E根据线段垂直平分线的性质得到。A=O七则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出NDAB=NO84=50。，当C点在线段。E上，NCAO=Io。时，则Ne48=40。，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算NACS=IO0。；当C点在ED的延长线上,NCNO=IO。时，则“AB=60。，根据等边三角形的性质易得乙4CB=60。.【详解】解：如图，OE垂直平分A8,垂足为：.DA=DB,11；NDAB=NDBA=L(180o-ZDB)=x(180-80)=50,22当C点在线段OE上，NCAO=Io。时，贝IlNcAB=50。-10。=40。，：CA=CB,N
19、CAB=/。84=40。，：ZACB=180-40-40=100；当C点在Eo的延长线上，4CzD=IO。时，则“勿8=50。+10。=60。,VCA=CB,r4C/F=60o,综上所述，ZACB的度数为60。或100.故选：C.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等.也考查了等腰三角形的性质.【变式4-1（2023春湖北武汉八年级统考期末）已知，在AOPQ中，OP=OQ,OP的垂直平分线交OP于点D,交直线OQ于点E,Z.OEP=50,则乙PoQ=.【答案】65。或115。【分析】AOPQ为锐角三角形时，根据线段垂
20、直平分线的定义得到NooE=NPz）E=90。，从而求得NoEO=乙PED=江OEP,继而可得OO=90-25=65。，问题得解；OPQ为钝角三角形时，同理可得0。=90。-25。=65。，即乙PoQ=I80。-NEOD,问题得解.【详解】解：如图1,AOPQ为锐角三角形时，OE垂直且平分OP,.ODE=/.PDE=90o,OE=PE,.9.0ED=乙PED=-OEP,2又乙OEP=50,OED=乙PED=25。，zFOD=90-25=65；如图2,ZkOPQ为钝角三角形时，OE垂直且平分OP,zODE=ZPDE=90o,OE=PE,.*.OED=乙PED=-OEP,2XVzOEP=50,：乙
21、0ED=乙PED=25,AzEOD=90-25=65, POQ=180-65=115；故答案为：65。或115。.【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义以及等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，掌握这些性质及定理，准确作出图形是解题的关键.【变式4-2（2023春上海八年级专题练习）在AABC中，LBAC=a,边AB的垂直平分线交BC于点O,边4c的垂直平分线交BC于点E,连接4D,AE,则4ME的度数为.（用含。的代数式表示）【答案】2a-180ogl80o-2a【分析】先根据线段垂直平分线的性质，得到8=i84D,C=CAE,进而得到28+乙C=Z840+4SE=I80。一%再分两种情况
22、：，BAC为钝角；M4C为锐角进行讨论，利用角的和差关系进行计算即可得出答案.【详解】解：分两种情况：如图所示，当NBAC为钝角时，：.BD=AD,AE=CE.*.B=BAD,Z.C=CCAE.*.Z-B+C=BAD+Z.CAE,又V乙B+KC+4BAC=I80,/.BAC=a乙B+乙C=BAD+乙CAE=180-a :乙BAC=乙BAD+CAE+DAE：.LDAE=LBAC-(BAD乙CAE)=2a-180如图所示，当乙BAC为锐角时，TDM垂直平分AB,EN垂直平分AC：.BD=AD,AE=CE：.乙B=BADfLC=乙CAE:,乙B+C=BAD+Z.CAE,又;乙8+ZC+乙84C=I8
23、0,BAC=a/.B+C=4BAD+乙CAE=180o-a：L.BAC=(BADCAE)-乙DAE：.Z.DAE=(BAD2CAE)-乙BAC=180-2a故答案为：2。-180。或180。一2口.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键.【变式4-3(2023春黑龙江哈尔滨八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习)中，AB的垂直平分线与乙4CB的外角平分线交于点。，OE垂直直线BC于E,若AC=7,CE=2,则Be的长是.【答案】11或3【分析】分点E在BC上或点石在BC的延长线上两种情形,分别利用HL证明RtZkAOr三RtBDE,得BE=
24、”,同理可得CE=CG从而解决问题.【详解】解：如图，当点E在BC上时.过点。作DFIAC,交AC的延长线于F,连接AO=BD, AB的垂直平分线与乙4CB的外角平分线交于点D,；.AD=BD,DE=DF,在RtUOE和RtABOE中，(AD=BDIDF=DE：.RtADFWRtBOE(HL),：.BE=AF,同理可得CE=CF,：.AF=7+2=9,BC=BE+CE=92=11,当点E在BC的延长线上时，如图,同理可得4F=BE=AC-CF=7-2=5,AfiC=FF-CE=5-2=3,综上：BC=Il或3,故答案为：11或3.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等
