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1、第11讲函数的图象思维导图题型1:作函数的图象题型2:函数图象的识辨考向1：由式识图或由图辨式考向2:借助动点探究函数图象函数的图象题型3:函数图象的应用考向1:研究函数的性质考向2:求解不等式或方程解的个数常见误区函数图象的平移、伸缩法则记混致误不注意函数的定义域致误知识梳理I.利用描点法作函数的图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）.其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象（1）平移变换I尸/(*)+4I上 移个单位(A0)I尸W
2、)屋品(0)(A0)T尸/I下k（kO）移个单心b=玉）-*对称变换称y=)y=兀0关互蚂称y=-v).y=U)y=-fi)y=(0且Wl)关称y=IogHx0).(3)翻折变换y=)保留谢及上士图象将X轴下方图如战折上去)一火功y=W保招)轴及右边图一象,并作其，=们八关于掰对称M图象y-)(4)伸缩变换尸於)a,横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变；*y=0r).Ol,横坐标伸长为原来的9倍，纵坐标不变产於)纵坐标伸长为原来的。倍，横坐标不变_o1(I)画出函数y=(x)的图象；(Ii)若.2,求X的取值范围；4(III)直接写出y=(x)的值域.【分析】(I)根据分段函数的表达式，直接进行作
3、图即可;（三）结合分段函数的表达式，分别进行求解；(III)由图象结合函数值域的定义进行求解.【解答】解：(I)函数y=(x)的图象如图；(II)当XVT时，满足/(x)L当一掇/i,由/(X)L得YL得尤.！或兀，一_1,4422此时一掇上2或领k1，22当xl时，/(x);恒成立，综上得X.!或兀，-L22即X的取值范围是得其.1或用,22(III)由图象知/(x).0,即y=f(x)的值域是0,+00).【跟踪训练1-1】(2019秋石河子校级月考)已知函数y=2-2x7.(1)作出函数的图象；(2)由图象写出函数的单调区间.【分析】(1)由函数)，=/一2|、|一1二卜：一21-1，分
4、别画出O和XVO时的图象即可;X2+2x-,x0(2)根据函数的图象，写出单调区间即可.【解答】解：(1)函数y=x22k|_i=(-2x-Lx.0+2x-l,x0当x.0时，y=(x-)2-2;当OB寸，y=(x+1)-2.故图象如图所示；(2)函数的增区间为：(-1,0,(l,+);减区间为：(-，1(01.【名师指导】作函数图象的两种常用方法1 .直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出.2 .图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.题型2函数图象的识辨【分析 根
5、据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断.【解答】解：函数），=的定义域为实数集R,关于原点对称,函数y=()=4,则/(一幻=二=/(工)，则函数y=()为奇函数，故排除C，Ax+1x+1当x0是，y=(x)O,故排除8,故选：A.【例2-2】(2020春通州区期末)已知函数/3的图象如图所示，那么该函数可能为()B. /（力=切且XD. /（幻=Inx C 2x 空2*oX【分析】由图可知，函数/(x)为奇函数，结合函数奇偶性的概念可排除选项A和C；对比6和。选项，发现当x(0,l)时，两个函数对应的函数值的正负性恰好相反，利用对数函数的图象，验证后即可得解.【解答】解：由图可知，函数Fa)为
6、奇函数，而选项A和C中对应的函数是非奇非偶函数，于是排除选项A和C：当xe(0,l)时，从图象可知，/()O,而对于选项O,lnx0,所以/(x)0,与图象不符，排除选项D.故选：B.【例2-3】(2020乐山模拟)已知角6的始边与X的非负半轴重合，与圆Ud+y2=4相交于点4,终边与圆C相交于点8,点在X轴上的射影为点C,A4C的面积为S(O),则函数S(O)的图象大致是()A.B.【分析】由题可知，点A(2,0),点B(2s6,2sin6),点C(2s).21sin.O，故排除选项C和O，又因为当。=辿时，S(6)2,排除224选项3,可得所求图象.【解答】解：由题知，点A(2,0),点5
7、(28sa2sin6),点C(28s6,0),则S()=-ACHeC=-(2-2cos6).2ISineI.0,故排除选项C和。，22又因为当。=网时，S(e)=；x(2+2x4)x2Xq=应+12,排除选项8.故选：A.除A,D.【解答】解：由=呆在6知/(-X) =2(-x)32x+2x2t+2-x= -()，.(x)是-6,6上的奇函数，因此排除C2又/(4)=F7,因此排除A,D.28+l故选：B.【跟踪训练2-2】(2020春湖州期末)已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是()A.y=sin(ex+ex)B.y=sin(el-ex)C.y=cos(e-ex)D.y=cos(ex+