25、三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键.【题型5与中线分类讨论】【例5】（2023春湖北恩施八年级校考阶段练习）若等腰三角形一腰上的中线分周长为9和12两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长【答案】这个等腰三角形的底为9或5,这个等腰三角形的腰为6或8【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可.【详解】解：如图，当AD+4C=9时，CD是48边的中线，AD=-AC,2.-AC=9,AC=6,2.BC=9；当AD+AC=12时，贝IBAC=I2,.AC=8：:BC=5,答：这个等腰三
26、角形的底为9或5,这个等腰三角形的腰为6或8.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；解题时主要利用了分情况讨论的思想及列二元一次方程组求解，也是正确解答本题的关键.【变式5-1（2023春重庆九龙坡八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）在周长为10的AABC中，AB=ACf4。为AABC的中线，且8。将AABC的周长分为两部分，两部分的差值为2,则底边长为【答案】2或T【分析】等腰三角形腰上的中线将它的周长分为两部分，但已知没有明确是哪两部分，因此有两种情况,需要分类讨论.【详解】解：在AABC中，AB=AC,80为AlBC的中线,设48=AC=%则A。=CD=同时设BC=
27、y当C480CABCD=2时，./(X+80)-(3+y+BD)=2X+x+y=10,解得,X=4y=2；BC=2;当QiBCDCAABD=2时，%+y+BD)-(%I%+BD)=22xy=10解得,综上，ABC的底边BC的长为2或T【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算.在解题时要注意找出等量关系是解题的关键.【变式5-2（2023春江苏八年级专题练习）在AABC中，AB=AC,AC边上的中线6。把ABC的周长分为24cm和30cm的两部分，则BC的长为（）cmA.14B.16或22C.22D.14或22【答案】D【分析】根据点。为AC中点，WAD=DC=ACf根据AB=AC,得出B=2
28、ADf分两种情况当ABMD=24Cm时，2AD+AD=24cm,可求C=30cm-CD=30cm-8cm=22cm,当A8+AD=30cm时，2AO+AD=30cm,可求BC=24cm-CD=24cm-1Ocm=14cm即可.【详解】解：V点。为AC中点，：.AD=DC=AC,2：AB=AC.：,AB=IAD1分两种情况，当A6+AO=24Cm时，2AD+4f)=24cm解得AD=8cm,VC+CD=30cm,：.C=30cm-Cf=30cm-8cm=22cm,当Afi+D=30cm时，2AD+AD=3Qcm,解得AD=IOCm,VC+CD=24cm,.*.C=24cm-CD=24cm-1Oc
29、m=14cm,BC的长为14Cm或22cm.故选D.【点睛】本题考查等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用，掌握等腰三角形性质，中线性质，一元一次方程，线段和差，分类思想的应用是解题关键.【变式5-3（2023春辽宁沈阳八年级沈阳市第一二六中学校考期末）已知一个等腰三角形的周长为45cm,一腰上的中线将这个三角形的周长分为3:2的两部分，则这个等腰三角形的底长为.【答案】9cm或21cm【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长.注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是
30、否满足三角形的三边关系.【详解】解：设该三角形的腰长是XCm,底边长是ycm.%+=18 x + y = 27根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27Cm和18Cm两部分,J%+扛=27%+y=18解得笃或经检验，都符合三角形的三边关系.因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm.故答案为：9cm或21cm.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边,所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要,也是解题的关键.【题型6与动点、动线段需分类讨论】【例6】（2023江苏八年级假期作业）
31、如图，直线,b交于点。Na=40。，点A是直线。上的一个定点，点B在直线b上运动，且始终位于直线”的上方，若以点。，A,8为顶点的三角形是等腰三角形，则ZOAB=(【答案】40或70或100【分析】根据AOA8为等腰三角形，分三种情况讨论：当OB=A8时，当OA=AB时，当OA=OB时,分别求得符合的点以即可得解.【详解】解：要使AOAB为等腰三角形分三种情况讨论：Bl不 %/当08=AB时，ZO=Z=40o;当OA=AB2时，ZOAB=180o-240=100；当OA=O83时，ZOAB=ZOBA=(180o-40o)=70；故答案为：40或70或100.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和
32、性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.【变式6-1(2023春浙江杭州八年级开学考试)如图，在44BC中，AB=AC,BAC=40,边绕点4逆时针旋转m(0m360)得到线段AD,连接8D,DC.若48DC为等腰三角形，则m所有可能的取值是.【答案】20,80,200,320.【分析】以点4为圆心，以AB长为半径作圆A,分别以B,C为圆心，以BC长为半径作圆8和圆C,BC的中垂线交圆4于01，外两点，圆B与圆4交于点外，圆C与圆4交于点Dp。1，。2,。3,M四点即为所求.【详解】如图，以点4为圆心，以AB长为半径作圆4分别以B,C为圆心，以BC长为半径作圆B和圆C,BC的中垂线交圆
33、A于。1，2两点，圆8与圆4交于点名，圆C与圆A交于点/，。1，。2,D3,以四点即为所求，根据等腰三角形性质，/.BAD2=20o,LBAD4=80o,BAD1=200o,LBAD3=320.故答案为20,80,200,320.【点睛】考核知识点：等腰三角形性质，圆周角定理.【变式6-2(2023全国八年级专题练习)如图，点。是等边A43C内一点.将B。C绕点C顺时针方向旋转60得ADC,使得BOC三ADC,连接00.已知NAoB=110,设乙BOC=a.(1)发现问题：发现乙。4。的大小不变为.(2)分析问题：当=150。时，分析判断4OD的形状是三角形.(3)解决问题：请直接写出当。为_
34、度时，4力。是等腰三角形.【答案】50(2)直角(3)125或IlOo或140。【分析】(1)先根据三角形内角和定理得到乙。BA+ZOAB=70。，再由等边三角形的性质推出NOBC+Z-OAC=50,由旋转的性质可得NOAC=NOBC,KJzO4D=OAC+DAC=0AC+Z-OBC=50；(2)由旋转的性质可得CO=CD,乙OCD=60。,则AOCD是等边三角形,得到4C。=60。，由此求出乙400=乙AoC-NCoO=40,则ZTlDO=180。一404。一乙AOD=90。，即可得到AOO是直角三角形；(3)分OA=O4,OA=OD,AO=O。三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出
35、乙40。的度数，进而求出乙40C的度数，即可利用周角的定义求出答案.【详解】(1)解：；乙4。B=Il0。，0BA+LOAB=180-4AoB=70, 48C是等边三角形，.Z.BAC=Z-ABC=60,：.BAC+Z.ABC=120,即NoBA+/.OBCOAB+OAC=120, NOBC+H4C=50。，;将A8。C绕点C顺时针方向旋转60。得乙ADC,.,.DAC=乙OBC,.,.0AD=OAC+乙DAC=OAC+M)BC=50,故答案为：50(2)解：将4Boe绕点C顺时针方向旋转60。得ADC,：.C0=CD,0CD=60o, AOCD是等边三角形，：.COD=60,*AOC=360
36、-乙AOB一乙BoC=100%.AOD=乙AoC-COD=40,.,.ADO=180-乙OAD-CAOD=90, AAOD是直角三角形，故答案为：直角；(3)解：当。4=OA时，则N40。=N4D0=M=65。,.,.AOC=乙AoD+COD=125,：.a=360一乙AoB-乙AoC=125：当OA=OD时，1OAD=ODA=50,.AOD=180o-OAD-乙ODA=80,.AOC=AOD+COD=140,：.a=360o-LAOB-AOC=110；当Ao=OD时，iDAO=DOA=50,.,.AOC=AOD+COD=110,=360o-UOB-乙AoC=140；综上所述，的度数为125。
37、或IlO。或140。时，400是等腰三角形.【点晴】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键.【变式63】(2023春广东茂名八年级校考期中)如图，在ZkABC中，ZACB=90o,ZBAC=30o,在直线BC或AC上取一点P,使得APAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有一个.【分析】根据等腰三角形的判定，”在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等边对等角）“分三种情况解答即可.AB的垂直平分线交AC一点Pl（PA=PB）,交直线BC于点P2;以A为圆心，AB为半径画圆，交