8、ex)【分析】由函数的奇偶性排除A与C,在分析复合函数的单调性排除B,则答案可求.【解答】解：令Sa)=e*+e-jf,该函数的定义域为R,且s(r)=以+，=s(x),.s(x)为R上的偶函数；令心)=/_/”,该函数的定义域为R,且-%)=/-=一(外一夕)=T(),.J(x)为R二的奇函数，又正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，且图中所给出的函数为偶函数，排除A与C：又由图可知，所求函数在0,1上为减函数，而8中内层函数/(用在0,1上为增函数，而外层函数正弦函数在0,上为增函数，故当X大于。且在0附近时，“中函数为增函数，排除B故选：D.【跟踪训练2-3(2020贵港四模)如图，点P在
9、以B=2为直径的半圆弧上，点?沿着BA运动，记ABAP=x.将点P到A、8两点距离之和表示为X的函数/(x),则y=(x)的图象大致为()【分析】先根据题意列出函数解析式，再分析图象即可得出答案.【解答】解：y=f(x)=PA+PB=2cosx+2sinX=22sin(x+-),4选项。符合题意，故选：D.【名师指导】识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点，排除
10、不合要求的图象.题型3函数图象的应用【例3-1】(2020春龙凤区校级期末)函数y=Vg2的图象()x+2A.关于Jt轴对称B.关于y轴对称C.关于直线y=X对称D.关于原点对称【分析】先求出函数的定义域,再计算y=f(-x)的表达式,并观察/(%)与/(T)的联系,发现/U)=f(-x),故而得解.【解答】解：.七匚0，.2或x0的解集为.【分析】根据题意，由函数的图象以及奇偶性分析可得f(x)0以及f(x)030If(X)0,在区间(1,2)上，/(A-)0,在区间(-2,T)上,/()O=则有OVX2或-2xvT,即不等式的解集为幻Ox2或-2xT);故答案为：x02或-2xO)与函数/
11、(x)的图象恰好有三个不同的交点，则实数攵的取值范围是.【分析】画图可知/(x)就是周期为1的函数，且在0，1)上是一宜线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线y=Ax+Z过点(3,1)与直线y=h+左过点(2,1)之间即可.【解答】解:函数f (%) =x-x,x.0/(x + l),x0.函数的图象如下图所示:y-ihy=kx+k=k(x+)f故函数图象一定过(T,0)点若f(x)=履+4有三个不同的根，则y=心:+上与y=(x)的图象有三个交点当y=履+无过(2,1)点时，k=L,当)，=Ax+Z过(3,1)点时，k=-,34故/(力=h+左有三个不同的根，则实
12、数上的取值范围是I；1)故答案为：；,；).【跟踪训练3-1】(2019秋大同期末)函数/(X)=3+1(X),若函数y=,zz的图象与函数y=()的图-3x+l(x.O)象有公共点，则机的取值范围是.【分析】作出函数图象，求出函数的值域，结合函数与方程的关系转化为图象交点问题进行求解即可.【解答】解：作出函数的图象如图：当XVo时,1/(x)2,当尢.0时，Qj(X)1,即函数f(%)的值域为O,DD(1,2),要使函数y=m的图象与函数,，=/(的图象有公共点，则1帆V2,或Q,机V1,则战的取值范围0,1)D(1，2),故答案为：0，I)D(1,2)【跟踪训练3-2(2019嘉定区一模)
13、已知函数/)=IOg“x和g(x)=Z(x-2)的图象如图所示，则不等式2.O的解集是【分析】根据*)=logX和g(x)=k(x-2)图象可得/(X)和g(x)的正负，即可求解不等式3.0的解集.g()【解答】解：由图象f(x)=log4X可得x(0,l)时,/(X)O,当X=I时/)=0由图象g(x)=k(x-2)可得X(-,2)时，g(x)0,X(2,+)时，g(x)OIg(X)。/.xl，2).不等式也.o的解集为1,2)g*)故答案为：1,2)【名师指导】1 .利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.2 .利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程F(X)=O的根就是函数x)的图象与X轴交点的横坐标，方程HX)=g(x)的根就是函数HX)与g(x)图象交点的横坐标.3 .利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