38、AC有二点P3,P4,交BC有一点P2，（此时AB=AP）；以B为圆心，BA为半径画圆，交BC有二点P5,P2,交AC有一点P6（此时BP=BA）.故符合条件的点有6个.故答案为：6.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；构造等腰三角形时本着截取相同的线段就能作出等腰三角形来，思考要全面，做到不重不漏.【题型7构造等腰三角形需分类讨论】【例7】（2023春江西上饶八年级校考阶段练习）有一三角形纸片ABGNA=70。，点。是AC边上一点，沿BQ方向剪开三角形纸片后，发现所得两个纸片均为等腰三角形，则NC的度数可以是.【答案】20。或35。或27.5。【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种
39、情况根据等腰三角形的性质求出/ADB,再求出NBDC,然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解.【详解】由题意知AABD与ADBC均为等腰三角形，对于ABD可能有AB=BD,此时NADB=NA=70。，ZBDC=180o-ZADB=180-70=110,ZC=-(180o-110)=35。，2AB=AD,此时NADB=T(180o-NA)(180-70)=55%ZBDC=180o-ZADB=I80-55=125。，ZC=I(180o-125)=27.5,AD=BD,此时，ZADB=180o-270o=40o,：,ZBDC=180o-ZADB=180-40=140,ZC=-(180o-140
40、)=20,2综上所述，NC度数可以为20。或35。或27.5。.故答案为：20。或35。或27.5。【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论.【变式(2023春八年级课时练习)过等腰三角形底角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的顶角度数为.【答案】36。或(一)。【分析】分两种情况画出图形，当BC=BO=4D,AB=ACfiif设乙4=,得NC=NCOB=2.EABC=ZC=2a.由乙4+Z.ABC+ZC=180,则+2a+2a=180,即可得到=36；当AD=BD,BC=DC,AB=AC时，设/4=a.ABC=NC=3a.则“+ABC+
41、/C=180,则+3+3a=180,得=(v)o【详解】解：分两种情况讨论：如图(1),(1)C当BC=BO=AO,4B=力C时，Sz4=a.9：BD=AD,ABD=ZJI=,Z.CDB=ABD+zl=2.：BC=BD,L.C乙CDB=2a.VAB=AC,WBC=ZC=2a.VZi4+z4C+zC=180o,.a+2cr+2a=180o,解得a=36o.如图，AAB(2)CAC时，设乙4 = a.当AO=BD,BC=DCtAB=,ADBD,.*.A=ABD=a.BDC=A+乙ABD=2a.；BC=DC,；乙CBD=BDC=2a,ABC=乙ABD+乙CBD=：AB=AC,ABC=L,C=3a.,
42、A+ABC+C=180o,a+3+3=180,解得=（崂。.综上，原等腰三角形顶角的度数为36。或（一）。.故答案为：36。或（一）。【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，分类讨论是解题的关键.【变式7-2（2023春四川成都八年级统考期末）如图，长方形ABCO中，A8=6,8C=2,直线/是长方形ABCZ）的一条对称轴，且分别与A。,BC交于点EE若直线/上的动点尸,使得%8和4P8C均为等腰三角形.则动点尸的个数有个.EFAR【答案】5【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AS或DC的垂直平分线交,于R二是在长方形内部
43、，在/上作点?八使尸Q=OGAB=PH同理，在/上作点B，使BA=AB,P2D=DCx三是如图，如图，在长方形外/上作点心，使A8=AP3,DC=PjDf同理，在长方形外/上作点使BP4=AB,CP4=DC.【详解】分三种情况讨论：如图，作A8或。C的垂直平分线交/于P,如图，在/上作点P/,使Pc=OCAB=P1B,同理，在/上作点夕2,使A=A8,P2D=DC,AB如图，在长方形外/上作点23,使48=AP3,DC=P3Df同理，在长方形外/上作点n，使Bn=A8,CP4=DC,故答案为：5.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定：解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解.【变式73】(2023春河南新乡八年级校考期中)如图，AABC中，NACB=90。，ACBC,将ABC沿E尸折叠，使点A落在直角边BC上的。点处，设防与A3、AC边分别交于点E、点R如果折叠后CO尸与8。E均为等腰三角形，那么NB=.【答案】45。或30【分析】先确定ACDF是等腰三角形，得出NCFD=NCDF=45。，因为不确
